Analiza I, ISIM Lista zada« nr 3 1. Poka» z de nicji, »e limn→∞ n
2n+2 = 12.
2. Dla poni»szych ci¡gów zadecyduj, czy s¡ rosn¡ce lub malej¡ce. Które z tych ci¡gów s¡
ograniczone?
(−2)n+1, 1
2n + 3, 2n− 3
3n + 4, (−1)n· n, n + 1 n. 3. Oblicz granice ci¡gów
1− (0, 5)n, 2n + 1
3n− 2, n3
n3+ 1, (−1)nn
n2+ 1, n3
n2+ 1, n sin n n2+ (−1)n
4. Dla zadanego ci¡gu ci¡gu {an} de niujemy bn= (a1+· · · + an)/n. Wyka», »e je»eli ci¡g {an} jest ograniczony (rosn¡cy), to równie» ci¡g {bn} jest ograniczony (rosn¡cy).
5. Poka», »e ci¡g {an} jest zbie»ny do granicy g wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jego podci¡g jest zbie»ny do g.
6. Korzystaj¡c z metody podanej podczas wykªadu, znajd¹ przybli»enie √ 3 i √
6, obliczaj¡c pierwszych kilka wyrazów odpowiedniego ci¡gu. Porównaj te warto±ci z warto±ciami otrzyma- nymi na kalkulatorze.
7. Wyka» wprost z de nicji, »e
nlim→∞
6n + 2 7n− 3 = 6
7, lim
n→∞
n + 1
n2+ 1 = 0, lim
n→∞
1 + 2 + 3 + .. + n (n + 1)2 = 1
2, lim
n→∞
n2− 3n + 1 2n2+ n + 1 = 1
2. 8. Niech ϕ b¦dzie dowolnym wielomianem. Poka», »e limn→∞ϕ(n)
2n = 0.
9. Oblicz granice podanych ci¡gów (niekoniecznie z de nicji) a) n2− 3n + 6
1− 2n b) n4+ 2(−1)nn2
sin n− 2n4 c)√
n + 1−√
n d) √
n2+ 3n−√ n2− 3 e) √3
n2+ 3−√3
n2 f) (−2)n+ 3n
(−2)n+1+ 3n+1 g) √n
n2 h) n√1n i)
√3
n2sin(n!) n + 1 j) 1 + a + a2+ .. + an
1 + b + b2+ .. + bn (1 < a < b) k) 1 n2 + 2
n2 + .. +n− 1 n2 l) 1
n− 2 n+3
n− .. +(−1)n−1n n m) 1
n3
[12+32+..+(2n−1)2]
n) 1 2+3
22+..+2n− 1
2n o) 1 1· 2+ 1
2· 3+..+ 1
n(n + 1) p) √n
2n+ 5n
q) 1
√n2+ 1+ 1
√n2+ 2+ .. + 1
√n2+ n r) (
1− 1 22
)(
1− 1 32
)
· · · (
1− 1 n2
)
10. Poka», »e ka»dy zbie»ny ci¡g jest ograniczony.
11. Ci¡g {an} jest ograniczony, a {bn} zbie»ny do zera. Poka», »e limnanbn= 0. 12. Wiemy, »e an→ a. Czy ci¡g bn= [an]ma granic¦?
13. Ci¡g an> 0speªnia warunek rekurencyjny an+1= 1+a1
n. Wyka», »e and¡»y do zªotej liczby
√5−1 2 .
14. Wiadomo, »e an+1− an→ a. Poka», »e ann → a.
15. Wyka», »e je±li ci¡g a2n jest zbie»ny, to ci¡g an nie musi by¢ zbie»ny. A je±li ci¡g a2n jest zbie»ny do zera?
16. Poka», »e je±li nieujemny ci¡g anjest zbie»ny do liczby a > 0, to ci¡g √anjest zbie»ny do√ a. 17. Udowodnij, »e je±li limnan= g, to równie» limna1+a2+..+an
n = g.
18. Niech {an} b¦dzie ci¡giem o wyrazach dodatnich takim, »e limnan = g. Poka», »e limn √na1a2..an= g.
19. Poka», »e je»eli ci¡g an jest rosn¡cy, to albo jest zbie»ny, albo rozbie»ny do +∞.
20. Zastanów si¦, jak wygl¡da twierdzenie o arytmetyce granic, gdy s¡ one niewªa±ciwe. Jak nale»y wówczas interpretowa¢ (+∞) + (+∞), (+∞) · (−∞), (+∞)/0? Poka» przykªady ci¡gów {an} i {bn} rozbie»nych do +∞ takich, »e limn→∞an/bnwynosi: a) +∞, b) 0, c) 2, d) nie istnieje.
21. Poka», »e ci¡g qn dla 0 < q < 1 jest zbie»ny do zera, uzupeªniaj¡c poni»sze dowody:
(1) ci¡g qn jest malej¡cy i ograniczony z doªu przez 0. Jego granica g, speªnia . . . (2) przyjmijmy 1 + r = 1/q, wtedy nierówno±ci Bernoulliego 1/qn= (1 + r)n≥ . . . 22. Przeczytaj na gªos poni»sze warunki
• ∀n∈N∃N∈N∀m>N |am− a| < 1/n;
• ∃n∈N∀ε>0∀n>N |an− a| < ε;
• ∃n∈N∀n>N |an− a| < 1/N;
• ∀N∈N∀n>N |an− a| < 1/N;
• ∀n∈N∃N∈N∀m>2N |am− a| < 1/2n.
Które z tych warunków s¡ równowa»ne zbie»no±ci ci¡gu {an} do liczby a?
23. Poka», »e ci¡g {sin n} nie ma granicy.
24. Okre±lamy ci¡g: a0= 0, a1 = 1, an= (an−1+ an−2)/2. Znajd¹ limn→∞an.
25. Wyka», »e ci¡g {an} jest zbie»ny do g wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego podci¡gu ci¡gu {an} istnieje podci¡g tego podci¡gu zbie»ny do g.
26∗.Poka» nierówno±¢
1 2n < √n
2− 1 ≤ 1 n 27∗.Znajd¹ granice
nlim→∞
( cosx
2 cosx
4... cos x 2n
)
, 0 < x < π; lim
n→∞sin2( π√
n2+ n)
28∗.Znajd¹ granic¦ iloczynów:
3 2 ·5
4·17
16 · . . . · 22n+ 1 22n 29∗.Dany jest ci¡g {an}, gdzie a1 =√
2, a2 =√ 2 +√
2, ..., an=
√ 2 +√
2 + . . . +√
2. Oblicz granic¦ limn→∞an.
30∗.Znajd¹ liczb¦ naturaln¡ k tak¡, »e
nlim→∞
n2015
nk− (n − 1)k = 1 2016
