3 Oszacować parametry strukturalne następującego modelu na podstawie próby rocznej yt= α0+ α1x1t+ α2x2t+ εt, wiedząc, że: (XTX)−1

Ekonometria Lista 3 Z2ZF01

Lista zadań obejmuje następujące zagadnienia:

• KMNK: estymacja modelu regresji wielorakiej

1

Wyprowadzić wzór na estymator klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK) wektora parametrów strukturalnych liniowego modelu ekonometrycznego.

2

Dana jest tabela obserwacji zmiennych X, Y, Z, T :

X Y Z T

1.3 48 9.5 1 1.5 49 9.2 2 1.6 54 8.1 3 1.8 75 6.7 4 2.1 72 7.8 5

Zapisać wektor obserwacji zmiennej objaśnianej oraz macierz obserwacji zmiennych objaśniają- cych, za pomocą których można oszacować KMNK następujące modele:

a) y = ab ₀+ a₁x + a₂z + a₃t, b) bz = a1x + a2y,

c) bx = a₁y + a₂z + a₀. 3

Oszacować parametry strukturalne następującego modelu na podstawie próby rocznej 1997-2006:

y_t= α₀+ α₁x_1t+ α₂x_2t+ ε_t, wiedząc, że:

(X^TX)⁻¹ =





5 −4 4

−4 8 −2

4 −2 8



, X^Ty =



 30 18

−15



.

Zinterpretować oceny parametrów. Zakładając, że w 2006 roku obie zmienne objaśniające zre- alizują się na poziomie 60 jednostek, zmienna objaśniana przyjmie wartość o jedną jednostkę niższą niż wynika to z jej wartości teoretycznej, obliczyć, o ile procent (ceteris paribus) wzrośnie y, jeżeli x₁ wzrośnie o 1.5%.

4

Próbowano oszacować parametry następującego modelu na podstawie próby rocznej 1927-1934:

yt= α0+ α1x1t+ α2x2t+ εt, prace jednak przerwano. Zachowały się tylko niektóre dane:

(X^TX)⁻¹ =





· · ·

· 48 ·

· 8 24



, X^Ty =





· 64 216



, y = 2,¯ x¯₁ = 2, x¯₂ = 0.

Czy na podstawie tych informacji można oszacować parametry strukturalne? Jeśli tak, dokonać odpowiednich obliczeń.

1

Ekonometria Lista 3 Z2ZF01

5

Zbudowano statyczny model konsumpcji pewnego dobra, której zmienność jest objaśniana zmie- nnością dochodów realnych: y_t= α0+ α1x + εt. Oszacować parametr α₁, wiedząc, że:

(X^TX)⁻¹ = ₅₀¹

 30 −20

−20 20

 ,

15

P

t=1

xtyt= 104, αb0 = 4.

6

Dla modelu regresji y_t= α₁x_1t+ α₂x_2t+ ε_t uzyskano następujące wyniki:

100

P

t=1

y_t= 100,

100

P

t=1

y²_t = ⁴⁹³₃ ,

100

P

t=1

x²_1t= 30,

100

P

t=1

x²_2t= 3,

100

P

t=1

x_1ty_t= 30,

100

P

t=1

x_2ty_t= 20,

100

P

t=1

x_1tx_2t= 0.

Oszacować parametry, błędy standardowe ich ocen oraz porównać precyzję estymacji.

7

Dysponując poniższymi danymi, oszacować parametry modelu y_t= α0+ α1x1t+ α2x2t+ εt.

X^Ty =





−1 0.5 1.5



, D²(a) =





2.25 8 4

8 2500 12 4 12 100



, S²_e= 4,

gdzie:

D²(a) – estymator macierzy kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych, S²_e – estymator wariancji składnika losowego.

8

Ustalono, że funkcja popytu na pewne dobro ma postać: y_t = α0+ α1x1t+ α2x2t+ εt, gdzie:

y – popyt w tys. szt., x₁ – średnia płaca w mln zł, x₂ – cena dobra w tys. zł. Wiedząc, że:

(X^TX)⁻¹ = ₆₀¹





61 −35 −5

−35 25 −5

−5 −5 25



,

P10

t=1y_t= 30, P10

t=1x_1ty_t= 49, P10

t=1x_2ty_t= 11, y^Ty = 110.

a) Oszacować parametry strukturalne modelu (zapisać oszacowany model).

b) Podać interpretację oceny parametru przy zmiennej cena dobra.

c) Obliczyć odchylenie standardowe oceny parametru α₂.

d) Jak zmieni się wielkość popytu, gdy cena dobra wzrośnie o 200 zł?

2