W Osady denne, ściekowe i przemysłoweOsady denne, ściekowe i przemysłoweOsady denne, ściekowe i przemysłoweOsady denne, ściekowe i przemysłoweOsady denne, ściekowe i przemysłowe

(1)

PISMO PG PISMO PGPISMO PG PISMO PG PISMO PG 1515151515

W

dniach 25–28.09.2006 roku na Politechnice Gdańskiej odbyła się II Ogólnopolska Konferencja Na−

ukowo−Techniczna „Gospodarka Osa−

dami OSAD 2006”. Organizatorami Konferencji był Wydział Chemiczny Politechniki Gdańskiej oraz Pomorskie Centrum Badań i Technologii Środowi−

ska POMCERT, we współpracy z Gdańską Infrastrukturą Wodociągowo−

Kanalizacyjną Sp. z o.o., Elektrocie−

płownią Wybrzeże SA oraz Saur Nep−

tun Gdańsk SA.

Obok Rektora Politechniki Gdań−

skiej, patronat honorowy nad Konfe−

rencją objęli Minister Środowiska, Mi−

nister Gospodarki, Wojewoda Pomor−

ski, Marszałek Województwa Pomor−

skiego oraz Prezydenci Miast Gdańska, Gdyni i Sopotu.

Patronat medialny nad Konferencją objęły Ekologia i Technika, Przegląd Ko−

munalny, Czysta Energia, Wodociągi i Kanalizacja, Forum Eksploatatora oraz Radio Gdańsk. Obok sponsorów głów−

nych Konferencji Elektrociepłowni Wy−

brzeże SA, Gdańskiej Infrastruktury Wo−

dociągowo−Kanalizacyjnej Sp. z o.o., Saur Neptun Gdańsk SA wsparcia finan−

sowego udzieliły firmy: Ekol−Unicon Sp.

z o.o., Federal−Mogul Bimet SA, Grupa LOTOS SA, Nordea Bank Polska SA,

OLIVA Sp. z o.o., Zakłady Farmaceutycz−

ne Polpharma SA, Zakłady Porcelany Sto−

łowej „LUBIANA” SA. Konferencja uzy−

skała również wsparcie Wojewódzkiego Funduszu Gospodarki Wodnej i Ochro−

ny Środowiska w Gdańsku.

Konferencja uwzględniała cało−

ściową problematykę osadów, od me−

chanizmów powstawania osadów, ich charakterystyki, do rozwiązań proceso−

wych ich zagospodarowania lub uniesz−

kodliwiania. Obok sesji z prezentacja−

mi ustnymi i posterowymi, podczas któ−

rych omówiono wyniki prowadzonych badań, odbyły się również panelowe sesje robocze.

Obrady odbyły się w następujących sesjach tematycznych: Powstawanie osadów, Dezintegracja osadu, Techno−

logie i Odzysk energii. Szczególnym za−

interesowaniem cieszyły się sesje spe−

cjalne Konferencji: Osady denne oraz Współspalanie osadów. Równoległe panelowe sesje robocze: Osady denne i przemysłowe – rekultywacja, Osady ściekowe – dezintegracja, Współspala−

nie osadów umożliwiły uczestnikom Konferencji omówienie i dyskusję pre−

zentowanych prac w gronie osób zain−

teresowanych poszczególnymi zagad−

nieniami.

Przedstawiono czterdzieści sześć re−

feratów oraz dwadzieścia trzy postery.

Gości i uczestników podejmowali Rek−

tor Janusz Rachoń oraz Prorektor ds.

Nauki i Wdrożeń Ryszard Katulski.

Uroczystość otwarcia Konferencji uświetnili swoją obecnością Wojewo−

da Pomorski Piotr Ołowski, Dyrektorzy pomorskich Urzędów Wojewódzkiego i Marszałkowskiego oraz prezesi naj−

większych firm trójmiejskich. Wojewo−

da Pomorski Piotr Ołowski w przemó−

wieniu otwierającym Konferencję

Osady denne, ściekowe i przemysłowe Osady denne, ściekowe i przemysłowe Osady denne, ściekowe i przemysłowe Osady denne, ściekowe i przemysłowe Osady denne, ściekowe i przemysłowe

Od lewej: Wojewoda Pomorski Piotr Ołowski, Prorektor ds. Nauki i Wdrożeń Ryszard Katul−

ski, Rektor Politechniki Gdańskiej Janusz Rachoń, Jan Hupka, Piotr Kowalik, Andrzej Tonder−

ski Fot. Łukasz Bakuła

Od prawej: z−ca Dyrektora ds. Środowiska Pomorskiego Urzędu Wojewódzkiego Hanna Dzi−

kowska, Dyrektor Wydziału Środowiska Urzędu Miejskiego w Gdańsku Maciej Lorek, Prezes Gdańskiej Infrastruktury Wodociągowo−Kanalizacyjnej Jacek Skarbek, Dyrektor ds. Handlu i Rozwoju Elektrociepłowni Wybrzeże SA Elżbieta Kowalewska, Edward Licznerski

Fot. Łukasz Bakuła

II Ogólnopolska Konferencja Naukowo−Techniczna.

„Gospodarka Osadami OSAD 2006”

(2)

16 1616

1616 PISMO PGPISMO PGPISMO PGPISMO PGPISMO PG

wskazał na niezmiernie istotną rolę, jaką odgrywa Politechnika Gdańska dla Po−

morza, zapewniając profesjonalne wsparcie naukowe w wielu dziedzinach, w tym również ochrony środowiska.

Wojewoda Pomorski zwrócił również uwagę na problem unieszkodliwiania komunalnych osadów ściekowych i jed−

nocześnie podkreślił, iż liczy na wska−

zanie konkretnych rozwiązań w trakcie Sesji Współspalania Osadów. Wykład wprowadzający pt. „Aktualne problemy gospodarki osadami” wygłosił prof. zw.

dr hab. inż. Piotr Kowalik.

Sesję poświęconą współspalaniu osa−

dów ściekowych zdominowała dysku−

sja na temat uwarunkowań legislacyj−

nych i technologicznych tego procesu.

Osady powstające w oczyszczalniach ścieków komunalnych mogłyby być współspalane w kotłach energetycznych elektrociepłowni. Rozwiązanie to daje możliwości zagospodarowania osadów z jednoczesnym odzyskiem energii z osadów wysuszonych. W 2006 roku w EC II w Gdańsku przeprowadzono ba−

dania pilotowe spalania 25 ton wysu−

szonych osadów ściekowych z oczysz−

czalni ścieków Gdańsk−Wschód. Bada−

nia nadzorowane przez Instytut Che−

micznej Przeróbki Węgla z Zabrza wy−

kazały, że wysuszone osady ściekowe dobrze się spalały i nie powodowały

zakłóceń w funkcjonowaniu kotła.

Uczestnicy Konferencji uznali, iż ko−

nieczne jest przeprowadzenie odpo−

wiednich zmian w polskim prawie w celu stworzenia możliwości szerokiego zastosowania tego rozwiązania w skali technicznej.

Kontynuacja dyskusji związanej z tą niezwykle ważną i aktualną tematyką odbędzie się podczas Seminarium dys−

kusyjnego, w czasie Targów POLEKO, odbywających się w dniach 21–24 li−

stopada 2006 roku w Poznaniu.

W trakcie sesji poświęconej rekulty−

wacji osadów dennych wywiązała się dyskusja nt. roli akwenów, których za−

nieczyszczenie jest nieakceptowane z ekologicznego punktu widzenia i unie−

możliwia wykorzystanie tych zbiorni−

ków do celów gospodarczych i rekre−

acji. Zwrócono uwagę na trudności w wykorzystaniu funduszy europejskich dla przywrócenia akwenom wartości przyrodniczej i gospodarczej. Zapropo−

nowano zmianę zapisów Regionalnego Planu Operacyjnego Woj. Pomorskie−

go, aby w projektach na temat gospo−

darki wodnej uwzględnić Renaturaliza−

cję cieków, jezior i obszarów mokradło−

wych. Efektem powinno być uzyskanie wsparcia finansowego dla działań rekul−

tywacyjnych. Podczas Konferencji za−

proponowano działania innowacyjne i

naukowo−techniczne w zakresie zago−

spodarowania osadów z terenów porto−

wych i stoczniowych.

Podczas sesji poświęconej dezinte−

gracji osadów ściekowych omówiono priorytetowe tematy naukowe i tech−

niczne, które powinny być celem badań pilotowych i wdrożeń w oczyszczal−

niach ścieków komunalnych i jednost−

kach zajmujących się gospodarką osa−

dami. Podkreślona została rola dezinte−

gracji osadu w usprawnianiu technolo−

gii obróbki i wykorzystania osadu. Po−

wstała grupa inicjatywna do zorganizo−

wania konsorcjum naukowo−technicz−

nego, celem wdrożenia dużego progra−

mu badawczo−rozwojowego w tej tema−

tyce.

Zapraszamy na stronę www.osad.gda.pl, na której zamieszczone są informacje z przebiegu oraz podsumowania Konfe−

rencji.

Jan Hupka Przewodniczący Konferencji OSAD 2006 Wydział Chemiczny Andrzej Tonderski Dyrektor Konferencji OSAD 2006 Pomorskie Centrum Badań i Technologii Środowiska

W

dniach 12–14 października w Puc−

ku odbyła się XII Ogólnopolska Konferencja Nauczania Matematyki w Uczelniach Technicznych. Konferencja ta, odbywająca się zwykle co dwa lata, organizowana jest przez najlepsze uczelnie techniczne w Polsce (organiza−

torem poprzedniej była Akademia Gór−

niczo−Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie). Organizatorem tegorocz−

nej Konferencji był Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechniki Gdańskiej. W organizacji Konferencji aktywnie uczestniczyli również pracownicy Studium Naucza−

nia Matematyki.

W Konferencji uczestniczyło ponad siedemdziesiąt osób, wśród nich zaanga−

żowane i odpowiedzialne za konstrukcję podstaw programowych w szkołach oraz na uczelniach – władze ministerialne, Rady Głównej Szkolnictwa Wyższego, Państwowej Komisji Akredytacyjnej, Centralnej Komisji Egzaminacyjnej oraz Kuratoriów Oświaty. Byli to nie tylko matematycy, ale również pracownicy uczelni technicznych zainteresowani pro−

blematyką nauczania matematyki i wy−

korzystywaniem jej w innych dyscypli−

nach wiedzy.

Tegoroczna Konferencja poruszała najistotniejsze problemy polskiej eduka−

Nauczanie matematyki a perspektywy Nauczanie matematyki a perspektywy Nauczanie matematyki a perspektywy Nauczanie matematyki a perspektywy Nauczanie matematyki a perspektywy

rozwoju uczelni technicznych rozwoju uczelni technicznych rozwoju uczelni technicznych rozwoju uczelni technicznych rozwoju uczelni technicznych

Podsumowanie XII Ogólnopolskiej Konferencji Podsumowanie XII Ogólnopolskiej Konferencji Podsumowanie XII Ogólnopolskiej Konferencji Podsumowanie XII Ogólnopolskiej Konferencji Podsumowanie XII Ogólnopolskiej Konferencji Nauczania Matematyki w Uczelniach Technicznych Nauczania Matematyki w Uczelniach Technicznych Nauczania Matematyki w Uczelniach Technicznych Nauczania Matematyki w Uczelniach Technicznych Nauczania Matematyki w Uczelniach Technicznych

cji matematycznej. W ostatnich latach problemy z nauczaniem matematyki stają się kwestią społeczną. Nie chodzi tu tyl−

ko o to, że trafne interpretowanie danych liczbowych, wykresów czy stosowanie wzorów matematycznych itp. są koniecz−

nością w erze zaawansowanych techno−

logii informacyjnych. Głównym proble−

mem w Polsce staje się fakt, że jedynie 14% studentów wybiera studia technicz−

ne – wielu uczniów, obawiając się mate−

matyki, wybiera humanistyczne kierun−

ki studiów. Tymczasem w państwach Unii Europejskiej na kierunkach tech−

nicznych i nauk ścisłych studiuje średnio 26% wszystkich studentów (Niemcy i Czesi mają na takich kierunkach 30% stu−

diujących, a Finowie aż 37%). W krajach tych już występuje deficyt inżynierów.

Pokazuje to wyraźnie, że wszyscy ci, któ−

rzy nie boją się matematyki, będą mogli oczekiwać zainteresowania ze strony ryn−

ku pracy. Jest jeszcze jeden aspekt zwią−

zany z nauczaniem matematyki, na jaki

(3)

Fot. 1 Fot. 2

koniecznie należy zwrócić uwagę. W gru−

pie wiekowej 19–24 lat prognozowana jest wyraźna tendencja spadkowa – w roku 2010 wyniesie około 3,4 miliona i około 2,3 miliona osób w 2020 roku. Pro−

gnozy te są w jasny sposób skorelowane z liczbą przyszłych maturzystów. Tak duży spadek wielkości populacji w wie−

ku maturalnym może stać się bardzo po−

ważnym problemem również dla uczel−

ni. Z danych Ministerstwa Edukacji wy−

nika, że obecnie uczelnie techniczne przyjmują coraz mniej kandydatów. Po−

litechnikom ubyło najwięcej studentów spośród wszystkich uczelni publicznych.

Trzecim aspektem, niezwykle istotnym zagadnieniem poruszanym na Konferen−

cji, było zastosowanie najnowszych tech−

nologii w nauczaniu matematyki na po−

ziomie akademickim.

Efektem obrad, dyskusji i prac warsz−

tatowych było opracowanie wspólnego stanowiska wszystkich uczestników Kon−

ferencji w sprawie projektów standardów kształcenia na kierunkach technicznych w zakresie przedmiotów matematycz−

nych. Stanowisko to zostało złożone na zakończenie Konferencji na ręce Wice−

przewodniczącego Rady Głównej Szkol−

nictwa Wyższego prof. dr. hab. Jana Ma−

deya (fot.1) i Przewodniczącego Pań−

stwowej Komisji Akredytacyjnej prof. dr.

hab. Zbigniewa Marciniaka (fot. 2).

Mamy nadzieję, że dokument ten przy−

czyni się do realizacji założeń procesu bo−

lońskiego w odniesieniu do wyższego kształcenia technicznego w Polsce oraz wypracowania kierunków działań mają−

cych na celu podniesienie atrakcyjności kierunków technicznych w oczach kan−

dydatów na studia.

Anita Dąbrowicz−Tlałka Studium Nauczania Matematyki

(4)

18 1818

W

drugiej połowie października de−

legacja Politechniki Gdańskiej oraz Kuratorium Oświaty w Gdańsku pod przewodnictwem JM Rektora PG prof.

Janusza Rachonia przebywała w Królew−

skim Instytucie Technicznym (KTH) w Sztokholmie. W skład delegacji weszli ponadto prof. Władysław Koc – Prorek−

tor ds. Kształcenia PG, Adam Krawiec – Pomorski Kurator Oświaty, prof. Jerzy Topp – Prodziekan ds. Kształcenia Wy−

działu Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej oraz dr Barbara Wikieł – Kierownik Studium Nauczania Matema−

tyki PG.

Pod względem liczby studentów i licz−

by pracowników obie uczelnie są podob−

ne. KTH zatrudnia 3300 osób. Kształci się tam około 17 tys. studentów na stu−

diach inżynierskich, magisterskich i li−

cencjackich (licencjat w Szwecji jest stopniem pośrednim pomiędzy magi−

strem i doktorem) oraz około 1500 stu−

dentów studiów doktoranckich. W 2005 roku 224 osoby uzyskały stopień dokto−

ra, a następnych 177 osób uzyskało sto−

pień licencjata.

KTH utworzono w 1827 roku i od 1917 roku najważniejsze obiekty uczelni znaj−

dują się w najbardziej atrakcyjnych i wspaniale odnowionych budynkach w centrum Sztokholmu. Budżet KTH jest prawie dziesięć razy większy od budżetu

naszej uczelni. Ta różnica w budżecie jest powodem wielu innych różnic w funkcjo−

nowaniu naszych uczelni.

KTH jest uczelnią o uznanej renomie.

Zalicza się do dziesiątki najlepszych eu−

ropejskich uczelni technicznych. Aktyw−

nie uczestniczy w programach badaw−

czych Unii Europejskiej, kierując wielo−

ma z nich. Uczelnia ta współpracuje za−

równo z tradycyjnym przemysłem szwedzkim (hutniczym, papierniczym, maszynowym, samochodowym i farma−

ceutycznym), jak i z nowoczesnym prze−

mysłem związanym z biotechnologią, na−

notechnologią i technologiami informa−

cyjnymi. KTH jest współzałożycielem ponad trzydziestu szwedzkich centrów doskonałości.

KTH prowadzi również współpracę z wieloma najlepszymi uczelniami. W nie−

których jej szkołach, będących odpo−

wiednikami naszych wydziałów, jedna trzecia pracowników to obcokrajowcy.

Przejawów globalizacji i szwedzkiego otwarcia się na świat można zaobserwo−

wać znacznie więcej. Bardzo szybko ro−

śnie liczba obcokrajowców studiujących w KTH. W 2005 roku na uczelni studio−

wało 1365 obcokrajowców. Znaczną licz−

bę wykładów i kursów na starszych la−

tach studiów prowadzi się w języku an−

gielskim. Permanentnie rośnie obecność szwedzkich uczelni także w innych kra−

jach. KTH posiada swoje biura i prowa−

dzi działalność dydaktyczną w uczelniach chińskich w Pekinie i Szanghaju oraz w Singapurze. W najbliższym czasie będzie uczestniczył w budowie nowego uniwer−

sytetu pod Islamabadem w Pakistanie.

Uczelnia ta bardzo aktywnie pracuje w europejskich sieciach Cluster, TIME, CE−

SAER oraz światowych SMILE i GE4.

Także współpraca z Politechniką Gdańską ma już swoją wieloletnią histo−

rię. Nowym jej elementem stała się obec−

O matematyce w Sztokholmie O matematyce w Sztokholmie O matematyce w Sztokholmie O matematyce w Sztokholmie O matematyce w Sztokholmie

Delegacja PG przed Rektoratem KTH. Od lewej: Prorektor ds. Kształcenia prof. Władysław Koc, Kierownik SNM dr Barbara Wikieł, JM Rektor prof. Janusz Rachoń i Prodziekan ds.

Kształcenia WFTiMS prof. Jerzy Topp

Spacer po Sztokholmie. Od lewej: Pomorski Kurator Oświaty Adam Krawiec, JM Rektor prof.

Janusz Rachoń, Kierownik SNM dr Barbara Wikieł i Prorektor ds. Kształcenia prof. Włady−

sław Koc

(5)

nie współpraca w zakresie kształcenia matematycznego na obu naszych uczel−

niach. Ze strony Politechniki Gdańskiej jest ona wyrazem aktywności naszej uczelni w zakresie ciągłego poszukiwa−

nia nowych dróg prowadzących do po−

prawienia stopnia przygotowania absol−

wentów szkół ponadgimnazjalnych do podejmowania i kontynuowania studiów technicznych. W Szwecji, tak samo jak w Polsce a także w wielu innych krajach europejskich, obserwuje się podobne pro−

blemy na tym polu.

Testy z matematyki przeprowadzane w latach 1997–2006 na grupie nowo przy−

jętych do KTH studentów pokazują zna−

czące obniżenie się poziomu przygotowa−

nia matematycznego. Istnieje ogromna przepaść pomiędzy tym, co – zdaniem uczelni – powinien wiedzieć uczeń po ukończeniu szkoły średniej, a tym, z jaką wiedzą z tej szkoły rzeczywiście wycho−

dzi.

W roku 2004 KTH zaproponował wszystkim uczniom starających się o przyjęcie na tę uczelnię kurs wyrów−kurs wyrów−kurs wyrów−kurs wyrów−kurs wyrów−

nawczy z matematyki nawczy z matematyki nawczy z matematyki nawczy z matematyki

nawczy z matematyki (ang. Fundamen−

tal Notions of Mathematics), prowadzo−

ny w formie zdalnego nauczania. Kurso−

wi przydzielonych zostało 7,5 punktów ECTS, w tym 4,5 ECTS za część podsta−

wową (ang. Preparatory Course in Ma−

thematics) i 3 ECTS za część rozszerzoną kursu (ang. Extended Preparatory Cour−

se in Mathematics). Kurs prowadzony jest zarówno w języku szwedzkim, jak i w angielskim. Kurs umieszczony jest na serwerze Math.se (http://www.math.se), który jest w Szwecji wiodącym centrum dla kursów z matematyki prowadzonych przez Internet.

Celem kursu jest stworzenie „pomo−

stu” pomiędzy matematyką na poziomie szkoły średniej a na poziomie szkoły wyższej oraz utrwalenie umiejętności ma−

tematycznych z zakresu arytmetyki, al−

gebry i teorii funkcji jako przygotowania do dalszych studiów akademickich.

Kurs ten przygotowany jest całkowi−

cie w formie nauczania na odległość, łącznie z częścią egzaminacyjną. Dla uczniów jest bezpłatny. W każdej chwili w trakcie kursu jego uczestnik ma możli−

wość otrzymania pomocy przez internet lub telefonicznie od swojego tutora. Przez cały okres trwania kursu równolegle na uczelni, pod kierunkiem nauczyciela aka−

demickiego matematyki, pracuje grupa około 15 studentów starszych lat, służą−

ca uczestnikom kursu swoją pomocą.

Uczestnictwo w kursie jest dobrowol−

ne. Kurs prowadzony jest w okresie wa−

kacyjnym, poprzedzającym podjęcie przez absolwentów szkół średnich stu−

diów na KTH. W pierwszym roku w kur−

sie wzięło udział ok. 1000 potencjalnych studentów, w roku bieżącym było ich już 4000!

Jak widać, nie tylko my, w warunkach polskich uczelni, borykamy się z proble−

mem niewystarczającego przygotowania absolwentów szkół ponadgimnazjalnych do podejmowania studiów technicznych z zakresu przedmiotów ścisłych. Powsta−

ło zatem pytanie, na ile przydatny byłby tego typu kurs w warunkach Politechniki Gdańskiej.

Władze Politechniki Gdańskiej i KTH podjęły współpracę m.in. w zakresie wy−

korzystania i zaadaptowania kursu wy−

równawczego z matematyki przygotowa−

nego przez szwedzką uczelnię dla na−

szych przyszłych studentów. Oczywiście kurs taki musiałby być przygotowany w języku polskim. Istnieje również wiele dodatkowych możliwości współpracy na−

szych uczelni. Należą do nich m.in. wy−

miana studencka, współpraca samorzą−

dów studenckich czy też współpraca mło−

dych naukowców w zakresie wspólnego tworzenia projektów badawczych i pozy−

skiwania na cele badawcze środków z Unii Europejskiej.

Wszystkie te aspekty są obecnie przed−

miotem rozważań polsko−szwedzkiej gru−

py roboczej przygotowującej ramowy

program współpracy pomiędzy naszymi uczelniami.

Jerzy Topp Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Barbara Wikieł Studium Nauczania Matematyki Z wizytą u Rektora KTH. Od lewej: Rektor KTH prof. Anders Flodström, Rektor PG prof.

Janusz Rachoń, Prorektor ds. Infrastruktury Edukacyjnej KTH prof. Mats Hanson

Z ZZ

ZZ t t t t tekkkkkiiiii p p p p o pooooeeeeezjzjzjzjzjiiiii

Pierwszy œnieg Pierwszy œniegPierwszy œnieg Pierwszy œniegPierwszy œnieg

Pierwszy œnieg... a u nas w ogródku jeszcze przed tygodniem

usi³owa³y zakwitn¹æ ró¿e po raz ostatni tego lata na przekór ch³odom na przekór szronom

na przekór wszystkim roœlin obyczajom

¿eby przed³u¿yæ Trwanie

¿eby przed³u¿yæ Piêkno

bez œwiadomoœci, ¿e patrzymy na nie...

Zima, choæ ma byæ ostra nie z³amie ró¿ które wiosn¹ zakwitn¹ Nowym ¯yciem jeszcze Piêkniejszym jeszcze barwniejszym czekamy cierpliwie na pierwsze kwiaty i nowe kolce

Marek Koralun Absolwent PG

(6)

20 2020

K¹cik matematyczny

− Trzymaj się, Piotrusiu, na tym odcinku zawsze są straszne tur−

bulencje...

− Tak jest, panie Święty Mikołaju – zasalutował grzecznie chłop−

czyk i mocno objął rączkami barierkę sań. – Ale widok stąd śliczny... całe miasto wygląda jak, jak... O, wiem! – wykrzyknął triumfalnie, a w oczach zajaśniały radosne iskierki – jak wielki tort urodzinowy, ale taki ogromny, z milionem świeczek.

Mikołaj tylko uśmiechnął się ciepło, wyglądał tak, jakby gdzieś w nim była myśl, którą mógłby teraz wysłowić, ale z jakichś po−

wodów wolał zachować ją dla siebie. Być może za chwilę mógłby był się z tego stanu wytłumaczyć, gdyby chłopczyk nie uciął ciszy nagłym pytaniem:

− Mikołaju, a ile ty masz właściwie lat?

− Ho, ho – Święty uśmiechnął się jeszcze czulej – Myślę, Piotru−

siu, że ten tort, o którym mówiłeś, to z powodzeniem mógłby być mój tort.

− Ale tak dokładnie, to ile? – dziecko nie dawało za wygraną – no powiedz, proszę.

− Mogę powiedzieć – odparł Mikołaj – ale czy ty w ogóle umiesz liczyć?

− Tylko w ciele liczb rzeczywistych... – odpowiedział chłopczyk, lekko posmutniawszy.

− O, to i tak niezłą... macie tę... podstawówkę.

Poczciwy staruszek zmierzył dziesięciolatka zdumionym wzrokiem.

− W takim razie powiem ci tak: w 2111 roku skończę 345 lat.

− To proste – rezolutny malec natychmiast podał odpowiedź – masz 240 lat... – po czym stanął jak wryty.

− To jak długo wy – święci – żyjecie? – spytał.

W tym momencie Mikołaj jakby spoważniał. Po czym odparł:

− Będziemy żyć tak długo, jak długo żywe będą na świecie wiara, nadzieja i miłość.

− A masz dzieci? – ciekawość malca odnośnie do „gatunku” Mi−

kołajów rosła z sekundy na sekundę.

− Mam syna, na razie jeszcze bardzo młodego, ale jak Bóg da, to w 2234 roku będzie ode mnie już tylko o połowę młodszy, ho, ho, ho – roześmiał się Mikołaj, zostawiając niezwykle wyedukowa−

nego arytmetycznie chłopca przez chwilę samego w obliczeniach.

Mały Piotruś rzeczywiście się zadumał, ale wcale nie myślał już o liczeniu Mikołajowych lat. W końcu podniósł głowę, spoj−

rzał na Świętego najbardziej rezolutnym wzrokiem, jaki tylko może mieć rezolutne dziecko, i rzekł:

− To znaczy, że was jest w ogóle więcej. Macie dzieci, ale nie umieracie, więc twój ród musi być ogromny!

− No, owszem, he, he, ma się paru kuzynów, a i dziadkowie całkiem nieźle się trzymają, zresztą jak sobie wyobrażasz rozwożenie pre−

zentów na tak szeroką skalę, pojedynczy Mikołaj nic by tu nie wskórał, nawet świętość nic tu nie pomaga. Poza tym, ech, w erze dzisiejszej globalizacji... nawet rodzinnie byśmy nie dali rady.

Taak... to były czasy, gdy zaczynaliśmy, nasza działalność rzeczy−

wiście miała bardzo rodzinny charakter. Sprawialiśmy radość dzie−

ciom w Boże Narodzenie, roznosząc prezenty na skalę..., że tak powiem, lokalną. Przedsięwzięcie jednak okazało się takim suk−

cesem, że niedługo później naszym zasięgiem objęta była cała Laponia. Stąd już tylko o krok do powstania filii na całym świecie.

Ale takie przedsiębiorstwo wymaga już znaaacznie większej licz−

by pracowników. – Chłopiec tylko otworzył szeroko usta i zdawał się kompletnie pogrążony w opowieści Mikołaja, który ciągnął dalej. – Tak, pracowników, chociaż może lepiej byłoby powie−

dzieć: wolontariuszy, gdyż ich wynagrodzenie nie jest przeliczal−

ne na ziemskie wartości. W każdym razie dzisiaj mamy prawie pół miliona Mikołajów rozsianych po całym świecie. Zresztą może podam przykład: na samym Pomorzu polskim mamy 100 Mikoła−

jów, i to nie byle jakich – 90 z nich zna kaszubski, 80 – polski, a 60 – niemiecki. Wśród nich, jak łatwo wywnioskować, przynajmniej 30 jest trójjęzycznych, a to tylko niewielka próbka ich atutów.

W tym momencie chłopak nie wytrzymał.

− To oni są... nieprawdziwi? To tylko jacyś pracownicy?

− To nie tak. Pozwól, że wyjaśnię. Większość Mikołajów nie jest bezpośrednio moją rodziną. Ale nie rekrutujemy ich spośród zwykłych ludzi, o nie. Ho, ho, ci zresztą pewnie nie daliby so−

bie rady, to naprawdę ciężka praca.

− Więc kim oni są? – lekko buntowniczym tonem spytał Piotruś.

− To aniołowie, doskonali w swej formie, w skuteczności działa−

nia w niczym nie ustępują moim krewnym z krwi i kości, a ponieważ mamy zuniformizowany wizerunek roboczy – wizu−

alnie również są od nas nieodróżnialni. Zresztą może słyszałeś, że gdzieniegdzie mówi się, iż do domu przyjdzie aniołek, a nie Mikołaj – to wszystko zależy, że się tak wyrażę, od rewiru.

Nagle Mikołaj ściągnął cugle i zatrzymał sanie na małej polan−

ce niedaleko miasta, nad którym przelatywali. Stały tam jeszcze jedne sanie, a w środku siedziało trzech innych Mikołajów.

− Hoł, hoł, hoł bracia – wykrzyknął właściwe sobie pozdrowienie Mikołaj – co tam się stało?

− Nic, szefie – odpowiedzieli tamci, którzy okazali się właśnie podwładnymi aniołami – odpoczywamy sobie chwilkę.

− Jużeście zmęczeni? – zaśmiał się Mikołaj – a ile darogodzin dzisiaj wypracowaliście, jestem ciekaw?

− Ile czego? – spytał chłopczyk, który mimo swych nadprzecięt−

nych zdolności umysłowych miał wrażenie, że łapie coraz mniej.

− Darogodzina – wyjaśnił Mikołaj – to jednostka wydajności na−

szej pracy, po prostu liczba prezentów rozdana w ciągu godziny.

To jak? – tutaj znowu zwrócił się do swych trzech pomocników.

− No, szefie, łącznie to mamy 28, ale dopiero pół godziny robi−

my... zaczął najmniejszy z Mikołajów – znaczy się, ja rozdałem 8, co daje 6 darogodzin ponad normę, jakby trzymać tempo, więc musiałem trochę odpocząć.

No i cóż, mamy cudowny miesiąc, a w nim Świętego Mikołaja. Dlatego jeszcze raz zagości on w matematyce. Uczyni to w pracach moich byłych Studentów z Informaty−

ki (ETI). O zjawisku tym pisałam w artykule „Mikołajowe szaleństwo” („Pismo PG”

nr 3). Mam nadzieję, że Czytelnicy, tak jak i ja, odczują radość i urodę tych prac.

Krystyna Nowicka

Wigilijna podróż

Wigilijna podróż Wigilijna podróż

(7)

− Ja rozdałem 5, czyli trafiam idealnie w normę, gdyby Mały nie uparł się, że stajemy, to bym dalej pracował, bo ja się nie zmę−

czyłem – wtrącił Średni Mikołaj.

− A ty, Duży Mikołaju? – powiedział Święty, kierując spojrzenie na ostatniego z pracowników – rachuję, że rozdałeś w pół go−

dziny tylko 4 prezenty, wiesz, że norma wynosi 10 darogodzin.

Nie sprostałeś jej, a mimo to odpoczywasz?

− To nie tak, szefie – znowu wtrącił Mały, widać najbardziej wy−

gadany – Duży jest z Działu Public Relations, w supermarkecie robił... słuchał życzeń dzieci, na kolana sadzał... Widzi szef, nie jego wina, ale współczynnik dobra się zgadza – dzieci uszczę−

śliwił. Ba, nawet dwóch bandytów po drodze nawrócił...

− Skoro tak, to w porządku, tylko nie straćcie zbyt dużo czasu, dzieci czekają – odparł Mikołaj i znowu wzniósł swój zaprzęg w powietrze.

Lecieli do kolejnego miasta, zmrok pokrywał już cały grudnio−

wy widnokrąg. Ponieważ nie było za bardzo sposobności do po−

dziwiania w ciemności widoków, uwagę chłopca zwróciły teraz same sanie.

− Jak szybko mogą latać te sanie? – spytał.

− To zależy – odparł Mikołaj – zależy głównie od warunków... i nastroju reniferów. To nie są sanie ponaddźwiękowe. Osobiście nie lubię tak dużych prędkości. Ale najszybsze sanie posiada na−

sza filia w Singapurze. Potrafią się rozpędzić do prawie 5 ma−

chów. Raz nawet nimi leciałem. Miałem wtedy bardzo ciężki wór i targałem go na piechotę. Zmordowałbym się niemiłosiernie, ale wtedy w połowie drogi zauważył mnie kolega, właśnie w tym zaprzęgu. Druga połowę pokonaliśmy momentalnie, lecz było mi po tym tak niedobrze, że z powrotem wolałem znowu iść pie−

chotą. Zresztą, rozdawszy już wszystkie prezenty, miałem bar−

dzo lekko, szedłem dwa razy szybciej niż w pierwszą stronę, więc całość drogi pokonałem i tak szybciej niż poprzednio. Wpraw−

dzie tylko o parę minut – tyle ile trwał lot sań, ale zawsze.

− No – westchnął poczciwy staruszek – nasz lot dobiega końca.

Ile jeszcze zostało nam nadmiarowych prezentów?

− A więc, Mikołaju, są 2 worki, oba niezbyt pełne, w jednym jest 5 prezentów, a w drugim 7.

− No proszę, jak przełożysz jeden prezent z któregoś worka do drugiego, to albo będzie po równo, albo 2 do 1 – to jak się po−

dzielimy? – spytał Mikołaj i się roześmiał.

Ale twarz chłopca posmutniała.

− Ja nie chcę prezentów – w jego oku zabłysła łza – ja chcę tylko, żeby mama była zdrowa... i wróciła do domu. Ty możesz to uczynić, prawda? Ty możesz wszystko!

Mikołaj przytulił chłopca mocno i czule, po czym szepnął:

− Teraz widzę, Piotrusiu, że się względem ciebie nie myliłem.

Tylko nieskazitelnie czysta, dziecięca wiara pozwoliła ci mnie dostrzec i poznać. Tylko ta wiara pozwoliła ci dzisiaj zobaczyć cały świat tak, jak widzę go ja. Wierz tak, jak wierzyłeś we mnie. Wierz i kochaj, a sam będziesz miał moc, dzięki której uczynisz cud. A teraz idź już – twoja rodzina czeka.

Sanie wylądowały tuż pod domem, jednak tak cicho i w magicz−

ny sposób niezauważalnie, że nikt się, o dziwo, nie zorientował.

− I naprawdę wszystko będzie w porządku? – zapłakany malec odwrócił się jeszcze po zejściu z sań, ale ku jego zdziwieniu zaprzęgu już tam nie było.

− Mamo! Ty jesteś w domu?! – krzyknął, nie mogąc uwierzyć w to, co zobaczył po wejściu do pokoju. – Mamo.... – właściwie

„zamruczał” przeciągle, jak to mają w zwyczaju dzieci wpada−

jąc matce w ramiona.

− Jestem – odpowiedziała mama, dziś rano wypisali mnie ze szpi−

tala... mówią, ze to cud... ale powiedz mi, młodzieńcze, gdzie ty podziewałeś się przez cały dzień?

− Byłem... mmm... z przyjacielem.

Patryk Winowski Student Wydziału Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Kiedyœ wierzy³am naprawdê gor¹co,

PóŸniej myœla³am doœæ pow¹tpiewaj¹co, A¿ ktoœ mi w koñcu powiedzia³, ¿e go nie ma I wtedy myœla³am, ¿e to ju¿ zamkniêty temat.

Ale Miko³aj istnieje, naprawdê!

Jest w dobrych ludziach, W œwi¹tecznych uœmiechach, W Twoich gestach;

Jest w moim sercu na dnie.

A zreszt¹, gdyby tak byæ nie mia³o,

Sk¹d by siê tyle prezentów pod choink¹ bra³o?

Czy by³eœ grzeczny? Tylko prawdê powiedz!

Zrób szybki rachunek sumienia i siê dowiedz, Czy s³odki prezent Miko³aj dla Ciebie ma?

Czy mo¿e rózgê Ci w te œwiêta da?

Jeœli na przyk³ad z matematyki Mia³eœ w tym roku s³abe wyniki, To tu masz swoj¹ ostatni¹ szansê!

Jeœli te zadania przejdziesz z pozytywnym bilansem, Jeœli przy³o¿ysz serce do tego

I jeœli naprawdê wierzysz w Niego – w Œwiêtego, Jeœli jeszcze choæ odrobinê dobroci masz w sobie, To On na pewno to wynagrodzi Tobie!

I nie musi to byæ wcale materialny prezent!

Mo¿e to byæ coœ lepszego, O czym nawet nie wiesz,

¯e to od Miko³aja Œwiêtego!

Ale zabieraj siê za zadania, bo choæbyœ by³ najlepszym cz³owiekiem, Æwicz, bo Matematyki nigdy nie bêdziesz umia³ najlepiej!

Anna Pawelczyk Studentka Wydziału Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki

(8)

22 2222

W

ystawa FRAKTALE skłania do zadumy i zdaje się, że byłoby szkodą nie pozostawić po niej śladu. Podejmu−

jąc taką myśl, Pani Bożena Hakuć, dyr. Biblioteki Głównej PG, wysunęła propozycje, aby tę Wystawę utrwalić na łamach mie−

sięcznika PISMO PG. Notatkę kierujemy głównie do młodzie−

ży studenckiej i szkolnej z zachętą ku wzbudzeniu zaintereso−

wań problematyką fraktali i dziedzin pokrewnych wraz z za−

stosowaniem ([3–5],[1–2]). Opracowanie uwzględnia krótki rys historyczny rozwoju analizy fraktalnej, zestawienie ważniej−

szych pojęć pomocniczych bądź merytorycznych, informuje o wynikach Gdańskiej Szkoły Matematycznej ([A–J]).

Słowo wstępne Słowo wstępneSłowo wstępne Słowo wstępneSłowo wstępne

Twórcza działalność na niwie kultury, sztuki czy nauki wy−

chodzi niekiedy z zacisza warsztatów na zewnątrz, prezentu−

jąc swoje dzieła dla szerszego kręgu zainteresowanych w for−

mie wystawy. Ekspozycja osiągnięć określonej dziedziny na−

uki bywa organizowana rzadziej, a w niezbyt licznych grupach zainteresowań góruje (przelotnie) młodzież szkolna oraz stu−

denci. Wystawę FRAKTALE – Uniwersytet Gdański (paździer−

nik 2005) zorganizowaną przez Czytelnię Matematyczną (ini−

cjator Pani Emilia Jakimowicz) we współpracy z Instytutem Informatyki, powtórzoną z okazji Roku Nauki Polskiej (maj 2006), przeniesiono do Politechniki Gdańskiej, gdzie poszerzo−

no jej zakres o wkład Nauki Gdańskiej. Jest to wkład Gdańskiej Szkoły Matematycznej (Pracowni Gdańskiej Instytutu Matema−

tycznego PAN) do analizy fraktalnej, której ojcem jest prof. Zbi−

gniew Ciesielski, a także wkład w zakresie zastosowań wymiaru fraktalnego do problemów hydrologii, który wypracował prof.

Jan Drwal i jego szkoła. Wystawa nie uwzględnia wkładu mate−

matyków Wydziału Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowa−

nej. Zaznaczmy jednak, że prof. Wojciech Bartoszek – probabi−

lista i znawca teorii chaosu, autor przygotowanej do druku książki Matematyczne podstawy chaosu – jest także inicjatorem i pro−

motorem znakomitych prac magisterskich z teorii fraktali i ich zastosowań do badania rynków fi−

nansowych. Na Wydziale FTiMS zaawansowane badania z teorii chaosu prowadzi też dr Grzegorz Graff. Wydaje się celowe, aby naszą środowiskową wystawę (−re−

zultat współpracy UG – IM PAN – PG) w przyszłości uzupełnić o wyniki Nauki Polskiej, eksponując badania podstawowe (także Szkół Matematycznych Katowic, Krako−

wa, Warszawy) oraz fragmenty za−

stosowań analizy fraktalnej (i teo−

rii chaosu) w fizyce, chemii, biolo−

gii, ekonomii, inżynierii.

Z historii fraktali Z historii fraktaliZ historii fraktali Z historii fraktaliZ historii fraktali

Analiza fraktalna jest dziedziną matematyki bliską teorii chaosu, a ta z kolei stanowi część ogólnej teorii układów dyna−

micznych. Przedmiotem jej rozważań są zbiory fraktalne (frak−

tale), funkcje fraktalne (deterministyczne bądź losowe) oraz badanie wymiaru fraktalnego (Hansdorffa, pudełkowego). Fun−

damenty analizy fraktalnej w przestrzeniach metrycznych (np.

w R^d,d =1,2,3,...) zbudował w latach 1970/80 Benoit B. Man−

delbrot (ur. 20.11.1924, Warszawa) rozpoczynając od wyzna−

czenia wymiaru Hausdorffa trajektorii ruchu Browna oraz ba−

dania grafiki funkcji iterowanych z pomocą komputera. (Jeżeli

¶:XÆX jest funkcją w zbiorze X, to funkcje iterowane ¶¹,¶²,¶³, ...określamy następująco:

¶¹(x) = ¶(x),¶²(x) = ¶ (¶(x)),¶³(x) =¶(¶(¶(x))),..., dla x w X.) Jego dzieło kontynuuje plejada matematyków światowych, a w tym matematycy z Gdańska, Katowic, Krakowa, Warsza−

wy.

Spośród możliwych określeń fraktali, tu wybieramy defini−

cję, którą podał Michael Barnsley ([3]). Grubo mówiąc, fraktal to niepusty podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej, który jest punktem stałym pewnego wielowartościowego odwzorowania zwężającego, powiedzmy F (bliżej p. 2). Stąd wywodzi się fakt, że fraktale (np. w R^d) jako niewidzialne obiekty geome−

tryczne można zobaczyć jedynie w postaci przybliżeń, realizu−

jąc za pomocą komputera obraz dostatecznie wysokiej iteracji F^k odwzorowania F, która startuje z a priori niepustego pod−

zbioru zwartego. Stosując przy tym postępowaniu reguły ko−

lorowania, otrzymujemy (biorąc d = 2) dzieło sztuki graficz−

nej, które jest jedynie bladym odbiciem fraktala – dzieła natu−

ry. W takim kontekście prof. Zbigniew Ciesielski [Gablotka IM PAN] stwierdza:

Matematycy mają luksus posiadania pojęcia nieskończo−

ności. Nieskończona złożoność obiektów fraktalnych, obrazo−

wo mówiąc, polega na tym, że „pod mikroskopem” bez wzglę−

du na krotność powiększenia, obiekty te mają w zasadzie bar−

dzo podobną strukturę. (S a m o p o d o b i e ń s t w o – niektóre części fraktali są podobne do całości.) W konsekwencji nie je−

steśmy w stanie zobaczyć jakiegokolwiek fraktala w całej jego okazałości, a to co możemy zobaczyć przy pomocy grafiki komputerowej, to tylko przybliżenia. Pozostaje więc odwołać się do naszej wyobraźni i do teorii matematycznych, które po−

zwalają opisywać i badać obiekty fraktalne znacznie dokład−

niej. W fizyce matematycznej, zamiast badać układy bardzo wielu równań ruchu, bada się zachowanie zmiennych makro−

skopowych. Jedną z takich zmiennych bardzo ważnych w ana−

lizie fraktalnej jest wymiar fraktalny.

Na dalsze zastosowania teorii fraktali, a więc na fakt, że nasz świat jest fraktalny, zwraca też uwagę tekst z Katedry Fi−

zyki Teoretycznej i Astrofizyki UG:

Fraktale królują zwłaszcza w modnej teorii chaosu opisują−

cej układy fizyczne pod wpływem najmniejszego zaburzenia i nikt nie jest w stanie przewidzieć, jaki będzie ich los po upły−

wie niezbyt nawet długiego czasu. Geometria fraktalna wspo−

maga tradycyjną analizę dzieł sztuki. Pozwala dostrzegać re−

gularności w rozkładzie galaktyk i bakteryjnej kolonii, ….

Dostarcza narzędzi do symulacji zjawisk meteorologicznych.

Proponuje modele wzrostu kryształów i kształtu turbulencji.

[Gablotka Katedry Hydrologii UG].

Varia o wystawie Varia o wystawie Varia o wystawie Varia o wystawie Varia o wystawie

„Witajcie w świecie fraktali”

„Witajcie w świecie fraktali” „Witajcie w świecie fraktali”

Politechnika Gdańska Politechnika Gdańska Politechnika Gdańska Politechnika Gdańska Politechnika Gdańska

2 października–9 listopada 2006 roku 2 października–9 listopada 2006 roku2 października–9 listopada 2006 roku 2 października–9 listopada 2006 roku 2 października–9 listopada 2006 roku

Benoit B. Mandelbrot

(9)

Jest swego rodzaju regułą, że wielkie teorie mają zawsze prekursorów. Ważne zalążki analizy fraktalnej znajdujemy u matematyków, hydrologów, artystów. I tak analizę fraktalną wyprzedzili matematycy przełomu XIX i XX stulecia, wska−

zując ważne przykłady przyszłej teorii, które w międzyczasie przyczyniły się walnie do rozwoju topologii ogólnej oraz ana−

lizy matematycznej. Na uwagę zasługują tu także obiekty, jak

− osobliwy zbiór Cantora (1883), krzywa Peano (krzywa cią−

gła wypełniająca kwadrat; Giuseppo Peano podał efektywną konstrukcję), funkcja Weierstrassa (− funkcja rzeczywista i cią−

gła na R, która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie dzie−

dziny), krzywa von Kocha, krzywa (trójkąt, dywan, piramida, gąbka) Sierpińskiego, zbiory Julii, zbiory Madelbrota… Za−

znaczmy, że Benoit Mandelbrot, tworząc teorię fraktali, kon−

tynuował poniekąd badania, które w zakresie własności ciągu (R_n(z)) iteracji funkcji wymiernej R(z) = R¹(z) zmiennej ze−

spolonej przeprowadził Hans Brolin (Invariant sets under ite−

ration of rational functions, Ark. Mat. 6. 1965, 103–144). Jego głębokie rezultaty (nawiązujące do wyników P. Fatou z lat 1919–1920) otrzymane metodami analizy zespolonej dotyczy−

ły w szczególności iteracji wielomianów, a w tym R₁(z) = z² - p,p Œ R . Jednak Hans Brolin (ani jego poprzednik G. Juli) nie dysponowali jeszcze grafiką komputerową.

Przypomnijmy, że zbiór wszystkich liczb x (0£x£1), któ−

rych rozwinięcie trójkowe nie zawiera cyfry 1:

x = Â₁^•3^-ne_n∫(e₁,e₂,...)₃,e_n= 0 albo 2 , nazywamy zbiorem Carnota. Oto jego konstrukcja. Usuwamy z przedziału ·0,1Ò otwarty przedział środkowy , tworząc zbiór C₁= ·0,1Ò P₁ . Przedziały zbioru C₁ dzielimy znów na trzy równej długości części, usuwamy sumę i środkowych przedziałów otwartych, tworząc zbiór C₂= C₁ P₂. Postępując tak dalej, otrzymamy ciąg (C_n) pod−

zbiorów w ·0,1Ò o własnościach

C₁ … C₂… C₃…... oraz x ŒC_n¤e_i= 0 albo 2, i= 1,...,n,n= 1,2,...

Stąd zbiór graniczny C_•=«₁^•C_n jest zbiorem Cantora. Ten zbiór ma własności: jest domknięty, w sobie gęsty, nigdzie gęsty, mocy continuum, miary Lebesgue’a 0. (Ponadto d−wy−

miarowa kostka I^d, I=·0,1Ò jest ciągłym obrazem zbiory Can−

tora.)

Na długo zanim Benoit Mandelbrot traktował rzekę jako fraktal, stwierdzając, że jej wymiar (teoretyczny, czyli oderwany od środowiska) wynosi 2 (1983), idea fraktali była znaną w

hydrologii. Już R. E. Hurton (1945) rozważał rzekę jako frak−

tal, definiując jej wymiar D_w=logR_b/logR_t , gdzie R_b, R_t to od−

powiednio współczynnik bifurkacji, współczynnik średniej długości cieków wodnych. Te współczynniki obliczamy do−

świadczalnie, posługując się uporządkowaniem (hierarchizacją) cieków wodnych metodą Hortona−Strahlera lub metodą Drwa−

la (1982,…) Metoda Drwala sprawdza się szczególnie w wa−

runkach plejstoceńskiej akumulacji lodowcowej. Oczekuje się, że metodę Drwala można rozszerzyć na tereny o odmiennej morfogenezie. (Joanna Fac−Beneda, Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporządkowanej metodą Hurtona − Strahlera i metodą Drwala, Ewolucja Pojezierzy Południowobałtyckich, R. Gołe−

biewski (red.) 27 − 36, Katedra Geomorfologii i Geologii Czwar−

torzędu, UG, Gdańsk 2003.) [Gablotka Katedry Hydrologii UG]. Dr Joanna Fac−Beneda [Gablotka Katedry Hydrologii UG]

zamieściła m. in. znamienny tekst (ŚWIAT NAUKI, luty 2003, s. 76) o sztuce fraktalnej tworzonej około 25 lat przed odkry−

ciami Mandelbrota. Posłuchajmy

Prekursorem sztuki fraktalnej był czołowy amerykański abstrakcjonista Jackson Pollock (1912–1956). Jego dewizą było

”Interesuje mnie rytm natury”. Krytycy uważali, że Pollock to nie geniusz, a zwykły pijak, który odrzucił pędzel i zaczął roz−

lewać farbę bezpośrednio na płótno, by zadrwić z konwencjo−

nalistów. Pollock twierdził jednak, ze nigdy nie tracił kontroli nad swoimi wzorami. Richard P. Taylor, fizyk z University of Oregon, specjalizujący się w badaniach chaosu, poszedł tym tropem, węsząc … fraktale. Komputerowa analiza „Rytmów jesieni” i innych obrazów artysty dowiodła, że mają one bez−

sprzecznie fraktalny charakter, czego nie można powiedzieć o obrazach twórców podszywających się pod Pollocka. Próby podobnych badań podejmowano również w przypadku muzy−

ki – mówi Mandelbrot. Na ich podstawie nie można jednak orzec, czy muzyka jest dobra czy zła. Można jedynie odróżnić ją, od tego, co nią nie jest.

Pojęcie fraktala Pojęcie fraktalaPojęcie fraktala Pojęcie fraktalaPojęcie fraktala

Oto niezbędne wiadomości o przestrzeniach metrycznych.

Przestrzeń metryczna (X,d) jest to niepusty zbiór X wraz z funkcją rzeczywistą d pary punktów na X, spełniającą warunki

d(x,y)=0¤y=x,d(x,y)=d(y,x),d(x,y)£d(x,z)+d(z,y), ilekroć x,y,z są w X. (Funkcje d nazywamy metryka na X, a liczbę nieujemna d(x,y) – odległością punktów x i y.)

Mówimy, że ciąg (x_n) w X jest zbieżny do x (− ma granicę x) pisząc x_nÆx,nÆ• lub lim_nÆ•x_n=x , jeżeli ciąg odległości d(x_n,x) jest zbieżny w R do 0. (Granica ciągu zbieżnego jest jedyna.) Podzbiór AÃX jest domknięty, jeżeli wraz z dowolnym cią−

giem zbieżnym swoich elementów zawiera także jego granicę, zwarty – jeżeli każdy ciąg jego elementów ma podciąg zbież−

ny do pewnego elementu A. Przestrzeń metryczna jest zupeł−

na, jeżeli ma własność: każdy ciąg (x_n) w X spełniający waru−

nek d(x_m,x_n)Æ0, m,nÆ• jest zbieżny w X, tzn. w X istnieje x, że x_nÆx, nÆ• Oto najprostsze lecz podstawowe przestrzenie metryczne zupełne

R – zbiór liczb rzeczywistych, d(x,y)=Áx-yÁ, C – zbiór liczb zespolonych, d(u,v)=Áu-vÁ, Rⁿ– n−wymiarowa przestrzeń z metryką Euklidesa d(x,y)=(Â₁ⁿ(x_i-y_i)²)^1/2,

gdzie x=(x₁,...,x_n),y=(y₁,...,y_n), to uporządkowane układy n liczb rzeczywistych, czyli elementy w Rⁿ. W tych przestrze−