• Nie Znaleziono Wyników

12. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a3 +

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "12. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a3 +"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Instytut Matematyczny UWr www.math.uni.wroc.pl/∼jwr/BO2020 III LO we Wrocławiu

12. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a3+ b4+ c5= d4.

13. Udowodnij istnienie nieskończenie wielu takich trójek liczb całkowitych dodatnich a, b, c, że

a2+ b2= c2, a ponadto NWD(a, b, c) = 1.

Wskazówka: Przyjmij a = x − y oraz c = x + y, a następnie podstaw za x oraz y od- powiednie wyrażenia.

14. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a3+ b4+ c5= d4,

a ponadto NWD(a, b, c, d) = 1.

Wskazówka: Przyjmij b = x − 1 oraz d = x + 1, a następnie podstaw za x odpowiednią liczbę.

15. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a4+ b5+ c7= d4,

a ponadto NWD(a, b, c, d) = 1.

16. Rozstrzygnij, czy równanie

a8+ b24+ c25+ d48+ e49= f8

ma rozwiązanie w dodatnich liczbach całkowitych a, b, c, d, e, f spełniających warunek NWD(a, b, c, d, e, f ) = 1.

17. Ile istnieje takich liczb całkowitych dodatnich n < 105, że liczba n2− 1 jest po- dzielna przez 105?

18. Ile istnieje takich liczb całkowitych dodatnich n < 91, że liczba n3− 1 jest podziel- na przez 91?

19. Udowodnij, że istnieje 2020 kolejnych liczb złożonych.

20. Udowodnij, że istnieje 2020 kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma co najmniej 2020 różnych dzielników pierwszych.

21. Udowodnij, że istnieje 2020 kolejnych liczb naturalnych, z których każda jest podzielna przez 2020-tą potęgę pewnej liczby pierwszej.

22. Udowodnij, że istnieje 2020 kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma dzielnik pierwszy postaci 4k + 3 występujący w jej rozkładzie na czynniki pierwsze w pierwszej potędze.

23. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych dających przy dziele- niu przez 6 resztę 5.

24. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych p, że liczby p ± k są złożone dla k = 1,2,3,...,2020.

W tym (i tylko w tym) zadaniu wolno skorzystać bez dowodu z twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych:

Każdy rosnący postęp arytmetyczny o wyrazach naturalnych, w którym różnica postępu jest względnie pierwsza z początkowym wyrazem, zawiera nieskończenie wiele liczb pierw- szych.

- 3 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2020/21, klasy 1A, 2Ap, 2Ag, 3A

Cytaty

Powiązane dokumenty

Szuler jest gotów grać z nami wiele razy o dowolne stawki, które jesteśmy w stanie założyć.. Udowodnić, że niezależnie od wyboru strategii nasze szanse na uzyskanie

Wykaż, korzystając z definicji granicy ciągu, że... Jakie są granice

Wykaż, że spośród dowolnych 18 liczb całkowitych można wybrać dwie takie, których różnica dzieli się przez 17..

Dwa układy korali uważamy za równoważne, jeśli jeden można uzyskać z drugiego przez obrót okręgu..

Wy- każ, że środek okręgu wpisanego w 4DEF , środek ciężkości 4ABC i punkt przecięcia się dwusiecznych 4ABC leżą na jednej

Udowodnij, że liczba kierunków w jakich może się poruszać kula jest skończona (zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta).. Siłę tarcia oraz wymiary

Czy można pokolorować pewne punkty tego zbioru na czerwono, a pozostałe na biało, w taki sposób, że dla każdej prostej ` równoległej do którejkolwiek osi układu

Wielomian W, stopnia wi ekszego od czterech, o współczynnikach całkowitych, przyjmuje , dla co najmniej pi eciu różnych argumentów całkowitych wartość 5.. Wykazać, że nie może