Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Kolokwium 53 (21.03.2016) - materiał do zad. 806 i zad. 867–876 Kolokwium 54 (4.04.2016) - materiał do zad. 890
Całka oznaczona.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 14.03.2016 (grupa 1, poziom C, 4 godziny: 14–18).
Obliczyć następujące całki poprzez konstrukcję ciągu podziałów przedziału całkowa- nia oraz obliczenie granicy ciągu sum Riemanna:
867.
Z4
2
x10dx (Wsk. 2 · 2k/n) 868.
Ze
1
lnx
x dx (Wsk. ek/n) 869.
Z1
0
√3
x dx (Wsk. nk33)
870.
2
Z
1
dx
x (Wsk. 2k/n) 871.
4
Z
0
√x dx (Wsk. 4kn22)
Udowodnić następujące nierówności:
872.
π/2
Z
0
sinx
x dx < 2 873. 2√
2 <
Z4
2
x1/xdx
874. 19 3 <
3
Z
2
xxdx <65
4 . Wsk. Oszacować xx przez xa.
875. Przedstaw na rysunku następujące wzory zachodzące dla funkcji ciągłej f na przedziale [a,b]:
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
inf
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (A)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
sup
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (B)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n−1
X
k=0
f a + kb − a n
!
(C)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
f a + kb − a n
!
(D)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
f a + (k − 1/2)b − a n
!
(E)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
f (a) + f (b)
2 +
n−1
X
k=1
f a + kb − a n
!!
(F )
Lista 24C - 52 - Strony 52-53
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
876. Zastosuj każdy ze wzorów z poprzedniego zadania do obliczenia całki
1
Z
−1
x2. Porównaj błędy przybliżenia tej całki przez tysięczne wyrazy ciągów (n = 1000) wystę- pujących w powyższych wzorach.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 21.03.2016 (grupa 1, poziom C, 4 godziny: 14–18).
Obliczyć granice 877. lim
n→∞
sin1
n+ sin2
n+ sin3
n+ ... + sinn n
·1 n 878. lim
n→∞
1 n
e
√1 n+ e
√2 n+ e
√3
n+ ... + e
√n n
(pierwiastki są w wykładnikach)
879. lim
n→∞
√6
n ·√3 n +√3
n + 1 +√3
n + 2 + ... +√3 2n
√n +√
n + 1 +√
n + 2 + ... +√ 2n 880. lim
n→∞
√ 1 2n√
3n+ 1
√2n + 1√
3n + 1+ 1
√2n + 2√
3n + 2+ ... + 1
√3n√ 4n Wsk. Niewymierność q(x + a)(x + b) całkujemy wykonując podstawienie t =
sx + a x + b. 881. lim
n→∞
n + sin(n2+ 02)
n2+ 02 +n + sin(n2+ 12)
n2+ 12 +n + sin(n2+ 22)
n2+ 22 + ... +n + sin(n2+ n2) n2+ n2 Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
882. Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y =√
x + 43 , 0 ¬ x ¬ 5 .
883. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX obszaru zdefinio- wanego nierównościami 0 ¬ y ¬ xex , 0 ¬ x ¬ 1.
884. Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = lnx , 1 ¬ x ¬√ 3 .
885. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX obszaru zdefioni- wanego nierównościami arctgx ¬ y ¬
q
arctg2x +√
1 + sinx, 0 ¬ x ¬ π
886. Pomarańczę o cienkiej skórce pokrojono na plastry równej grubości. Dowieść, że każdy plaster zawiera tyle samo skórki.
887. Od pomarańczy o grubej skórze odkrojono końce tak, aby ukazał się miąższ.
Pozostałą część pokrojono na plastry równej grubości. Dowieść, że każdy plaster zawiera tyle samo skórki.
888. Pasem o szerokości d nazywamy obszar płaszczyzny zawarty pomiędzy dwiema prostymi równoległymi odległymi o d, wraz z tymi prostymi.
Czy koło można pokryć pasami o sumie szerokości mniejszej od średnicy koła?
Pasów ma być skończenie wiele.
889. Gdzie leży środek ciężkości półsfery?
890. Gdzie leży środek ciężkości półkuli?
Lista 24C - 53 - Strony 52-53
