ZADANIA Z PS1 – 5
1. W chwili t = 0 cza,stka zaczyna ruch po osi X -´ow w kierunku dodatnim, z pre,dko´scia, 1. W chwili t = 1 rzucamy moneta,i je´sli wypadnie orze l, cza,stka kontynuuje sw´oj ruch, je ˙zeli wypa- dnie reszka, zmienia kierunek ruchu, tzn. zaczyna porusza´c sie, w lewo, z ta, sama, pre,dko´scia,. Niech Xt oznacza po lo ˙zenie cza,stki w chwili t, t ≥ 0, FtX = σ{Xs, 0 ≤ s ≤ t}. Sprawdzi´c, ˙ze (FtX)t∈R+ 6= (Ft+X)t∈R+.
2. X = (Xt)t∈R+ jest procesem o przyrostach niezale ˙znych, t > s ≥ 0. Pokaza´c, ˙ze a) Xt− Xs jest niezale ˙zne od FsX,
b) gdy X jest prawostronnie cia,g ly, to Xt− Xs jest niezale ˙zne od Fs+X.
Wsk. do b): Pokaza´c, ˙ze dla ka ˙zdej funkcji cia,g lej i ograniczonej f i A ∈ Fs+zachodzi E(f (Xt− Xs)1A) = E(f (Xt− Xs))P (A).
3. τ jest momentem zatrzymania wzgle,dem filtracji (Fn)n∈Z+, (Xn)n∈Z+ jest procesem adapto- wanym, B ∈ B(R) Pokaza´c, ˙ze σ := inf{n : n > τ, Xn∈ B} jest momentem zatrzymania.
4. τ, σ sa,momentami zatrzymania wzgle,dem filtracji (Ft)t∈T. Pokaza´c, ˙ze a) {τ ≤ σ} ∈ Fτ∩ Fσ,
b) Fτ∩ Fσ= Fτ ∧σ.
Wsk. do a): Wygodniej rozpatrzy´c {τ > σ}.
5. (Xt)t∈R+jest procesem o przyrostach niezale ˙znych, EXt= 0, EXt2 < ∞ dla t ∈ R+. Oznaczmy Yt = Xt2− EXt2. Pokaza´c, ˙ze (Yt, FtX)t∈R+ jest martynga lem.
6. (Wt)t∈R+ jest procesem Wienera. Dla dowolnego λ ∈ R oznaczmy Ztλ= eλWt−12λ2t.
Pokaza´c, ˙ze (Ztλ, FtW)t∈R+ jest martynga lem.