AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2013/14 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW 1. Rozwiaι˙z r´ownanie
x2+1
2
cos 2x x2+ 1
2
sin 2x
= 1.
2. Rzucono trzy razy sze´sciennaι kostkaι do gry. Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze suma wyrzuconych oczek jest mniejsza ni˙z sze´s´c.
3. Po zmieszaniu roztwor´ow soli o steι˙zeniach 8% oraz 20% otrzymano 12 litr´ow roz- tworu o steι˙zeniu 16%. Oblicz objeιto´sci zmieszanych roztwor´ow.
4. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
3x2+ 6x3+ 12x4 + . . . ≤ 1.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Wyznacz zbi´or wszystkich liczb rzeczywistych p, dla kt´orych pierwiastki x1 i x2 r´ownania
x+ 1 = px
p −1 +p+ 1 x spe lniajaι nier´owno´s´c
1 x1 + 1
x2 ≤2p + 1.
6. Dwie ´sciany ostros lupa tr´ojkaιtnego saιtr´ojkaιtami r´ownobocznymi o boku d lugo´sci a i dwie saι tr´ojkaιtami prostokaιtnymi. Oblicz pole powierzchni i objeιto´s´c ostros lupa.
7. Oblicz promie´n mniejszego z dw´och okreιg´ow stycznych w punkcie M (2, 1) do prostej x −7y + 5 = 0 i jednocze´snie stycznych do prostej x + y + 13 = 0. Napisz r´ownania wszystkich okreιg´ow o tym promieniu stycznych jednocze´snie do obydwu prostych.
