• Nie Znaleziono Wyników

Transformata Fouriera

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Transformata Fouriera"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Transformata Fouriera

Piotr Szańkowski

I. TRANSFORMATA FOURIERA

Transformata Fouriera jest zdefiniowana przez całkę F [ψ(x0)] (k) = 1

√2π Z

−∞

e−ikx0ψ(x0) dx0≡ ψ(k). (1)

Wtedy transformata odwrotna jest dana przez F−1[ψ(k0)] (x) = 1

√2π Z

−∞

eik0xψ(k0) dk0= ψ(x). (2)

A. “Arcywłasności” transformaty Fouriera

1. Transformata jest przekształceniem liniowym:

F [αψ(x) + βχ(x)] = αF [ψ(x)] + βF [χ(x)] (3)

Dowód: Wynika z liniowości całki.

2. Transformata pochodnej funkcji

F dψ(x) dx



(k) = ik F [ψ(x)](k) (4)

Dowód: Całkując przez części Z

−∞

e−ikxdψ(x) dx dx =

f = e−ikx , g0 =dψ(x)dx f0 = −ik e−ikx , g = ψ(x)



= −ik e−ikxψ(x)

−∞

+ ik Z

−∞

e−ikxψ(x)dx, (5)

Zakładamy, że ψ(x) znika dostatecznie szybko w ±∞ i dzięki temu pozbywamy się wyrazu brzegowego.

3. Transformata Delty Diraca:

F [1](k) = 2πδ(k), F−1[δ(k)](x) = 1

2π.

Dowód: Nie przytoczymy, gdyż rygorystyczny dowód jest dość skomplikowany i wymaga matematycznie zawan- sowanej argumentacji.

4. Tożsamość Parsevala: “transformata zachowuje iloczyn skalarny”:

Z

−∞

ψ(x)χ(x) dx = Z

−∞

F [ψ](k)F [χ](k) dk (6)

Dowód: Użyjemy tożsamości

ψ(x) = F−1[ F [ψ(x)](k) ] (x), (7)

wstawiając taką postać funkcji do całki otrzymujemy 1

Z

−∞

dk0 Z

−∞

dk00

Z

−∞

dx e−i(k0−k00)x



| {z }

=2πδ(k0−k00)

F [ψ](k0)F [χ](k00) = Z

−∞

F [ψ](k0)F [χ](k0)dk0. (8)

(2)

2 B. Pomniejsze własności transformaty Fouriera

1. Transformata funkcji przesuniętej

F [ψ(x − x0)](k) = e−ikx0F [ψ(x)](k) (9) Dowód: Z bezpośredniego rachunku:

1

Z

−∞

dx e−ikxψ(x − x0) = {x0= x − x0, dx0= dx} = 1

√2π Z

−∞

dx0e−ik(x0+x0)ψ(x0) =

= e−ikx0F [ψ(x0)](k). (10) 2. Transformata funkcji przeskalowanej

F [ψ(αx)](k) = 1

αF [ψ(x)] k α



(11)

Dowód: Podobnie jak poprzednio, wynika z zamiany zmiennych.

3. Transformata funkcji sprzężonej

F [ψ(x)](k) = F [ψ(x)](−k) (12)

Dowód: Z bezpośredniego rachunku:

1

Z

−∞

dx e−ikxψ(x) =

 1

Z

−∞

dx eikxψ(x)



= F [ψ(x)](−k). (13)

4. Transformata funkcji odbitej

F [ψ(−x)](k) = F [ψ(x)](−k), (14)

wynika stąd, że

ψ(−x) = ±ψ(x) ⇒ F [ψ](−k) = ±F [ψ](k) (15)

Dowód: Prosta zamiana zmiennych.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pokrywanie się obu przebiegów jest tym lepsze im większa jest częstotliwość próbkowania (na rysunku N=16 384, proszę spróbować dla większych

Zadanie związane ze wzorem Parsevala dla konkretnej funkcji.. Zadanie dotyczące własności

Jednym z jego aspektów jest to, i» zamiast rozpatrywa¢ funkcj¦ falow¡ jako funkcj¦ poªo»enia, mo»na równowa»nie rozpatrywa¢.. j¡ jako funkcj¦

każda ze stron jest ograniczona z góry przez drugą z dokładnością do stałej multiplikatywnej zależnej tylko od d, s..

[r]

[r]

Transformata Fouriera funkcji całkowalnych. zadania

• Dokonać analizy częstotliwościowej wybranego sygnału rzeczywistego w