• Nie Znaleziono Wyników

Konstruowanie przykładów szeregów.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Konstruowanie przykładów szeregów."

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

Konstruowanie przykładów szeregów.

Szeregi geometryczne mogą służyć do konstruowania przykładów szeregów o zadanych własnościach. Popatrzmy na kilka tego typu zagadnień.

260. Wyznaczyć wszystkie zbieżne szeregi geometryczne P

n=1ano wyrazach dodat- nich spełniające warunki

X n=1

an= 5 oraz

X n=1

a2n= 15 . Rozwiązanie:

Niech q będzie ilorazem szeregu geometrycznego P

n=1an. Wówczas dodatniość wyrazów i zbieżność szeregu pociągają nierówności a1> 0 oraz 0 < q < 1, a wyrazy szeregu wyrażają się wzorem an= a1qn−1. Ponadto ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego

X n=1

an= a1 1 − q . Ponieważ wyrazy szeregu

X n=1

a2n wyrażają się wzorem

a2n= a21·q2n−1 ,

szereg ten jest szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a21 i ilorazie q2. Wobec tego

X n=1

a2n= a21 1 − q2.

Zatem warunki podane w treści zadania przyjmują postać a1

1 − q = 5 oraz a21

1 − q2 = 15 , co po przekształceniu prowadzi do układu równań

a1 = 5 · (1 − q)

a21 = 15 · (1 − q) · (1 + q) Podstawienie a1= 5 · (1 − q) do drugiego równania daje

25 · (1 − q)2= 15 · (1 − q) · (1 + q) ,

skąd po uwzględnieniu q 6=1 i podzieleniu obustronnie przez 5·(1−q) otrzymujemy kolejno 5 − 5q = 3q + 3 ,

q = 1/4, a1= 15/4 .

Odpowiedź: Jedynym szeregiem geometrycznym spełniającym warunki zadania jest szereg

X n=1

15 4n.

Wykład 19 - 197 - 19.11.2020

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

261. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego P

n=1an o wyrazach dodatnich, że

X n=1

an=

X n=1

anan+1=15 2 . Rozwiązanie:

Spróbujemy znaleźć szereg geometryczny o żądanych własnościach.

W tym celu załóżmy, że an= cqn−1, pamiętając, aby c > 0 oraz 0 < q < 1. Wówczas

X n=1

an=

X n=1

cqn−1= c 1 − q

oraz

X n=1

anan+1=

X n=1

c2qq2n−1= c2q 1 − q2 ,

co po uwzględnieniu warunków zadania oraz prowadzi do układu równań

c

1 − q = 15/2 c2q

1 − q2 = 15/2 , czyli

( c = 15(1 − q)/2 c2q = 15 (1 − q2) /2 . Dzieląc drugie równanie przez pierwsze otrzymujemy

cq = 1 + q ,

co po podstawieniu do pierwszego równania przemnożonego przez q daje kolejno 1 + q = 15q/2 − 15q2/2 ,

2 + 2q = 15q − 15q2, 15q2− 13q + 2 = 0 ,

q =13 ± 7 30 , skąd

q = 2/3, c = 5/2 lub

q = 1/5, c = 6 . Otrzymane rozwiązania prowadzą odpowiednio do

an= cqn−1=5 · 2n−2

3n−1 oraz an= cqn−1= 6 5n−1.

Odpowiedź: Przykładem szeregu spełniającego warunki zadania jest szereg

X n=1

6 5n−1.

Wykład 19 - 198 - 19.11.2020

(3)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

262. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego P

n=1an o wyrazach dodatnich, że

X n=1

an=

X n=1

(an+ an+1)2=9 8. Rozwiązanie:

Spróbujemy znaleźć szereg geometryczny o żądanych własnościach.

W tym celu załóżmy, że an= cqn−1, pamiętając, aby c > 0 oraz 0 < q < 1. Wówczas

X n=1

an=

X n=1

cqn−1= c 1 − q oraz

X n=1

(an+ an+1)2=

X n=1

c2(1 + q)2·q2n−1=c2· (1 + q)2 1 − q2 , co po uwzględnieniu warunków zadania oraz prowadzi do układu równań

c 1 − q=9

8 c2· (1 + q)2

1 − q2 =9 8, czyli

( 8c = 9(1 − q) 8c2· (1 + q) = 9 (1 − q) . Dzieląc drugie równanie przez pierwsze otrzymujemy

c · (1 + q) = 1 ,

co po podstawieniu do pierwszego równania przemnożonego przez 1+q daje kolejno 8 = 9 ·1 − q2,

8/9 = 1 − q2, q2= 1/9 , skąd

q = 1/3, c = 1/(1 + q) = 3/4 . Otrzymane rozwiązanie prowadzi do

an= cqn−1= 1 4 · 3n−2.

Odpowiedź: Przykładem szeregu spełniającego warunki zadania jest szereg

X n=1

1 4 · 3n−2.

Wykład 19 - 199 - 19.11.2020

(4)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

263. Wyznaczyć wszystkie zbieżne szeregi geometryczne P

n=1ano wyrazach dodat- nich spełniające warunki

X n=1

an= 5 oraz

X n=1

a2n= 2 . Rozwiązanie:

Niech q będzie ilorazem szeregu geometrycznego P

n=1an. Wówczas dodatniość wyrazów i zbieżność szeregu pociągają nierówności a1> 0 oraz 0 < q < 1, a wyrazy szeregu wyrażają się wzorem an= a1qn−1. Ponadto ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego

X n=1

an= a1 1 − q . Ponieważ wyrazy szeregu

X n=1

a2n wyrażają się wzorem

a2n= a1q ·q2n−1 ,

szereg ten jest szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a1q i ilorazie q2. Wobec

tego

X n=1

a2n= a1q 1 − q2 . Zatem warunki podane w treści zadania przyjmują postać

a1

1 − q = 5 oraz a1q 1 − q2= 2 , co po przekształceniu prowadzi do układu równań

a1 = 5 · (1 − q)

a1q = 2 · (1 − q) · (1 + q) Podstawienie a1= 5 · (1 − q) do drugiego równania daje

5 · (1 − q) · q = 2 · (1 − q) · (1 + q) ,

skąd po uwzględnieniu q 6= 1 i podzieleniu obustronnie przez 1 − q otrzymujemy kolejno 5q = 2q + 2 ,

q = 2/3, a1= 5/3 .

Odpowiedź: Jedynym szeregiem geometrycznym spełniającym warunki zadania jest szereg

X n=1

5 · 2n−1 3n .

Wykład 19 - 200 - 19.11.2020

Cytaty

Powiązane dokumenty

Następnie, na podstawie otrzymanych wyników, przeprowadzono analizę porównawczą wartości dla poszczególnych komponentów, pomiędzy obszarami wiejskimi powiatów wchodzących

Prześledzenie przeprowadzonego wcześniej rachunku spowodowało uświadomienie sobie przez osobę B zależności: związek, w jakim pozostają cyfry liczb wskazanych jako

• Przetestować różną szerokość okna wygładzania oraz różne metody: simple, Trian- gular, Exponential Simple, Exponential Modified, Cumulative.. • Dokonać ekstrapolacji

Sprawdzić, że proces jest sss i znależć funkcję kowariancji tego procesu2. Skonstruować proces sss, dla którego funkcja kowariancji nie ma

Na okręgu będącym brzegiem koła zbieżności szereg potęgowy może być zbieżny w czę- sci punktów, a w części

W każdym z zadań 447.1-447.15 podaj w postaci przedziału zbiór wszystkich wartości rzeczywistych parametru p, dla których podany szereg liczbowy jest zbieżny.. Przedział może

Chcemy rozstrzygnąć, czy przy danym p powyższe sumy są ograniczone (czyli istnieją), czy też nieograniczone.. Jak jest dla

Na rysunku należy teraz tak poprowadzić linię, żeby: tylko w przedziale (-3,1) wykres był pod osią x (warunek trzeci w zadaniu, czyli tylko tu funkcja ma być pod osią x