Warsztaty z kombinatoryki – Lubachów 2018 – Zadania
1. Znaleźć współczynnik przy x5y13 w rozwinięciu (3x − 2y)18. Jaki współczynnik znajduje się przy x8y9? 2. Podać interpretację kombinatoryczną równości
(a) k nk = n n−1k−1
(b) n0 + n1 + . . . + nn = 2n oraz n0 + n12 + n222+ . . . + nn2n= 3n (c) n0 + n2 + . . . = n1 + n3 + . . ., gdy n parzyste
(d) 1 n1 + 2 n2 + . . . + n nn = n2n−1
(e) 12 n1 + 22 n2 + . . . + n2 nn = n2n−1+ n(n − 1)2n−2.
3. Używając argumentacji kombinatorycznej udowodnić tożsamość (w podanej formie)
n k
−n − 3 k
=n − 1 k − 1
+n − 2 k − 1
+n − 3 k − 1
.
Wskazówka: Niech S będzie zbiorem z 3 wyróżnionymi elementami a, b i c. Zliczyć pewne k-kombinacje S.
4. Pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n 2 zachodzi wzór
n 1
− 2n 2
+ 3n
3
− 4n 4
+ . . . + (−1)n−1nn n
= 0.
5. Za pomocą całkowania wzoru dwumianowego wyprowadzić wzór 1 +1
2
n 1
+1
3
n 2
+1
4
n 3
+ . . . + 1 n + 1
n n
= 2n+1− 1 n + 1 . 6. Obliczyć sumę 12+ 22+ . . . + n2 korzystając ze wzoru
m2= 2m 2
+m
1
oraz z pewnego wzoru wyprowadzonego na wykładzie.
7. Znaleźć liczby całkowite a, b i c spełniające
m3= am 3
+ bm
2
+ cm
1
.
Następnie znaleźć wzór na 13+ 23+ 33+ . . . + n3.
8. Używając argumentacji kombinatorycznej pokazać, że dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych m1, m2i n mamy
n
X
k=0
m1
k
m2
n − k
=m1+ m2
n
.
9. Wyprowadzić wzór
1n 1
+ 2n
2
+ . . . + nn n
= n2n−1,
używając argumentów kombinatorycznych. Wskazówka: Obliczyć liczbę podzbiorów zbioru n-elementowego z jed- nym wyróżnionym elementem tego podzbioru.
10. Ile jest liczb całkowitych pomiędzy 1 i 10 000 (włącznie), niepodzielnych przez 4, 5 ani 6?
11. Ile jest liczb całkowitych pomiędzy 1 i 10 000 (włącznie), niepodzielnych przez 4, 6, 7 ani 10?
12. Ile jest liczb całkowitych pomiędzy 1 i 10 000 (włącznie), które nie są kwadratami ani sześcianami liczb całkowitych?
13. Piekarnia ma w sprzedaży słodkie bułki: 3 z czekoladą, 7 z dżemem i 3 bez nadzienia. W pudełku mieści się 12 bułek. Ile różnych pudełek można kupić w piekarni ?
14. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1+ x2+ x3= 14 w nieujemnych liczbach całkowitych nie przekraczających 8.
15. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1+ x2+ x3= 14 w dodatnich liczbach całkowitych nie przekraczających 8.
16. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1+ x2+ x3+ x4= 20 w liczbach całkowitych takich, że 1 ¬ x1¬ 6, 0 ¬ x2¬ 7, 4 ¬ x3¬ 8 i 2 ¬ x4¬ 6.
17. Wyznaczyć liczbę permutacji zbioru {1, 2, . . . , 8}, w których żadna liczba parzysta nie znajduje się na swojej naturalnej pozycji.
18. Wyznaczyć liczbę permutacji zbioru {1, 2, . . . , 8}, w których dokładnie cztery liczby znajdują się na swoich natu- ralnych pozycjach.
19. Na przyjęciu 7 panów zostawiło w szatni kapelusze. Na ile sposobów szatniarz może zwrócić kapelusze przy zało- żeniu, że
(a) żaden z panów nie otrzyma swojego kapelusza?
(b) przynajmniej jeden pan otrzyma swój własny kapelusz?
(c) przynajmniej dwóch panów otrzyma swoje własne kapelusze?
20. Za pomocą argumentów kombinatorycznych wyprowadzić tożsamość n! =n
0
D0+n 1
D1+n 2
D2+ . . . +
n n − 1
Dn−1+n n
Dn.
(Przyjmujemy D0= 1.)
21. Korzystając ze wzoru na liczby Dn pokazać, że Dn= (n − 1)(Dn−2+ Dn−1) dla n 3.
22. Pokazać, że Dn jest liczbą parzystą dokładnie wtedy, gdy n jest liczbą nieparzystą.
23. Osiem dziewczynek kręci się na karuzeli. Na ile sposobów mogą one zamienić się miejscami (zamiana następuje, gdy karuzela chwilowo zatrzyma się ) tak, że każda dziewczynka ma inną koleżankę przed sobą ?
24. Ośmiu chłopców kręci się na karuzeli tak, że są zwróceni twarzą do środka karuzeli. Na ile sposobów mogą oni zamienić się miejscami tak, że każdy chłopczyk ma innego kolegę na przeciwko ?
25. Rozważmy szachownicę 1 × n. Każde pole szachownicy jest pomalowane na czerwono lub niebiesko tak, że nie ma dwu sąsiednich czerwonych kwadratów. Niech g(n) oznacza liczbę sposobów pokolorowania szachownicy. Znaleźć wzór rekurencyjny jaki spełniają liczby g(n). Następnie znaleźć wzór na g(n).
26. Dla n = 1, 2, 3, . . . niech h(n) oznacza ilość różnych sposobów pokolorowania pól szachownicy 1 × n barwami białą, niebieską i czerwoną tak, że nie ma dwu sąsiednich czerwonych kwadratów. Znaleźć wzór rekurencyjny jaki spełniają liczby h(n). Następnie znaleźć wzór na h(n).
27. Załóżmy, że Fibonacci umieścił dwie pary królików w odosobnieniu na początku roku. Znaleźć liczbę par królików po roku. Ogólniej, znaleźć liczbę par królików po n miesiącach.
28. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = 4H(n − 2) dla n = 2, 3, 4, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 0 i H(1) = 1.
29. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = (n + 2)H(n − 1) dla n = 1, 2, 3, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 2.
30. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = H(n − 1) + 9H(n − 2) − 9H(n − 3) dla n = 3, 4, 5, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 0, H(1) = 1 i H(2) = 2.
31. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = 8H(n−1)−16H(n−2) dla n = 2, 3, 4, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = −1 i H(1) = 0.
32. Znaleźć wzór rekurencyjny na liczbę sposobów wypłacenia n złotych przy użyciu (a) monet jedno i dwuzłotowych;
(b) monet jedno, dwu i pięciozłotowych.
33. Dla grafu skierowanego podanego niżej wyznaczyć liczbę różnych skierowanych dróg składających się z n krawędzi, zaczynających się w a i kończących się w c.
a b c
>
>
<
>
<
34. Znaleźć wzór rekurencyjny na liczbę sposobów rozdzielenia n obiektów pomiędzy 4 różne osoby.
35. Znaleźć wzór rekurencyjny na ilość ciągów długości n złożonych z 0,1 i 2 takich, że bezpośrednio na lewo od 2 nie może znajdować się 1.
36. Dziecko codziennie chodzi do ciastkarni. Kupuje albo jedno z dwu rodzajów ciastek po złotówce albo jedno z trzech rodzajów ciastek po 2 złote. Znaleźć i rozwiązać relację rekurencyjną na liczbę sposobów wydania n złotych w ciastkarni (kolejność jest istotna).
∗36. Pokazać, że ciąg√ 6,p
6 +√ 6,
q 6 +p
6 +√
6, . . . jest zbieżny do liczby 3. Wskazówka: Znaleźć wzór rekurencyjny dla wyrazów ciągu.
37. Rozwiązać niejednorodne równania rekurencyjne.
(a) h(n) = 4h(n − 1) + 3 · 2n, (n 1), h(0) = 1.
(b) h(n) = 3h(n − 1) − 2, (n 1), h(0) = 1.
(c) h(n) = 2h(n − 1) + n (n 1), h(0) = 1.
(d) h(n) = 6h(n − 1) − 9h(n − 2) + 2n, (n 2), h(0) = 1, h(1) = 0.
∗38. 2n różnych punktów leży na okręgu. Niech h(n) oznacza liczbę sposobów połaczenia tych punktów w pary tak, że otrzymane odcinki nie przecinają się. Znaleźć wzór rekurencyjny dla liczb h(n).
∗39. Chcemy pociąć pasek wymiaru 1 × n na kwadraty jednostkowe. Na ile sposobów możemy to zrobić, jeśli w każdym kroku:
(a) tniemy jeden z kawałków zawierający więcej niż jeden kwadrat na dwa ? (b) tniemy wszystkie kawałki zawierające więcej niż jeden kwadrat na dwa ?
