1−tg α tg βtg α+tg β , tg(α − β) =1+tg α tg βtg α−tg β

28.5.2019, kl 1b

Funkcje trygonometryczne II

Ważne wzory

Twierdzenie. Zachdzą wzory (α, β ∈ R):

(i) cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β, (ii) sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

Wniosek. (i) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α, (ii) tg(α + β) = 1−tg α tg β^{tg α+tg β} , tg(α − β) =1+tg α tg β^{tg α−tg β} .

Zadanie 1. Udowodnij tożsamości:

(a) cos 2α = cos²α − sin²α = 2 cos²α − 1 = 1 − 2 sin²α, (b) sin 2α = 2 sin α cos α,

(c) tg 2α =_1−tg^{2 tg α}2α.

Zadanie 2. Udowodnij tożsamości:

(a) cos^{2 α}₂ = ^{1+cos α}₂ , (b) sin^{2 α}₂ = ^{1−cos α}₂ .

Zadania

Zadanie 3. Uzasadnij, że sin₁₂^π =¹₂p 2 −√

3, cos₁₂^π =¹₂p 2 +√

3, tg₁₂^π = 2 −√

3, tg₂₄^π = (√ 3 −√

2)(√ 2 − 1).

Zadanie 4. Znajdź wzory na wartości funkcji sinus i cosinus dla argumentów: ^π₈, −¹⁷₈π, ¹⁹₁₂π.

Zadanie 5. Znajdź wielomian w ∈ R[x] taki, że sin(3α) = w(sin α).

Zadanie 6. Uzasadnij, że liczba sin₁₀^π jest pierwiastkiem równania 3x − 4x³ = 1 − 2x². Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego równania.

Zadanie 7. Uzasadnij, że jeśli cos α = ¹₃, to ^α_π 6∈ Q.

Zadanie 8. Uzasadnij nierówności (x ∈ (0,^π₂).

sin x < x < tg x dla 0 < x < π/2.

Zadanie 9. Rozwiąż równania (a) 2 sin²x + sin x = 1, (b) sin(2x) sin x = cos x,

(c) sin⁴x + cos⁴x = ⁵₈, (d) sin²x + sin²(2x) = 1.

Kącik olimpijski.

1. Udowodnij, że jeżeli liczby a, b są różne od zera, to funkcja f (x) = a sin x + b sin(x√

2) nie jest okresowa.

2. Załóżmy, że 0 ¬ x₁, x₂, . . . , x_n ¬^π₂. Uzasadnij, że sin x1+ sin x2+ . . . + sin xn

n ¬ sin x1+ x2+ . . . + xn

n

 . 3. Niech x ∈ R. Uzasadnij, że cos(sin x) > sin(cos x).