15DRAP - Parametry zmiennych losowych Definicja. 1.

15DRAP - Parametry zmiennych losowych

Definicja. 1. Niech zmienna losowa dyskretna X będzie skupiona na zbiorze A = {x1, x2, . . .}. Mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X istnieje, gdyP

x∈A|x|P (X = x) < ∞. Wtedy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazwiemy liczbę

EX = X

x∈A

xP (X = x) .

W przeciwnym razie powiemy, że zmienna losowa X nie posiada wartości oczekiwanej.

Definicja. 2. Niech ciągła zmienn losowa X ma gęstość f . Mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X istnieje, gdyR+∞

−∞ |x|f (x)dx < ∞. Wtedy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazwiemy liczbę

EX = Z +∞

−∞

xf (x)dx.

W przeciwnym razie powiemy, że zmienna losowa X nie posiada wartości oczekiwanej.

Twierdzenie. 1. Załóżmy, że istnieje wartość oczekiwana EX. Wtedy dla a, b ∈ R istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej aX + b oraz E(aX + b) = aEX + b.

Twierdzenie. 2. Załóżmy, że istnieją wartości oczekiwane EXⁱ, 1 ¬ i ¬ n. Wtedy istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej X = X1+ . . . + Xn oraz EX = EX¹+ . . . + EXⁿ.

Twierdzenie. 3. Niech ϕ : R → R będzie funkcją mierzalną.

(a) Jeżeli zmienna losowa dyskretna X jest skupiona na zbiorze A = {x1, x2, . . .}, to wartość oczekiwana ϕ(X) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg P

x∈A|ϕ(x)|P (X = x); wtedy Eϕ(X) wyraża się wzorem Eϕ(X) =

X

x∈A

ϕ(x)P (X = x) .

(b) W dodatku dla mierzalnej ϕ, jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f , to wartość oczekiwana ϕ(X) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ϕ · f jest bezwzględnie całkowalna. Wtedy Eϕ(X) wyraża się wzorem

Eϕ(X) = Z +∞

−∞

ϕ(x)f (x)dx.

Definicja. 3. Jeżeli E[(X − EX)²] < +∞, to tę liczbę nazywamy wariancją zmiennej losowej X i oznaczamy VarX.

Uwaga 1. Wariancję zmiennej losowej X można obliczyć również ze wzoru VarX = EX²− (EX)².

Twierdzenie. 4. Załóżmy, że istnieje wariancja VarX. Wtedy dla a, b ∈ R istnieje wariancja zmiennej losowej aX + b oraz Var(aX + b) = a²VarX.

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1.

Zmienne losowe X₁ i X₂ mają rozkłady dane histogramem na ilustracji. Wyznacz EX1, EX1, Var(X₁) i Var(X₂). Która ze zmien- nych losowych ma większą wartość oczekiwaną? Która ma większą wariancję? Dlaczego?

X1 X2

Zadanie A.2. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie a. P(X = n) = n¹ −_n+1¹ , n = 1, 2, . . .;

b. P(X = n) = ₂¹n, n = 1, 2, . . .;

wyznacz EX o ile istnieje.

Zadanie A.3. Niech X oznacza liczbę reszek wyrzuconych przy n-krotnym rzucie uczciwą monetą. Niech Y = (−1)^X. Oblicz E(Y ) oraz Var(Y ). Podaj rozkład zmiennej losowej Y .

1

Zadanie A.4. Gęstość zmiennej losowej X dana jest wzorem

f (x) =

(3x⁻⁴ dla x > 1;

0 dla x ¬ 1.

Oblicz EX, VarX, E√ X.

Zadanie A.5. Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 5 i wariancję 3. Ile wynosi E((X + 4)²)?

Zadanie A.6. Przypuśćmy, że P(X = 0) = 1 − (P(X = 1) + P(X = 2)) oraz P(X = 1) = P(X = 2). Wiedząc, że 9 = Var(3X) + E(X³), oblicz P(X = 0).

Zadanie A.7. Kij o długości a złamano w punkcie zgodnie z rozkładem jednostajnym. Znaleźć wartość oczekiwaną pola prostokąta o długości boków równych dwóm otrzymanym kawałkom kija. Zadanie rozwiąż na dwa sposoby: korzystając z tw. 3 oraz korzystając z wartości wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, a] (wsk.: wartości te wynoszą a/2, a²/12).

Zadanie A.8. Bolek gra w kasynie w pewną grę 100 razy. Wynik każdej gry jest niezależny a prawdopodobieństwo wygranej w pojedynczej grze wynosi 1/20. Jaki ma rozkłada zmienna losowa równa liczbie wygranych gier Bolka? Jaką ta zmienna losowe ma wartość oczekiwaną i wariancję? Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję łącznej wygranej Bolka, gdy za wejście do kasyna zapłacił 50PLN, w przypadku przegranej traci 1PLN a za wygraną dostaje 18PLN.

Zadanie A.9. Albert ma w szafie 8 koszulek z krótkim rękawem i 7 koszulek z długim rękawem. Pakując się przed wyjazdem na obóz, Albert wybiera w losowy sposób 7 z nich i wrzuca je do plecaka. Niech X będzie zmienną losową, która oznacza liczbę zabranych przez niego koszulek z krótkim rękawem. Oblicz E(X²+ 2X). (Wskazówka: Czy X ma jakiś

„słynny” rozkład?)

Zadanie A.10. Rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy wszystie oczka. Znajdź średnią liczbę rzutów.

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B.1. Zad. 3, §4.4.

Zadanie B.2. Zmienna losowa X ma rozkład

P (X = n) = 4ⁿ

n!e⁻⁴, dla n = 0, 1, 2, . . .

Wyznacz EX, EY oraz EZ dla Y = 7^X i Z = 4X − 15.

Zadanie B.3. Zad. 11, §4.4.

Zadanie B.4. Gęstość zmiennej losowej X dana jest wzorem

f (x) =

(cx² dla 0 < x < 3;

0 dla pozostałych x.

Wyznacz stałą c i oblicz VarX oraz E√ X.

Zadanie B.5. Przypuśćmy, że P(X = 0) = 1 − P(X = 1). Wiedząc, że E(X) = 3Var(X), oblicz P(X = 0).

Zadanie B.6. Zmienna losowa X ma następujące parametry EX = VarX = 2. Wyznacz E(X(X − 2)).

Zadanie B.7. Adam wielokrotnie losuje kolejno, ze zwracaniem karty z talii 52 kart aż do momentu, gdy po raz trzeci wylosuje czerwonego króla. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę losowań. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 2X + 5.

Zadanie B.8. Pewna grupa składa się z 10 mężczyzn i 10 kobiet, których łączymy losowo w pary. Niech X oznacza zmienną losową, która zlicza, ile z utworzonych par składa się z 2 mężczyzn. Oblicz EX.

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI Zadanie B.9. Zmienna losowa X posiada rozkład podany w poniższej tabeli

2

k 1 2 3 4 P (X = k) ¹₄ ³₈ ¹₈ ¹₄

Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

Zadanie B.10. Gęstość zmiennej losowej X dana jest wzorem

f (x) =

(C(x − 1) dla 1 < x < 3;

0 dla pozostałych x.

Wyznacz stałą C oraz oblicz EX oraz VarX.

Zadanie B.11. Zorganizowano grę polegającą na rzucie monetą i kostką przy następującej umowie: otrzymujemy 4 zł w przypadku pojawienia się reszki i jedynki, otrzymujemy 2 zł w przypadku pojawienia się orła lub liczby oczek podzielnej przez dwa, w pozostałych przypadkach przegrywamy 3 zł. Podać rozkład zmiennej losowej jaką jest „wygrana” oraz obliczyć jej wartość oczekiwaną.

Zadanie B.12. Zad. 4, §4.4.

Zadanie B.13. Zmienna losowa X ma rozkład

P (X = i) = 7

8ⁱ, dla i = 1, 2, 3 . . . Wyznacz EY i VarY dla Y = 2^X.

Zadanie B.14. Wyznacz E((X + 1)(X − 2)) dla zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej 1 i wariancji 1.

Zadanie B.15. Wylosowano liczbę z zakresu od 1 do 10. Twoim zadaniem jest odgadnięcie wylosowanej liczby na podstawie pytań „tak, nie.” Oblicz wartość oczekiwaną liczby pytań, które musisz zadać w dwóch przypadkach:

a) Twoje i-te pytanie brzmi: Czy to jest i? i = 1, 2, . . . , 10?

b) W każdym pytaniu starasz się najbardziej jak to możliwe wyeliminować połowę pozostałych liczb.

Zadanie B.16. W urnie jest 30 losów przegrywających i 20 wygrywających. Losujemy jednocześnie 10 losów. Niech X będzie liczbą losów wygrywających wśród wylosowanych losów. Oblicz E(2X²− 3X + 1)

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Zad. 15-17, §4.4 (UWAGA: nierówność Czebyszewa udowodnimy niebawem) Zadanie C.2. Zmienna losowa X ma rozkład

a. dwumianowy z parametrami n i p;

b. Poissona z parametrem λ.

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = cos πX. (porównaj rozwiązanie z tym z poprzedniej listy)

Zadanie C.3. W urnie mamy 1 niebieskią kulę i 100 czerwonych. Losujemy bez zwracania dopóki nie wyciągniemy niebieskiej kuli. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby wyciągniętych kul. UWAGA: Zadanie ma „eleganckie” rozwiązanie.

Zadanie C.4. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p. Podaj wzór zwarty na E(_1+X¹ )

Zadanie C.5. Niech Z będzie zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym. Wykaż, że E(Zⁿ⁺¹) = nE(Zⁿ⁻¹).

Wyznacz E(Z⁴).

3

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.2 4, e²⁴, 1 B.4 1/9, 27/80, 6√

3/7 B.5 1 lub 1/3

B.6 2

B.7 EY = 513³, VarY = 7800 B.8 10(¹⁰₂)

(²⁰₂) B.9 19/8, 79/64

B.10 c = 1/2, EX = 7/3, VarX = 2/9

B.11 P (X = −3) = 1/6, P (X = 2) = 3/4, P (X = 4) = 1/12, EX = 4/3, VarX = 73/18 B.13 7/3, 14/9

B.14 -1;

B.15 a) 5, 5 b) 3, 4 B.16 24⁴⁵₄₉

4