Uwaga 1. Iloraz r´ o˙znicowy funkcji f w punkcie a dla przyrostu h jest to tan- gens k¸ ata, kt´ ory tworzy prosta przechodz¸ aca przez punkty

Definicja 1 (Iloraz r´ o˙znicowy). Niech funkcja f b¸ edzie okre´ slona przynajmniej w otoczeniu (a − δ, a + δ) punktu a, δ > 0. Ilorazem r´ o ˙znicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu h, gdzie 0 < |h| < δ nazywamy liczb¸ e

f (a + h) − f (a)

h .

Uwaga 1. Iloraz r´ o˙znicowy funkcji f w punkcie a dla przyrostu h jest to tan- gens k¸ ata, kt´ ory tworzy prosta przechodz¸ aca przez punkty

(a, f (a)), (a + h, f (a + h)) z dodatni¸ a cz¸ e´ sci¸ a osi x.

Komentarz 1. Powszechnie u˙zywa si¸ e nast¸ epuj¸ acych oznacze´ n dla funkcji y = f (x):

1. Liczb¸ a h, czyli przyrost zmiennej niezale˙znej oznacza si¸ e przez ∆x.

2. Liczb¸ e f (a + h) − f (a), czyli przyrost zmiennej zale˙znej oznacza si¸ e przez

∆y.

3. Przy takich oznaczeniach iloraz r´ o˙znicowy przyjmuje posta´ c:

∆y

∆x = f (a + ∆x) − f (a)

∆x .

Definicja 2 (Pochodna funkcji w punkcie). Niech funkcja f b¸ edzie okre´ slona przynajmniej w otoczeniu (a−δ, a+δ) punktu a, δ > 0. Je˙zeli istnieje sko´ nczona granica

lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h ,

to nazywamy j¸ a pochodn¸ a w la´ sciw¸ a w punkcie a i oznaczmy symbolem f ⁰ (a).

O funkcji, kt´ ora ma pochodn¸ a w punkcie a m´ owimy, ˙ze jest r´ o ˙zniczkowalna w punkcie a.

Uwaga 2. Przy za lo˙zeniu, ˙ze funkcja f jest ci¸ ag la w punkcie a analogicznie okre´ sla si¸ e pochodne niew la´ sciwe w +∞ i −∞.

Twierdzenie 1 (R´ o˙zniczkowalno´ s´ c a ci¸ ag lo´ s´ c funkcji). Je˙zeli istnieje w la´ sciwa lub niew la´ sciwa pochodna f ⁰ (a), to funkcja jest ci¸ ag la w punkcie a.

Uwaga 3. • Je˙zeli funkcja f jest r´ o˙zniczkowalna w punkcie a, to f ⁰ (a) jest tangensem k¸ ata, kt´ ory tworzy styczna do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)) z dodatni¸ a cz¸ e´ sci¸ a osi x.

• Je˙zeli f ⁰ (a) = ±∞, to styczna do wykresu jest prost¸ a pionow¸ a.

• Je˙zeli funkcja f jest r´ o˙zniczkowalna w punkcie a, to r´ ownanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (a, f (a)) jest postaci

y = f ⁰ (a)(x − a) + f (a).

• Pochodna jest miar¸ a szybko´ sci przyrostu funkcji w chwili a.

• Je˙zeli funkcja s = s(t) jest funkcj¸ a drogi w zale˙zno´ sci od czasu, to pochodna s ⁰ (a) jest pr¸ edko´ sci¸ a w chwili a.

• Je˙zeli v = v(t) jest funkcj¸ a pr¸ edko´ sci w zale˙zno´ sci od czasu, to v ⁰ (a) jest przy´ spieszeniem w chwili a.

Przyk lad 1. Obliczymy z definicji pochodn¸ a funkcji f (x) = 2x ² − 16x + 7 w punkcie a = 4:

lim

h→0

f (4 + h) − f (4)

h =

= lim

h→0

2 · (h + 4) ² − 16 · (h + 4) + 7 − (2 · 4 ⁴ − 16 · 4 + 7)

h =

= lim

h→0

2h ² h = lim

h→0 2h = 0.

Zatem f ⁰ (4) = 0. Styczn¸ a do wykresu funkcji f w punkcie (4, −25) jest prosta y = −25.

Definicja 3. Je˙zeli funkcja f jest okre´ slona w pewnym przedziale [a, a+b], gdzie b > 0 oraz istnieje granica ilorazu r´ o˙znicowego

lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h ,

to granic¸ e t¸ e nazywamy pochodn¸ a prawostronn¸ a funkcji f w punkcie a i oznaczamy przez f ₊ ⁰ (a). Je˙zeli funkcja f jest okre´ slona w pewnym przedziale [a − b, a], gdzie b > 0 oraz istnieje granica ilorazu r´ o˙znicowego

lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h ,

to granic¸ e t¸ e nazywamy pochodn¸ a lewostronn¸ a funkcji f w punkcie a i oz- naczamy przez f ₋ ⁰ (a).

Uwaga 4. Funkcja f okre´ slona w otoczeniu punktu a ma w tym punkcie pochodn¸ a dok ladnie wtedy, gdy ma w tym punkcie pochodn¸ a prawostronn¸ a oraz pochodn¸ a lewostronn¸ a i obie te pochodne s¸ a sobie r´ owne.

Przyk lad 2. Obliczymy pochodn¸ a prawo i lewostronn¸ a funkcji f (x) = |x| w punkcie a = 0.

• f ₊ ⁰ (0) = lim

h→0

f (h+0)−f (0)

h = lim

h→0

h h = 1;

• f ₋ ⁰ (0) = lim

h→0

f (h+0)−f (0)

h = lim

h→0

−h

h = −1.

Pochodne jednostronne co prawda istniej¸ a, ale nie s¸ a sobie r´ owne, a zatem funkcja f ostatecznie nie posiada pochodnej w punkcie 0. Przyjrzyj si¸ e uwa˙znie wykresowi funkcji f . Co zauwa˙zy le´ s?

Komentarz 2. Poj¸ ecie pochodnej wprowadzi l do matematyki Izaak Newton w drugiej po lowie XV II w. Wsp´ o ltw´ orc¸ a rachunku pochodnych, nazywanego rachunkiem r´ o˙zniczkowym, by l niemiecki matematyk i filozof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 − 1716).

Poni˙zej podajemy pochodne funkcji elementarnych 1. c ⁰ = 0 (pochodna funkcji sta lej jest r´ owna 0), 2. (x ^p ) ⁰ = px ^p−1 dla dowolnego p ∈ R,

3. (sin x) ⁰ = cos x, (cos x) ⁰ = − sin x, 4. (tg x) ⁰ = _cos ¹

x , (ctg x) ⁰ ; = − _sin ¹

x , 5. (a ^x ) ⁰ = a ^x ln a, (e ^x ) ⁰ = e ^x ,

6. (log _a x) ⁰ = _x ¹ _{ln a} ¹ , (ln x) ⁰ = ¹ _x , 7. (arcsin x) ⁰ = ^{√ 1}

1−x

, (arccos x) ⁰ = − ^{√ 1}

1−x

, 8. (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

, (arcctg x) ⁰ = − _1+x ¹

.

Definicja 4. Funkcj¸ e f nazywamy r´ o ˙zniczkowaln¸ a w zbiorze A, je˙zeli jest r´ o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie tego zbioru. Funkcj¸ e, kt´ ora ka˙zdemu a ∈ A przyporz¸ adkowuje pochodn¸ a f ⁰ (a) w tym punkcie nazywamy pochodn¸ a f ⁰ na zbiorze A.

Twierdzenie 2. Je˙zli funkcje f, g maj¸ a pochodne w a, to 1. (f ± g) ⁰ (a) = f ⁰ (a) ± g ⁰ (a),

2. (cf ) ⁰ (a) = cf ⁰ (a), gdzie c ∈ R, 3. (f · g) ⁰ (a) = f ⁰ (a)g(a) + f (a)g ⁰ (a) 4.  _f

g

 ⁰

(a) = ^f

(a)g(a)−f (a)g

(a)

g

(a) , o ile g(a) 6= 0.

Twierdzenie 3. 1. Je˙zeli f ma pochodn¸ a w punkcie a, za´ s g ma pochodn¸ a w punkcie f (a), to

(g ◦ f ) ⁰ (a) = g ⁰ (f (a))f ⁰ (a).

2. Je˙zeli funkcja f jest ci¸ ag la i ´ sci´ sle monotoniczna w otoczeniu punktu a oraz ma pochodn¸ a f ⁰ (a) 6= 0, to

f ⁻¹
0

(f (a)) = 1

f ⁰ (a) .

Przyk lad 3. Oblicz pochodne podanych funkcji 1. f (x) = x ¹⁰ + x ⁷ − 3x ² + 8x + 2019;

2. f (x) = 5 ^x − 3 sin x + cos x − 5 ln x;

3. f (x) = (3x ² + 6x + 2)(x ³ + 3x ² − x + 7);

4. f (x) = _x

^3x _+3x

^+6x+2

_−x+7 ;

5. f (x) = ln ⁷ (x ³ + 3x ² − x + 1);

6. f (x) = sin ⁴ (x ² + 1);

7. f (x) = ³

_cos

_x+sin ^{+2 sin 5x}

_x .

Twierdzenie 4 (Pochodna a monotoniczno´ s´ c). Niech I b¸ edzie dowolnym przedzia lem.

Je˙zeli funkcja f spe lnia dla wszystkich x ∈ I warunek:

1. f ⁰ (x) = 0, to jest sta la w tym przedziale;

2. f ⁰ (x) > 0, to jest rosn¸ aca w tym przedziale;

3. f ⁰ (x) ≥ 0, to jest niemalej¸ aca w tym przedziale;

4. f ⁰ (x) < 0, to jest malej¸ aca w tym przedziale;

5. f ⁰ (x) ≤ 0, to jest nierosn¸ aca w tym przedziale.

Przyk lad 4. Okre´ sl przedzia ly, w kt´ orych funkcja f (x) = 3x ⁵ − 5x ³ + 3 jest rosn¸ aca lub malej¸ aca.

Definicja 5 (Ekstrema funkcji). Funkcja f ma w punkcie a 1. minimum lokalne (odp.minimum lokalne w la´ sciwe), je˙zeli

f (x) ≥ f (a) ( odp. f (x) > f (a)) dla wszystkich punkt´ ow x z pewnego s¸ asiedztwa punktu a;

2. maksimum lokalne (odp.maksimum lokalne w la´ sciwe), je˙zeli f (x) ≤ f (a) ( odp. f (x) < f (a))

dla wszystkich punkt´ ow x z pewnego s¸ asiedztwa punktu a.

Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.

Twierdzenie 5 (Fermata, warunek konieczny istnienia ekstremum). Je˙zeli

funkcja f ma

1. pochod¸ a f ⁰ (a)

2. ekstremum lokalne w punkcie a, to f ⁰ (a) = 0.

Uwaga 5. Funkcja mo ˙ze mie´ c ekstremum tylko w punktach, w kt´ orych pochodna zeruje si¸ e lub nie istnieje, czyli w tzw. punktach krytycznych. Ze znikania pochodnej f ⁰ (a) nie wynika jeszcze wcale, ˙ze f ma w tym punkcie ekstremum.

Twierdzenie 6 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum). Je˙zeli f ⁰ (a) = 0 oraz istnieje δ > 0 taka,˙ze

1. f ⁰ (a) < 0 dla x ∈ (a−δ, a) i f ⁰ (a) > 0 dla x ∈ (a, a+δ), to f ma minimum lokalne w la´ sciwe w a,

2. f ⁰ (a) > 0 dla x ∈ (a − δ, a) i f ⁰ (a) < 0 dla x ∈ (a, a + δ), to f ma maksimum lokalne w la´ sciwe w a.

Twierdzenie 7 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum II). Je˙zeli funkcja f spe lnia warunki:

1. f ⁰ (a) = f ⁰⁰ (a) = . . . = f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (a) = 0, 2. f ⁽ⁿ⁾ (a) < 0,

3. n jest liczb¸ a parzyst¸ a, n ≥ 2

to f ma w a maksimum lokalne w la´ sciwe.

Uwaga 6. Je˙zeli w za lo˙zeniach twierdzenia zamienimy warunek (2) na f ⁽ⁿ⁾ (a) >

0, to f ma w a minimum lokalne w la´ sciwe. Je˙zeli natomiast n jest liczb¸ a nieparzyst¸ a i f ⁽ⁿ⁾ (a) 6= 0, to f nie ma ekstremum w a.

Przyk lad 5. Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji f (x) = 3x ⁵ − 5x ³ + 3.

Jak znale´ z´ c warto´ s´ c najwi¸ eksz¸ a i najmniejsz¸ a funkcji

Poni˙zej przedstawiamy schemat znajdowania warto´ sci najwi¸ ekszej i najm- niejszej (czyli ekstrem´ ow absolutnych) funkcji f ci¸ ag lej na przedziale [a, b]

1. znajdujemy punkty krytyczne w przedziale (a, b);

2. wyznaczamy warto´ sci f (a), f (b) funkcji f na kra´ ncach przedzia lu, 3. wybieramy warto´ s´ c najwi¸ eksz¸ a i najmniejsz¸ a w´ sr´ od uzyskanych wynik´ ow.

Przyk lad 6. Znajdziemy warto´ s´ c najwi¸ eksz¸ a i najmniejsz¸ a funkcji f (x) = 3x ⁵ − 5x ³ + 3

w przedziale [−2, 2].

Wkl¸ es lo´ s´ c i wypuk lo´ s´ c

Definicja 6 (funkcja wypuk la a funkcja wkl¸ es la). Funkcj¸ e f nazywamy wy- puk l¸ a w przedziale I, je˙zeli dla ka˙zdych dw´ och punkt´ ow x ₁ , x ₂ ∈ I i dla ka˙zdego t ∈ (0, 1),

f (tx 1 + (1 − t)x 2 ) ≤ tf (x 1 ) + (1 − t)f (x 2 ).

Oznacza to, ˙ze odcinek siecznej wykresu funkcji f l¸ acz¸ acej punkty (x 1 , f (x 1 )), (x 2 , f (x 2 )) le˙zy nad wykresem lub pokrywa si¸ e z wykresem tej funkcji pomi¸ edzy tymi punktami. Je˙zeli odwr´ ocimy znak nier´ owno´ sci, to otrzymamy definicj¸ e funkcji wkl¸ es lej. Je˙zeli nier´ owno´ sci zamienimy na ostre, to funkcj¸ e nazywamy

´ sci´ sle wypuk l¸ a, b¸ ad´ z odpowiednio ´ sci´ sle wkl¸ es l¸ a.

Twierdzenie 8. Niech I b¸ edzie dowolnym przedzia lem. Je˙zeli funkcja f spe lnia dla wszystkich x ∈ I warunek:

1. f ⁰⁰ (x) > 0, to jest ´ sci´ sle wypuk la w tym przedziale;

2. f ⁰⁰ (x) ≥ 0, to jest wypuk la w tym przedziale;

3. f ⁰⁰ (x) < 0, to jest ´ sci´ sle wkl¸ es la w tym przedziale;

4. f ⁰⁰ (x) ≤ 0, to jest wkl¸ es la w tym przedziale.

Punkt przegi¸ ecia funkcji

Definicja 7. Niech funkcja f okre´ slona b¸ edzie przynajmniej w otoczeniu punktu c oraz ma w tym punkcie pochodn¸ a (w la´ sciw¸ a lub niew la´ sciw¸ a). Punkt (c, f (c)) nazywamy punktem przegi¸ ecia wykresu funkcji f , je˙zeli f jest ´ sci´ sle wy- puk la w prawostronnym lub lewostronnym s¸ asiedztwie punktu c, natomiast ´ sci´ sle wkl¸ es la w drugim z tych jednostronnych s¸ asiedztw.

Twierdzenie 9 (Warunek konieczny istnienia punktu przegi¸ ecia). Je˙zeli f ma w punkcie c punkt przegi¸ ecia i drug¸ a pochodn¸ a, to f ⁰⁰ (c) = 0.

Uwaga 7. Funkcja mo˙ze mie´ c punkt przegi¸ ecia jedynie w punktach, w kt´ orych druga pochodna zeruje si¸ e lub nie istnieje.

Twierdzenie 10 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegi¸ ecia). Je˙zeli funkcja f

1. ma pochodn¸ a f ⁰ (c) (w la´ sciw¸ a lub niew la´ sciw¸ a) 2. istnieje takie δ > 0, ˙ze

(a) f ⁰⁰ (x) < 0 dla x ∈ (c − δ, c) i f ⁰⁰ (x) > 0 dla x ∈ (c, c + δ), (b) f ⁰⁰ (x) > 0 dla x ∈ (c − δ, c) i f ⁰⁰ (x) < 0 dla x ∈ (c, c + δ), to punkt (c, f (c)) jest punktem przegi¸ ecia wykresu funkcji f .

Twierdzenie 11 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegi¸ ecia II). Je˙zeli

funkcja f spe lnia warunki:

1. f ⁰⁰ (c) = . . . = f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (c) = 0, 2. f ⁽ⁿ⁾ (c) 6= 0,

3. n jest liczb¸ a nieparzyst¸ a wi¸ eksz¸ a od 2,

to punkt (c, f (c)) jest punktem przegi¸ ecia funkcji f .

Przyk lad 7. Wska˙z przedzia ly wypuk lo´ sci i wkl¸ es lo´ sci funkcji f (x) = 3x ⁵ − 5x ³ + 3.

Badanie przebiegu zmienno´ sci funkcji

Celem badania przebiegu zmienno´ sci danej funkcji jest podanie jej podsta- wowych w lasno´ sci i naszkicowanie wykresu. Badanie obejmuje zwykle nast¸ epuj¸ ace czynno´ sci

• wyznaczenie dziedziny funkcji,

• zbadanie parzysto´sci, nieparzysto´sci i okresowo´sci (je˙zeli podejrzewamy,

˙ze kt´ ora´ s z w lasno´ sci zachodzi),

• wyznaczenie miejsc zerowych funkcji oraz punkt´ ow przeci¸ ecia z osi¸ a Oy,

• wyznaczenie granic lub warto´sci na ko´ ncach przedzia l´ ow okre´ slono´ sci funkcji,

• wyznaczenie asymptot pionowych i uko´snych,

• wyznaczenie przedzia l´ ow monotoniczno´ sci i ekstrem´ ow lokalnych,

• wyznaczenie przedzia l´ ow wypuk lo´ sci i punkt´ ow przegi¸ ecia,

• narysowanie wykresu funkcji.

Przyk lad 8. Zbadaj przebieg zmienno´ sci funkcji 1. f (x) = 3x ⁵ − 5x ³ + 3,

2. f (x) = _x

^x −1 .