• Nie Znaleziono Wyników

ZADANIA Z PS1 – 5 1. W chwili t = 0 cza,

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "ZADANIA Z PS1 – 5 1. W chwili t = 0 cza,"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

ZADANIA Z PS1 – 5

1. W chwili t = 0 cza,stka zaczyna ruch po osi X -´ow w kierunku dodatnim, z pre,dko´scia, 1. W chwili t = 1 rzucamy moneta,i je´sli wypadnie orze l, cza,stka kontynuuje sw´oj ruch, je ˙zeli wypa- dnie reszka, zmienia kierunek ruchu, tzn. zaczyna porusza´c sie, w lewo, z ta, sama, pre,dko´scia,. Niech Xt oznacza po lo ˙zenie cza,stki w chwili t, t ≥ 0, FtX = σ{Xs, 0 ≤ s ≤ t}. Sprawdzi´c, ˙ze (FtX)t∈R+ 6= (Ft+X)t∈R+.

2. X = (Xt)t∈R+ jest procesem o przyrostach niezale ˙znych, t > s ≥ 0. Pokaza´c, ˙ze a) Xt− Xs jest niezale ˙zne od FsX,

b) gdy X jest prawostronnie cia,g ly, to Xt− Xs jest niezale ˙zne od Fs+X.

Wsk. do b): Pokaza´c, ˙ze dla ka ˙zdej funkcji cia,g lej i ograniczonej f i A ∈ Fs+zachodzi E(f (XtXs)1A) = E(f (Xt− Xs))P (A).

3. τ jest momentem zatrzymania wzgle,dem filtracji (Fn)n∈Z+, (Xn)n∈Z+ jest procesem adapto- wanym, B ∈ B(R) Pokaza´c, ˙ze σ := inf{n : n > τ, Xn∈ B} jest momentem zatrzymania.

4. τ, σ sa,momentami zatrzymania wzgle,dem filtracji (Ft)t∈T. Pokaza´c, ˙ze a) {τ ≤ σ} ∈ Fτ∩ Fσ,

b) Fτ∩ Fσ= Fτ ∧σ.

Wsk. do a): Wygodniej rozpatrzy´c {τ > σ}.

5. (Xt)t∈R+jest procesem o przyrostach niezale ˙znych, EXt= 0, EXt2 < ∞ dla t ∈ R+. Oznaczmy Yt = Xt2− EXt2. Pokaza´c, ˙ze (Yt, FtX)t∈R+ jest martynga lem.

6. (Wt)t∈R+ jest procesem Wienera. Dla dowolnego λ ∈ R oznaczmy Ztλ= eλWt12λ2t.

Pokaza´c, ˙ze (Ztλ, FtW)t∈R+ jest martynga lem.

Cytaty

Powiązane dokumenty

(...) Konstytucja marcowa.. Podaj, na podstawie Ĩródáa A, w której czĊĞci Polski w latach 1925 – 1929 najbardziej wzrós á udziaá procentowy uczniów narodowoĞci

[r]

Je´sli r´ ownanie nie daje sie rozwiaza´c, to mo˙zemy pr´ obowa´c przybli˙zy´c rozwiazanie, czasem przybli˙zy´c r´ ownanie i rozwiaza´c r´ ownanie przybli˙zone w nadziei,

Wtedy, prawa strona to macierz odwrotna

Mo»na jednak mówi¢ o stanach jako o abs- trakcyjnych wektorach w przestrzeni Hilberta, taki stan b¦dziemy oznacza¢ wedªug Diraca |ψ &gt;... Mówimy, »e funkcja falowa ψ(x)

Jak problemat Polski samej z ciasnej orbity jej interesów wewnętrznych wypłynął niezależnie od naszej woli na szeroką arenę polityki międzynarodowej i stał

przednie uwagi tyczyły się ograniczeń przy zbywaniu ziemi, to cóż dopiero wypadnie powiedzieć o użytkowaniu, a więc i dzierżawieniu? Wszak to już jest

dukcję i dochody z lasów, pożądanein jest przedewszystkiem zorganizowanie dobrych szkół leśnych typu wyższego i średniego i nałożenia obowiązku na