28.5.2019, kl 1b
Funkcje trygonometryczne II
Ważne wzory
Twierdzenie. Zachdzą wzory (α, β ∈ R):
(i) cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β, (ii) sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α.
Wniosek. (i) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α, (ii) tg(α + β) = 1−tg α tg βtg α+tg β , tg(α − β) =1+tg α tg βtg α−tg β .
Zadanie 1. Udowodnij tożsamości:
(a) cos 2α = cos2α − sin2α = 2 cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α, (b) sin 2α = 2 sin α cos α,
(c) tg 2α =1−tg2 tg α2α.
Zadanie 2. Udowodnij tożsamości:
(a) cos2 α2 = 1+cos α2 , (b) sin2 α2 = 1−cos α2 .
Zadania
Zadanie 3. Uzasadnij, że sin12π =12p 2 −√
3, cos12π =12p 2 +√
3, tg12π = 2 −√
3, tg24π = (√ 3 −√
2)(√ 2 − 1).
Zadanie 4. Znajdź wzory na wartości funkcji sinus i cosinus dla argumentów: π8, −178π, 1912π.
Zadanie 5. Znajdź wielomian w ∈ R[x] taki, że sin(3α) = w(sin α).
Zadanie 6. Uzasadnij, że liczba sin10π jest pierwiastkiem równania 3x − 4x3 = 1 − 2x2. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego równania.
Zadanie 7. Uzasadnij, że jeśli cos α = 13, to απ 6∈ Q.
Zadanie 8. Uzasadnij nierówności (x ∈ (0,π2).
sin x < x < tg x dla 0 < x < π/2.
Zadanie 9. Rozwiąż równania (a) 2 sin2x + sin x = 1, (b) sin(2x) sin x = cos x,
(c) sin4x + cos4x = 58, (d) sin2x + sin2(2x) = 1.
Kącik olimpijski.
1. Udowodnij, że jeżeli liczby a, b są różne od zera, to funkcja f (x) = a sin x + b sin(x√
2) nie jest okresowa.
2. Załóżmy, że 0 ¬ x1, x2, . . . , xn ¬π2. Uzasadnij, że sin x1+ sin x2+ . . . + sin xn
n ¬ sin x1+ x2+ . . . + xn
n
. 3. Niech x ∈ R. Uzasadnij, że cos(sin x) > sin(cos x).