A N N A L E S SO C IE T A T IS M A TH EM A TIC A E PO LO N A E Series I : C O M M EN TA T IO N ES M A TH EM A TIC A E X I X (1977) R O C Z N IK I P O L S K IE G O TO W A RZY STW A M A TEM A TYCZNEGO
Séria I P R A C E M A TEM A TY CZ N E X I X (1977)
J ô z ef Z d e r k ie w ic z (Lublin)
Sur la subordination dans la classe S * ( q ) des fonctions étoilées d’ordre q
Soit 8 la famille des fonctions f{z) — z F a 2z2-\- ..., holomorphes et univalentes dans le cercle E z — {z: \z\ < 1}, et soit 8 *{ q ), 0 < q < 1, la sous-classe des fonctions f(z) * 8 qui satisfont à la condition de Eobertson:
Ее « n * ) U
~ m ~ r zeEz.
Posons pour abréger $*(0) = 8* et #*(£) = $ *, où 8* est la classe, des fonctions étoilées, c’est-à-dire des fonctions qui représentent le cercle E z sur des domaines étoilés par rapport au point w — 0.
Par E désignons la famille des fonctions F{Ç) = £ - f a 0+ % /£ + •••>
holomorphes et univalentesidans le domaine ICI > 1 et telles que F(Ç) Ф 0 dans ce domaine. Enfin, sot E * la sous-classe des fonctions F(Ç) de la fa
mille E telles que ljF ( llz ) — f(z )c 8 * (
q).
D e f in it io n . Supposons les fonctions f(z) et F(z) holomorphes dans le cercle E z et soit /(0) = F ( 0). On dit que la fonction f(z) est subordonnée à la fonction F(z) dans le cercle E z, ce qu’on note f(z) -< F(z), s’il existe une fonction co(z), holomorphe dans E z, telle que co(0) = 0, \(o(z)\ < 1 dans E z et f(z) = F(co{z)) dans E z.
Dans le travail [3] Wu Zwao-Jen a énoncé et démontré, entre autres, les théorèmes et corollaires suivants:
T h é o b è m e 3. 8i f(z)e8*(Q), 0 < q < 1, on a, pour tout A, 0 < A < 1:
V(«) = = 'f(z) -|д/2Ь-е) Г 2 l zf(z) . « J L3-2Q \ f{z)
1 1 - z ’ où
l i my)(z) = 1.
2->0
COEOLLAIEE 1. Si f(z)eS*, ОП a
2 Izf'jz)
3 \ №
1
1 - z
ЖIn particulier, pour A = 1, on obtient Vinégalité [1]:
11/21 1 Ее [ŒTN-
C o ro llaire 2. Si f(z )e S *, on a, pour tout A, 0 < A < 1 :
\ № Ÿ \ * Г Ш ~ Х 1 L « J L m J i - * ’ En particulier,
( ! - « ) •
C o ro llaire 3. S i f{z)eS*(Q), 0 < q < 1, on a, pour tout A, 0 < A < 1 1
ip(z) L'égalité a lieu si et seulement si
z
< 1*1.
Я * ) (M = 1 , 0 < Q < 1 ) . ( 1 - ^ ) 2(1~с)
C o rollaire 4. S i f(z)eS*, on a, pour 0 < A < 1 , | « | < 1 : i Г g f 2Y 2 l zf(z) 1 \ A~*
l m \ L 3 \ / ( * ) 2 / < 1 * 1 .
En particulier, pour A — 1, on obtient le théorème de Golusin [1]:
l l / 2 I
{ — ï I m i
1 - 1 — I \< \z \.
L'égalité a lieu si et seulement si les fonctions sont de la forme
k(z) = z toi = i .
C o ro llaire 5# Sz f(z^€S%, on a, pour 0 ^ A ^ 1, 1*1 < 1 :
En particulier, si A = 1 /2 ,
VrW) < 1*1,
ой V f(z ) —1-4-0 (г->0).
Classe des fonctions étoilées 411
T h é o r è m e 4. Si F(Ç)eZ!* , O < q < 1, on a dans le domaine |£| > 1 pour 0 < A < 1 Vinégalité suivante :
Г F{C )Y l2{1~e) Г 2
~ L
~ T ~J ' L 3 -2 Q
L ’égalité a lieu si et seulement si
№ 'd ) , i n ‘- ‘ i F ( 0 e + 2/J < |f|'
F(C) = f
C il- q C )- *1- * ’ \v\ = 1-
Le résultat principal du présent travail est le lemme 1 et les théorèmes A, B, C.
L em m e 1. Si f(z)eS*{Q), 0 < q < 1 et si H(z) = 2 Yzf'jz)
3 - 2 q I m - e + 5 on a H (z) -< 1/(1 — z) si et seulement si | < q < 1.
D é m o n stratio n . S o it-|< q < 1. Puisque l’homographie w = 1/(1— z) représente le cercle E z sur le demi-plan Веге > \ et que pour zeEz
B еЯ (») = - i - Г в е ^
3 - 2 e L r n >
3 - 2 q Q — Q +
t )
1 2*’
on a H (z) -< 1/(1 — »).
Supposons que 0 < q < \ et que E ( z ) < 1/(1 — »). On a donc ВеЯ (»)
> | dans le cercle E z pour toute fonction f(z )e S *
{q) .Comme la fonction / ^ ) ( î + ^ d - e )
on a, pour » = r, 0 < r < 1 : В еЯ (г) 2
3 - 2 q I1 (1 — 2
q ) t
1 + r 0 + f i l 1 2 J
>2
*De là on tire, pour 1 /3 < r < 1 : 5r — 3 3 r—1 < 2Q.
Cette dernière inégalité est en défaut si r est suffisamment proche du nombre 1, ce qui achève la démonstration du lemme 1.
Bemarques sur un travail de Wu Zwao-Jen. Du lemme 1 il résulte que les théorèmes 3 et 4, cités précédemment, ne sont vrais que si 0 < Q < h Par conséquent les corollaires 1, 3 et 4 sont faux.
Pour démontrer les théorèmes A, B, C nous profiterons du lemme suivant, dû à Strohhâcker [2].
16 — P ra c e M a te m a tyczne 19 z. 2
L em m e
2. Soient z1,z 2, . . . , z n des points quelconques du cercle K
= {z: \z — a\ < aq}, 0 < q < 1, a > 0. Alors, pour des nombres quelconques Vi, v2, vn de Vintervalle <0, 1) tels que JT vk = 1, le point zvp z \*... z^peK. n
k = l
T h é o r èm e
A. Si f(z )eS * ( q ), 0 < p c i et F(z) 2(i —e) L
mon a, pour tout X, 0 < X < 1,
Г zf'(z)
- ■ - - 2 o + l
L / Г
*]■
« . [ Ж р ^ к - L ,
ой lim A (z) = 1.
z —>0
T h é o r è m e B . Si f{z)eS*(g), 0 < g < 1 et I x/ 2 (i-e), G(z) 2 ( 1 (0/1 J / ( * ) T
3 —2 q
2 Г «/'(») 1 ~\
et =
on a, pour tout X, 0 < X < 1,
B ( z ) = G A{ z ) B l ~ \ z ) < h { z ) ,
ой lim B ( z ) = 1. v
1 - 2 Q
Ц --- — ss 3 ~ 2 q 1 — z :
z->0
Les théorèmes A et B se démontrent de la même que le théorème 3 [3] que nous avons cité plus haut.
Du théorème 2 [3] résulte, que
L 2 J 1 - г '
Puisque
B eF(z) ^ —- 1— - ( q — 2 q +1) = f , on a
2 (i —e)
F{z) <
1 - z ’
d’où, en tenant compte du lemme 2, on tire la conclusion du théorème A.
Bemarquons ensuite que
B e G (z )^ -7^ ~ [ e - j + 2 ( l - e ) f ] —
3 —2g 3 - 2 q
Classe des fonctions étoilées 413
et
® е Я ( г ) > ( e — e + i ) o — 2 q
1 3 —2e ‘
Comme l’homographie w — h(z) représente de cercle E z sur le demi- -plan Rew > 1/(3 —2ç>), on voit que G{z) < h (g) et E(z) -< h(z), d’où résulte la conclusion du théorème B.
R em arq u e. Les théorèmes A et B, ainsi que le théorème 3 [3] se confondent pour q =
Du lemme 2 il résulte que les théorèmes A et B peuvent être géné
ralisés à n + Tc fonctions de la famille 8 *( q ), 0 < e < L Les généralisa
tions de ces théorèmes étant identiques, nous n’établirons, à titre d’exem
ple, que l’une d’elles.
T h éo r èm e
0. Supposons que f^ z je S *( q ) et gj(e)c&*(Q), 0 < £ < 1 , i = 1, 2, ..., n et j = 1 , 2, ..., Te. Soient vi ^ 0 et I,- > 0 , i — 1, 2, ..., n,
n к
j = 1, 2, ..., Te, des nombres quelconques tels que £ h = -*-• Fnfin
soit г=1 j=1
Alors
G(z) = f j {
5 = 1 1
2 (i —e)
щ{%)
9 j ( z )
