• Nie Znaleziono Wyników

Zadania o pier´scieniach

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zadania o pier´scieniach"

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

Zadania o pier´scieniach

24.1.2020

0.1 ♠ Udowodni´c, ˙ze je´sli element u jest odwracalny, a n nilpotentny, to u + n jest odwracalny.

0.2 ♠ Udowodni´c, ˙ze zbi´or element´ow nilpotentnych jest idea lem.

0.3 ♠ Znale´z´c elementy odwracalne w Z4[X].

0.4 ♠ Pokaza´c, ˙ze je˙zeli a ∈ Zp nie nale˙zy do idea lu generowanego przez p, to a jest elementem odwracalnym.

0.5 ♠ Wykaza´c, ˙ze je˙zeli R jest dziedzina, ca lkowito´sci to R[X] tak˙ze jest dziedzina, calkowito´sci.

(Udowodni´c tak˙ze, ˙ze pier´scie´n szereg´ow formalnych R[[X]] jest dziedzina,ca lkowito´sci.) 0.6 Niech R =Z[x]/(xp− 1), gdzie p jest liczba,pierwsza,.

a)♠ Czy R ma dzielniki zera?

b)♠ Czy R ma elementy nilpotentne?

c) Jakie elementy sa,odwracalne w Q[x]/(xp− 1)?

Uwaga: WZ[x]/(xn−1) jedynie dla n = 1, 2, 3, 4, 6 elementy odwracalne sa,postaci ±xk. W pozosta lych przypadkach jest ich du˙zo wie,cej, np dla n = 5

(1 − x + x2)(x + x2− x4) = x + x5− x6≡ 1 .

patrz C. Polcino Milies, S.K. Sehgal - An Introduction to Group Rings-Springer (2002) §8, prop. 8.1.11- 12, ex. 8.1.13.

0.7 Pomie,dzy kt´orymi pier´scieniami istnieja,odwzorowania: Z,Z(p),Z(q),Z[1/p],Z[1/q], Zp,Zq,Zpn, Zqm,Q,R,C?

0.8 ♠ Czy idea l (7 +√

5) jest maksymalnym w la´sciwym idea lem wZ[√

5] ? A idea l (4 +√ 5)?

0.9 ♠ Wykaza´c, ˙ze R[x] jest DIG wtedy i tylko wtedy gdy R jest cia lem.

0.10 ♠ Wykaza´c, ˙ze naste,puja,ce idea ly sa,maksymalne:

a) (2 + i) CZ[i]

b) (3 +√

2) CZ[√ 2]

0.11 ♠ Dla jakich liczb pierwszych idea l (p) CZ[i] jest pierwszy?

0.12 ♠ Czy idea l (x2+ y2− 1, (x + y)2− 1) jest pierwszy wR[x, y]?

0.13 Czy idea l (x2 + y2 + 10y, x2 − y) C Q[x, y] mo˙zna przedstawi´c jako cze,´s´c wsp´olna, idea l´ow maksymalnych?

0.14 Oznaczmy przez ξ ∈C pierwiastek pierwotny z 1 stopnia n. Niech generator grupy Zn dzia la na C[x, y] poprzez dzia lanie na zmiennych x 7→ ξx, y 7→ ξ−1y. Udowodni´c, ˙ze zbi´or punkt´ow sta lych dzia lania Zn jest podpier´scieniem w C[x, y]. Przedstawi´c ten pier´scien jako iloraz pier´scienia wielo- mian´ow od 3 zmiennych.

(2)

0.15 ♠ Niech I, J C R be,da,idea lami, oraz I + J = R.

a) Niech IJ oznacza podgrupe,R rozpie,ta,przez iloczyny ab, gdzie a ∈ I, b ∈ J . Udowodni´c, ˙ze zbi´or (idea l) IJ jest r´owny I ∩ J .

b) Udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdej pary a, b ∈ R istnieje element x ∈ R taki, ˙ze x = a mod I oraz x = b mod J . Ponadto x jest wyznaczony jednoznacznie mod IJ .

Czy to ma co´s wsp´olnego z tw Chi´nskim o resztach? Sformu lowa´c to twierdzenie w je,zyku idea l´ow.

1 Euklid, DIG, DJR

1.1 ♠ Dla wybranego d ∈ {−2, 2, 3} udowodni´c, ˙ze Z[√

d], v(a +√

db) = |a2− db2| jest pier´scieniem euklidesowym (w tym napisie |x| oznacza zwy la,warto´s´c bezwzgla,dna,wZ).

1.2 ♠ Udowodni´c, ˙ze Z[ξ], gdzie ξ jest pierwiastkiem prymitywnym z 1 stopnia 3, wraz z norma, v(a + bξ) := a2− ab + b2 jest pier´scieniem euklidesowym.

1.3 ♠ Udowodni´c, ˙ze (x2− 2) CQ[x] jest idea lem maksymalnym.

1.4 ♠ Niech R = Z[√

−3]/(p), gdzie p jest liczba, pierwsza,. Udowodni´c, ˙ze R jest izomorficzny z Fp×Fp (produkt pier´scieni) je´sli p ≡ 1 mod 6 lubFp2 (cia lo o p2 elementach) gdy p ≡ 5 mod 6.

1.5 ♠ Sprawdzi´c, ˙ze pier´scie´nZ7[X]/(X3+2) jest cia lem. Znale´z´c liczbe jego element´ow. Korzystajac z algorytmu Euklidesa znale´z´c w nim odwrotno´s´c elementu wyznaczonego przez wielomian X + 1.

1.6 ♠ W pier´scieniu Z[i] znale´z´c N W D(2 + 11i, 1 + 3i). Znale´z´c rozk lad liczby 15 na czynniki nierozk ladalne.

1.7 ♠ a) Pokaza´c, ˙ze w rozk ladzie na czynniki pierwsze wZliczby naturalnej be,da,cej suma,kwadrat´ow l = m2+ n2 ka˙zdy czynnik postaci 4k − 1 wyste,puje w pote,dze parzystej.

b) Pokaza´c, ˙ze istnieje niesko´nczenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1 oraz postaci 4k + 3.

1.8 ♠ Pokaza´c, ˙ze w pier´scieniu Z[√

5] nie istnieje N W D(4, 2 + 2√

5). Poda´c przyk lad elementu nierozk ladalnego w Z[√

5], kt´ory nie jest pierwszy. Poda´c przyk lad idea lu w Z[√

5], kt´ory nie jest g l´owny.

1.9 ♠ Udowodni´c, ˙ze z dok ladno´scia,do stowarzyszenia elementami pierwszymi wZ[√ 2] sa,: (a)√

2

(b) liczby pierwsze ca lkowite postaci 8n ± 3 (c) dzielniki a + b√

2, b 6= 0 liczb pierwszych ca lkowitych postaci 8n ± 1.

1.10 ♠ W pier´scieniu Z[√

−2] znale´z´c:

(a) N W D(a + b√

−2, a − b√

−2) (b) N W D(6 + 4√

−2, 8 − 2√

−2).

1.11 ♠ Znale˙z´c generator ida lu I <Z[√ 2]

a) I = (17, 6 +p)2 b) I = (31, 8 +p)2

(3)

2 Zadania o cia lach sko´ nczonych

2.1 ♠ Roz lo˙zy´c wielomian x16− x ∈F2[x] na wielomiany nierozk ladalne.

2.2 ♠ Je´sli K1⊂ K2, to |K2| = |K1|d.

2.3 ♠ Je´sli K jest cia lem, to |K| = pn dla pewnej liczby pierwszej.

2.4 ♠ W ciele q-elementowym wielomian xq− x rozk lada sie,na r´o˙zne czynniki liniowe.

2.5 ♠ Grupa multiplikatywna cia la sko´nczonego jest cykliczna.

2.6 ♠ Je´sli K ) Fp jest sko´nczonym cia lem, to istnieje element cia la a nie nale˙za,cy do w la´sciwego podcia la, tzn K =Fp(a). (Za a mo˙zna wzia,´c generator grupy cyklicznej.)

2.7 ♠ Je´sli |K1| = pm, |K2| = pn, K1 ⊂ K2, to m|n.

2.8 ♠ Je´sli |K1| = pm, |K2| = pn i m|n to isnieje w lo˙zenie K1 → K2. Je´sli |K1| = |K2| = pn to K1 ' K2.

2.9 ♠ Je´sli K1i K2sa,podcia lami cia la L i |K2| = |K1|d, to K1 ⊂ K2. Je´sli K1 i K2sa,r´ownolicznymi podcia lami cia la L to K1 = K2.

O automorfizmach cia l sko´nczonych

2.10 ♠ Niech K ma pn element´ow. Przekszta lcenie a 7→ ap jest homomorfizmem K → K (oznaczane φ od Frobeniusa).

2.11 ♠ Niech K ma pn element´ow. Zbi´or rozwia,za´n r´ownania xpk − x jest podcia lem K. Je´sli wielomian xpk− x rozk lada sie,na czynniki liniowe w K, to k dzieli n. Wywnioskowa´c, ˙ze dla ka˙zdego k istnieje cia lo o pk elementach.

2.12 ♠ Wszystkie podcia la w K sa,postaci Kφk = {a ∈ K | φk(a) = a}. Niech |Fp(a)| = pn. Wykaza´c φk(a) = a ⇐⇒ n|k.

2.13 Niech K ma pn element´ow i n = st, gdzie s i t sa, wzgle,dnie pierwsze. Dane elementy a, b ∈ K takie, ˙ze |Fp(a)| = ps i |Fp(b)| = pt. Wtedy Fp(a + b) = K. (Zbada´c w lasno´sci wielomianu fk(x) = φk(x) − x.)

Wskaz´owka: obliczy´c wymiary dimFp(K), gdzie K ∈ {Fp,Fp(a),Fp(b),Fp(a, b)} i udowodni´c, ˙zeFp(a) ⊂ Fp(a + b).

2.14 ♠ Niech K ma pn element´ow. Roz l´o˙zmy wielomian xpn− x na nierozk ladalne czynniki wFp[x].

Ka˙zdy element K jest pierwiastkiem dok ladnie jednego czynnika. Je´sliFp(a) = K, to czynnik, kt´orego a jest pierwiastkiem ma stopie´n n.

2.15 ♠ Niech K ma pn element´ow. Roz l´o˙zmy wielomian xpn− x na nierozk ladalne czynniki wFp[x].

Jeden z czynnik´ow jest stopnia n i nie ma czynnik´ow wy˙zszego stopnia.

2.16 ♠ Niech ni be,dzie cia,giem liczb naturalnych takich, ˙ze ni|ni+1 oraz ∀n ∈N∃i ∈Nn|ni. Niech Ki be,dzie cia lem o pni elementach. Ustalmy w lo˙zenia Ki ,→ Ki+1. Niech K =S Ki. Udowodni´c, ˙ze K jest algebraicznie domknie,te.

2.17 Opisa´c grupe,automorfizm´ow domknie,cia algebraicznego Fp.

Wskaz´owka: Wykaza´c, ˙ze ka˙zdy automorfizm cia la sko´nczonego jest pote,ga, automorfizmu Frobeniusa x 7→ xp.

(4)

3 Inne

3.1 ♠ CzyZ5[X]/(X2+ 2) jest cia lem ? Znale´z´c idea ly maksymalne pier´scieniaZ5[X]/(X3+ 3X2+ 2X + 1).

3.2 ♠ Niech K = (Fp[xp]) ⊂ L = (Fp[x]) be,da,cia lami funkcji wymiernych. Czy istnieje wielomian f ∈ K[y], kt´orego pierwiastkiem jednokrotnym w L jest x?

3.3 Czy idea l (x2+ y2+ z2− 1, 4x2+ 9y2− 1) jest pierwszy wR[x, y, z]?

3.4 Czy jest prawda,, ˙ze: Pier´scie´n R zawiera dok ladnie jeden idea l pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ka˙zdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny.

3.5 Czy jest prawda,, ˙ze: ka˙zdy element pier´scienia jest odwracalny lub nilpotentny lub podzielny przez element pierwszy.

3.6 Idea l Jacobsona definiujemy jako

J = \

I < R maksymalny

I .

Wykaza´c, ˙ze x ∈ J ⇔ ∀y ∈ R (1 − xy) jest odwracalny.

3.7 ♠ Wykaza´c, ˙ze√

I = {a ∈ R | ∃n ∈Nan∈ I} jest idea lem.

3.8 ♠ Opisa´c grupe,automorfizm´ow cia laQ(√4

2, i), tzn grupe,Galois G(Q(√4

2, i)/Q).

f e ghj k c d

4 Zadania na po–´ swie

,

tach

4.1 ♠ Opisa´c grupe,automorfizm´ow cia laFpn 4.2 ♠ Niech p be,dzie liczba,pierwsza,.

a) Udowodni´c, ˙zeZp[x]/(px − 1) jest cia lem.

b) Czy wielomian xp−1− 1 rozk lada sie,na czynniki liniowe wZp? c) Czy w Zp sa,pierwiastki z 1 stopnia p?

4.3 ♠ Korzystaja,c z kryterium Eisensteina udowodni´c, ˙ze

f (X, Y ) = X4+ 2Y2X3+ 3Y3X2+ 4Y X + 5Y + 6Y2 jest nierozk ladalny w pier´scieniu Z[X, Y ].

4.4 ♠ Sprawdzi´c nierozk ladalno´s´c wielomian´ow w Z[x] i Q[x]:

a) x4+ x3+ x2+ x + 1 b) x3− 7x2+ 3x + 3 c) 63x3+ 21x2+ 84 d) 90x3+ 135x + 315

(5)

4.5 ♠ Niech K = Q(√ 2,√

3). Znale´z´c wielomian minimalny √ 2 +√

3 ∈ K na Q. Zbada´c grupe, automorfizm´ow G(K/Q) = Aut(K).

4.6 ♠ Opisa´c grupe,automorfizm´ow cia la L =Q(√3

2, ξ), gdzie ξ jest pierwiastkiem wielomianu x2+ x + 1. Opisa´c podcia la K ⊂ L i odpowiadaja,ce im podgrupy G(L/K) ⊂ G(L/Q).

4.7 ♠ Pokaza´c, ˙ze dla pier´scienia R naste,puja,ce warunki sa,r´ownowa˙zne:

a) suma element´ow nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym, b) zbi´or element´ow nieodwracalnych jest idea lem,

c) w R istnieje dokladnie jeden idea l maksymalny.

Pier´scien, jak wy˙zej nazywa sie lokalnym.

4.8 ♠ Udowodni´c, ˙ze je˙zeli I ⊂ R jest idea lem pierwszym, za´s S = R − I to pier´scien S−1R jest lokalny.

4.9 ♠ Udowodni´c, ˙ze K[[X]] jest pier´scieniem lokalnym, gdzie K jest cia lem.

Zadania ,, latwe” o pier´sciemniach sa, w pliku

https://www.mimuw.edu.pl/%7Eaweber/zadania/algebra2019/algebra2019latwe.pdf Przyk ladowe kolokwium o pier´scieniach:

https://www.mimuw.edu.pl/%7Eweber/zadania/algebra2014/kolok2.pdf

5

5.1 ♠ Za l´o˙zmy, ˙ze je˙zeli R jest pier´scieniem Noetherowskim. Czy pier´scie´n szereg´ow formalnych R[[X]] jest tak˙ze noetherowski?

5.2 ♠ Udowodni´c, ˙ze je´sli I ⊂ R jest idea lem przymarnym, to radyka l √

I jest pierwszy. Poada´c przyk lad, ˙ze odwrotne wynikanie nie zachodzi.

5.3 ♠ Znale´z´c rozk lad prymarny idea lu hx2+ y2− 2y, x2− yi ⊂ k[x, y].

5.4 ♠ Znale´z´c conajmniej dwa rozk lady prymarne ida lu hx2, xy, xzi ⊂ k[x, y, z]. Obliczy´c radyka ly czynnik´ow.

5.5 ♠ Spektrum pier´scienia Niech R be,dzie pier´scieniem i niech Spec R oznacza zbi´or idea l´ow pierwszych R. Dla dowolnego podzbioru E ⊂ R niech V (E) oznacza zbi´or idea l´ow pierwszych zawiera- ja,cych E. Dla a ∈ R oznaczamy V (a) = V ({a}). Sprawdzi´c, ˙ze: rodzina {V (E)}E⊂Rspe lnia aksjomaty rodziny podzbior´ow domknie,tych dla pewnej topologii na Spec R. Topologie, te, nazywamy topologia, Zariskiego.

Uwaga: w tej topologii punkty nie musza,by domknie,te.

5.6 ♠ Udowodni´c, ˙ze domknie,cie dowolnego punktu P ∈ Spec R w topologii Zariskiego to zbi´or idea l´ow zawieraja,cych P . Idea ly maksymalne sa,domknie,tymi punktami.

5.7 ♠ Dany homomorfizm pier´scieni f : R −→ R0. Wykaza´c, ˙ze branie przeciwobrazu idea lu definiuje odwzorowanie cia,g le f : Spec R0 −→ Spec R. Opisa´c odwzorowanie cia,g le SpecC[x] → SpecR[x]

indukowane przez RC.

(6)

5.8 ♠ Przypu´s´cmy, ˙ze R zawiera dok ladnie jeden idea l maksymalny m oraz T

k=1mk= 0.

– M´owimy, ˙ze cia,g element´ow pier´scienia spe lnia warunek Cauchy’ego je´sli

∀r ∈N∃n0N∀m, n > n0 an− am∈ mr

– M´owimy, ˙ze cia,g element´ow pier´scienia jest zbie˙zny, je´sli istnieje b ∈ R takie, ˙ze

∀r ∈N∃n0N∀n > n0 an− b ∈ mr Za l´o˙zmy ˙ze w R jest spe lnione: ka˙zdy cia,g Cauchy’ego jest zbie˙zny.

Udowodni´c Lemat Hensela: Niech f = xn+ bn−1xn−1 + · · · + b0 ∈ R[x]. Przypu´s´cmy, ˙ze f0 = f mod m ∈ R/m[x] rozk lada sie,na wielomiany f0 = (x − ¯a)¯g takie, ˙ze ¯g(¯a) 6= 0. Wtedy istnieja,wielomian g ∈ R[x] i a ∈ R, takie, ˙ze f = (x − a)g oraz ¯a = a mod m i ¯g = g mod m.

(Mocniejsza wersja: patrz Eisenbud Th. 7.18.)

5.9 Niech X be,dzie przestrzenia, topologiczna, zwarta, Hausdorffa i niech C(X) be,dzie pier´scieniem rzeczywistych funkcji cia,g lych na X.

a) pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego punktu x ∈ X idea l Ix= {f ∈ C(X) : f (x) = 0} jest maksymalny.

b) (Gelfand) Udowodni´c, ˙ze przekszta lcenie Φ : X −→ SpecM ax (C(X)), gdzie Φ(x) = Ix jest homeo- morfizmem.

5.10 Niech X be,dzie przestrzenia, topologiczna,x ∈ X. Niech R be,dzie pier´scieniem kie lk´ow rzeczy- wistych funkcji cia,g lych w x (elementy tego pier´scienia sa, reprezentowane przez pary (U, f ) gdzie U jest otoczeniem x, f : U →R)). Przy jakich za l˙zeniach o X pier´scie´n R jest lokalny?

5.11 Niech R be,dzie pier´scieniem. Naste,puja,ce warunki sa,r´ownowa˙zne:

a) Spec R jest niesp´ojne

b) R ∼= R1× R2, gdzie R1 i R2 sa,pier´scieniami niezerowymi.

c) R zawiera element r ∈ R, taki ˙ze r2= r, r 6= 0 i r 6= 1.

5.12 Niech S ⊂ R be,dzie systemem multyplikatywnym w R, za´s ι : R −→ S−1R homomorfizmem lokalizacji.

a) ι: Spec S−1R −→ Spec R jest zanurzeniem homeomorficznym b) je˙zeli S = {1, a, a2, ..} to ι(Spec RS) = Ua

c) je˙zeli S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym, to ι(Spec RS) =T

I∈UU , gdzie U jest otwartym otoczeniem I w Spec R.

5.13 Dana rodzina zbior´ow Ei ⊂ R, i ∈ I. Za l´o˙zmy, ˙ze S

i∈IUi = SpecR, gdzie Ui = {p | Ei 6⊂

p}. Niech Si be,dzie systemem multiplikatywnym generowanym przez Si. Wykaza´c, ˙ze (omawiany na

´

cwiczeniach) cia,g

0 → R →φ Y

i∈I

Si−1R →ψ Y

i<j

S−1i Sj−1R jest dok ladny, tzn φ jest mono, im(φ) = ker(ψ).

(7)

5.14 Gdyby powy˙zsze zadanie sprawia lo trudno´sci, prosze, za lo˙zy´c, ˙ze R = C[x1, x2, . . . , xn], zbiory Ei to uk lady r´owna´n wielomianowych, Ui to dope lnienie zbioru opisanego przez wielomiany ze zbioru Ei. Mo˙zna za lo˙zy´c, ˙ze |I| = 2.

Zadanie sprowadza sie, do naste,puja,cego stwierdzenia: Za l´o˙zmy, ˙ze (f1, f2, . . . , fk, g1, g2, . . . , g`) = (1).

Niech

F ∈ R[f1−1, f2−1, . . . , fk−1], G ∈ R[g1−1, g2−1, . . . , g−1` ]

oraz F = G w pier´scieniu R[f1−1, f2−1, . . . , fk−1, g−11 , g2−1, . . . , g`−1], wtedy F oraz G sa,obrazami pewnego elementu z R:

0 −→ R −→ R[f 1−1, . . . , fk−1] ⊕ R[g1−1, . . . , g`−1] −→ R[f1−1, . . . , fk−1, g−11 , . . . , g`−1]

? 7→ (F, G) 7→ F − G = 0

5.15 Niech k be,dzie cia lem, L = k(a, b), Wykaza´c, ˙ze elementy a3, b3 i a2+ b2− 1 sa,algebraicznie zale˙zne.

5.16 Udowodni´c twierdzenie L¨urotha: Niech L = k(x) oraz M ⊂ L jest podcia lem. Wykaza´c, ˙ze w M istnieje element y, taki, ˙ze M = k(y).

Cytaty

Powiązane dokumenty

Then b A and b B are two orthogonal families of infinite subsets of {0, 1} &lt;ω and the two alternatives of Theorem 3 lead to the two alternatives of the Hurewicz-type result2.

Niech R b¦dzie

Niech M b¦dzie

Consumption, total imports and by sea of raw materials and related products in years 2004-2009 in Poland. i consumption o total import ■ import by sea l consumption h total

Innowacji w Rolnictwie jest jednostką, w skład której wchodzą przedstawiciele jednostek badawczo-rozwojowych, administracji rządowej (Ministerstwa Rolnictwa i

Ruszt w poprzeczne mostki szer.. Multiline XtraDrain Kanały niskie Szczelinowe Monoblock PD Monoblock RD SK Sport Gala G 100 KerbDrain Tram. Zabezpieczenie przeciw kradzieży

Drugi scenariusz pracy zakłada, że głównym oprogramowaniem do monitoringu obiektu jest XProtect, które po zainstalowaniu opracowanej przez firmę Roger wtyczki

 W oknie Menedżera serwisów wybierz kafelek Połączenie do bazy danych, kliknij polecenie Konfiguracja połączenia a następnie wskaż lokalizację bazy danych