Podzielność liczb.Zad 1.1 Ile jest liczb naturalnych z przedziału <500 , 1000> takich, że a)

(1)

Podzielność liczb.

Zad 1.1 Ile jest liczb naturalnych z przedziału <500 , 1000> takich, że a)

8|n

b)

3|n

_c)

7|n i 4|n

Zad 1.2 Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej

a)

3|n

³

−n

b)

7|n

⁷

−n

c) Czy zawsze

6|n

⁶

−n

Zad 1.3 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n

a)

4|5

⁴ⁿ⁻¹

+ 3

_b)

10|3

⁸ⁿ⁺⁶

+1

_c)

7|2

⁴ⁿ⁺²

+3

⁸ⁿ⁺¹ _d)

9|4

²ⁿ

+30n−1

Zad 1.4 Wyznaczyć liczby naturalne n takie, że liczba n³+5 n²−7 n+2 jest podzielna przez

a) n+3 b) n²−n+1

Zad 1.5 Pokazać , że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 15 daje resztę 10 a przy dzieleniu przez 12 daje resztę 3

Zad 1.6 Liczba naturalna jest taką liczbą , że przy dzieleniu przez 55 daje resztę 32 a przy dzieleniu przez 54 daje resztę również 32. Jaką resztę otrzymamy przy dzieleniu tej liczby przez 22?.

Liczby pierwsze.

Zad 2.1 Aby przy pomocy sita Eratostenesa otrzymać liczby pierwsze ≤ n trzeba

„odsiewać” wielokrotności licz pierwszych 2,3,5,7…… Na jakiej liczbie pierwszej można zaprzestać, gdy n=1000 a na jakiej gdy n = 625.

Zad 2.1 Wyznaczyć liczby pierwsze będące sumą liczb pierwszych i jednocześnie różnicą liczb pierwszych.

Zad 2.2 Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych których iloczyn jest siedmiokrotnie większy od ich sumy.

Zad 2.3 Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych których iloczyn jest trzykrotnie większy od ich sumy.

Zad 2.4 W liczbach pierwszych rozwiąż równanie

a)

pq=35−q

² _b)

p

²

=435−pq

_c)

p

²

−3q

²

=1

Zad 2.5 Dla liczby naturalnej n > 1 pokazać, że

n|(n−1)!+1 ⇔ n jest liczą pierwszą

.

Zad 2.6 Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje przedział długości n nie zawierający liczby pierwszej / składający się z liczb złożonych /.

NWD, Równania diofantyczne liniowe.

Zad 3.1 Wyznacz a) NWD(4403,2125) b) NWD(423,123) c) NWD( 1085,87) Zad 3.2 Znajdź liczby całkowite x,y takie, że

a) 930x+435y=NWD(930,435) b) 903x+231y=NWD(903,231) c) 35525x+561y=NWD(35525,561)

Zad 3.3 Znajdź liczby całkowite x,y,z takie, że

a) 1245x+75y+471z=NWD(1245,75,471) b) 34x+2y+33z=NWD(34,2,33) Zad 3.4 W liczbach całkowitych rozwiązać równanie

(2)

a) 8x+25y = 4 b) 34x+14y=9 c) 55x+111y=45 d) 24x+34y+6z= 8

Zad 3.5 Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n ułamki są nieskracalne.

a)

5n+2

7 n+3 _b)

n+3

4n+11 _c)

9n+14 4n+5

Zad 3.6 Udowodnij, że jeżeli ad-bc=1 to ułamek a+b

c+d jest nieskracalny.

Zad 3.7 Rozwiązując test złożony 50 pytań uczennica otrzymała 78 punktów. Za każdą dobrą odpowiedz otrzymała 10 punktów, za każdą złą minus 8, za pytanie pozostawione bez odpowiedzi 0 punktów. Znajdź wszystkie możliwe rozwiązania.

Reszty z dzielenia kongruencje liniowe, Tw. Eulera , Fermata , kongruencje dowolnego stopnia, cechy podzielności.

Zad 4.1 Znajdź resztę z dzielenia

a) ¹⁴³⁵² przez 18 b) 3¹²⁴⁵⁵² przez 25 c) 13³⁴²+45⋅12⁵²³+22¹⁹ przez 11 b) (13¹⁰⁸²−28²⁵⁷)₁₅

( odp. 6)

Zad 4.2 Udowodnij, że a)

7|3

²⁷³

+4

²⁷³ _b)

13|3

¹⁰⁵

+4

¹⁰⁵ _c)

7|2222

⁵⁵⁵⁵

+5555

²²²²

d)

11⋅31⋅61|20

¹⁵

− 1

Zad 4.3 Wykorzystując cechy podstawowe cechy podzielności przez liczby znaleźć cyfry a i b takie, że a) liczba 345a56372b była podzielna przez 36 b) liczba 27a62935b podzielna przez 90.

Zad 4.4 Rozwiązać kongruencje liniowe

a)

15 x≡5(mod 11)

_b)

4 x≡3(mod 14)

_c)

21x≡9(mod 12)

Zad 4.5 Rozwiązać układy kongruencji

a)

x≡5( mod 4)

x≡1(mod 7)

x≡−2( mod9)

b)

3 x≡2(mod 4)

9 x≡6( mod12)

Zad 4.6 Rozwiązać kongruencje

a)

563 x

⁸⁷

+547 x

²

−15≡0(mod 11)

b)

28 x

²³⁶

+ 14 x

²¹

−34 x

¹³

+5≡0( mod15 )

c)

x

⁷

− x+1≡0(mod 99)

d)

x

¹⁰⁰⁰⁰

≡0(mod 11)

e)

x

¹⁰⁰⁰²

≡ 0(mod 11)

Zad 4.7 Znaleźć dwie (trzy, cztery,..) kolejne liczby naturalne podzielne przez sześciany liczb naturalnych większych od jedności.

Zad 4.8 Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby

38(199

⁹⁹¹

−51

¹⁴⁹

)

.

Zad 4.9 Wykazać, że następujące równania nie mają rozwiązań w liczbach całkowitych.

a)

7 x

²

−15 y

²

=9

c)

x

²

+ y

²

=51003

b)

491589 x+91936 y=455

d)

x

²

+ y

²

+( 2 z+1 )

²

=4 n

²

(3)

Zad 4.10 Oblicz a)

ϕ(4725)

b)

ϕ(20)

Zad 4.11 Rozwiąż równanie

ϕ(3

^x

5

^y

13)=36000, ϕ(7

^x

)=294 ϕ(5

^x

)=500 ϕ(3

^x

7

^y

)=756

Zad 4.12 Wyznacz ułamki łańcuchowe liczb 17

6 ,−15 7 ,921

643,

√

^3,

√

^7,5−

√

³

Zad 4.13 Znajdź wartości ułamków łańcuchowych

[ 4;3,2,5 ] , [ 2;2,3,2 ] , [ −3;3,3 ] , [ 1;¯1 ] , [ 4;1,3,1 ] , [ 5;1,1,1,1,3 ]

Zad 4.14 Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania w liczbach całkowitych a)

x

²

−7 y

²

=1

b)

x

²

−11 y

²

=1

c) x

²

−12 y

²

=1

Zad 4.15 Udowodnij, że równania mają nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych

a) x

²

−7 y

²

=14

b) x

²

−8 y

²

=−8

Zad 4.16 Liczba 1729 jest złożona ale pokazać, że

a

¹⁷²⁹⁻¹

≡1( mod1729) dla a∈Z i NWD(a,1729)=1

Obowiązują również dowody podstawowych twierdzeń związanych z tym przedmiotem.

Np. podstawowego twierdzenia z algebry.