• Nie Znaleziono Wyników

1. Niech f, g ∈ k[X], λ ∈ k i zaªó»my, »e λf = X ∂f

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Niech f, g ∈ k[X], λ ∈ k i zaªó»my, »e λf = X ∂f"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Teoria modeli ciaª, Lista 7

Niech (K, ∂) b¦dzie modelem monstrum DCF

0

, k ⊆ K podciaªem ró»niczkowym, R pier±cieniem ró»niczkowym i n ∈ N.

1. Niech f, g ∈ k[X], λ ∈ k i zaªó»my, »e λf = X ∂f

∂X , X

n

|X ∂g

∂X − ng.

Udowodni¢, »e:

(a) λ = deg(f ) i f = bX

λ

dla pewnego b ∈ k, (b) X

n

|g .

2. Niech f ∈ R[X] i r ∈ R. Udowodni¢, »e:

∂(f (r)) = ∂f

∂X (r) · ∂(r) + f

(r).

3. Niech f ∈ R{X} i ord(f) = n. Udowodni¢, »e:

∂(f ) = X

n

i=0

∂f

∂X

(i)

X

(i+1)

+ f

.

4. Zaªó»my, »e dla f ∈ k{X} ideaª hfi jest pierwszy. Udowodni¢, »e hf i = I(f ) .

5. Udowodni¢, »e hX

00

X − X

0

i ∈ Spec

(K{X}) . 6. Niech A ⊆ R, a ∈ R i zaªó»my, »e ideaª p

hA ∪ {a}i jest sko«czenie generowany jako radykalny ideaª ró»niczkowy. Udowodni¢, »e istniej¡

m ∈ N i a

1

, . . . , a

m

∈ A takie, »e p

hA ∪ {a}i = p

ha, a

1

, . . . , a

m

i . 7. Niech V

1

, V

2

⊆ k

n

b¦d¡ zbiorami domkni¦tymi Kolchina i A ⊆ k

n

.

Udowodni¢, »e:

(a) I

k

(A) jest radykalnym ideaªem rózniczkowym, (b) V

1

V

2

wtedy i tylko wtedy, gdy I

k

(V

1

) ! I

k

(V

2

) ,

(c) V

1

jest nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy I

k

(V

1

) jest pier- wszy,

(d) V

1

∪ V

2

jest domkni¦ty Kolchina.

8. Niech A ⊆ K{X

1

, . . . , X

n

} . Udowodni¢, »e I

K

(Z(A)) = p hAi .

9. Zaªó»my, »e k |= DCF

0

i p ∈ S

n

(k) . Udowodni¢, »e V

p

jest nierozkªadalny.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Przerabianie zada« z tej listy na ¢wi zenia h jest

okaż, że jeżeli samolot wyląduje przed punktem P , to zatrzyma się przed końcem pasa

Skoro elipsa ma wszystkie możliwe pochylenia od −∞ to +∞ dwa razy, to zawsze istniej¸ a dwa takie punkty. Szukamy punktów gdzie pochodna funkcji y(x) elipsy powinno

[r]

[r]

Udowodni¢, »e z jest liczb¡ algebraiczn¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ¯z (liczba sprz¦»ona) jest liczb¡

Niech p b¦dzie

Niech A będzie gwiaździstym względem zera, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X, którego przecięcia z każdą prostą są domknięte2. Wykaż, że jeśli zbiór A