GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 3
5.0. Ile różnych kątów trójściennych wyznaczają trzy proste przecinające się w jednym punkcie? A trzy półproste o wspólnym wierzchołku?
5.1. Podaj przykłady dwóch niewypukłych kątów trójściennych: takiego, który spełnia nierówność trójkąta, i takiego, który jej nie spełnia.
5.2. Czy istnieje kąt trójścienny w którym
a) dokładnie dwa z kątów dwuściennych są proste;
b) wszystkie kąty dwuścienne są ostre;
c) jeden z kątów dwuściennych jest prosty, a dwa pozostałe są rozwarte;
d) jeden z kątów dwuściennych jest prosty, a dwa pozostałe są ostre?
5.3. Zastanów się, jak mogą wyglądać uogólnienia poznanych nierówności o kątach trój- ściennych (nierówność trójkąta, suma kątów płaskich < 2π, suma kątów dwuściennych
> π) na przypadek wypukłych kątów wielościennych.
5.4. Udowodnij następujący fakt (zwany czasem twierdzeniem o trzech prostopadłych):
prosta p zawarta w płaszczyźnie Π jest prostopadła do danej prostej l nieprostopadłej do płaszczyzny Π wtedy i tylko wtedy gdy jest prostopadła do rzutu l′ prostej l na płaszczyznę Π.
5.5. Wykorzystując twierdzenie o trzech prostopadłych udowodnij, że jeśli w czworościanie ABCD krawędź AD jest prostopadła do płaszczyzny ABC, to w rzucie prostopadłym na płaszczyznę BCD ortocentrum trójkąta ABC przechodzi na ortocentrum trójkąta BCD.
6.1. Wskaż, gdzie w dowodzie twierdzenia sinusów dla kąta trójściennego używa się twier- dzenia o trzech prostopadłych (patrz zadanie 5.4).
6.2. Wyznacz kąty dwuścienne w kącie trójściennym, znając kąty płaskie α = β = π/3 i wiedząc, że kąt dwuścienny przy ich wspólnym ramieniu wynosi π/2.
6.3. Pokaż, że jeśli dwa kąty płaskie kąta trójściennego są równe, to dwa jego kąty dwu- ścienne też są równe (i odwrotnie).
6.4. Pokaż, że kąty między dwusiecznymi kątów płaskich danego kąta trójściennego są albo wszystkie trzy ostre, albo wszystkie trzy proste, albo wszystkie trzy rozwarte.
6.5. W pewnym kącie trójściennym wszystkie kąty płaskie są równe, a ich dwusieczne są parami prostopadłe. Znajdź kąty dwuścienne tego kąta.
6.6. Wyznacz kąty dwuścienne między sąsiednimi ścianami czworościanu foremnego. Zrób to samo dla kilku innych swoich ulubionych brył.
6.7. Udowodnij, że jeśli wszystkie kąty płaskie w kącie trójściennym są rozwarte, to wszys- tkie kąty dwuścienne też są rozwarte. Czy prawdą jest, że jeśli dwa z kątów płaskich są rozwarte, to przynajmniej jeden kąt dwuścienny jest rozwarty?
6.8. Czy prawdą jest, że:
a) jeżeli wszystkie kąty płaskie kąta trójściennego są ostre, to wszystkie kąty dwu- ścienne też są ostre;
b) jeżeli jeden z kątów płaskich kąta trójściennego jest prosty, to co najmniej jeden z kątów dwuściennych jest prosty?
1
