Przyk lad 1.1
Rzucamy dwa razy monet¸a. Przestrze´n zdarze´n elementarnych to Ω1 = {OO, RO, OR, RR}.
Rozk lad prawdopodobie´nstwa jest nast¸epuj¸acy:
ω OO RO OR RR
P ({ω}) 1/4 1/4 1/4 1/4
Przestrze´n Ω1jest przestrzeni¸a klasyczn¸a - ka˙zde zdarzenie ω jest jednakowo prawdopodobne.
Rozwa˙zmy zdarzenie A - ”wypad l dok ladnie jeden orze l” . W´owczas P (A) = P ({OR, RO}) = 1/4 + 1/4 = 2
4 = 1/2.
Przyk lad 1.2
Rzucamy jednocze´snie dwiema identycznymi monetami. Przestrze´n zdarze´n elementarnych to Ω2 = {OO, RO, RR} (nie potrafimy odr´o˙zni´c uk ladu RO od OR). Rozk lad praw- dopodobie´nstwa jest nast¸epuj¸acy:
ω OO RO RR
P ({ω}) 1/4 1/2 1/4
Przestrze´n Ω2 NIE jest przestrzeni¸a klasyczn¸a - zdarzenia ω nie s¸a jednakowo praw- dopodobne:
2P ({OO}) = P ({RO}) = 2P ({RR}).
Dla zdarzenia A - ”wypad l dok ladnie jeden orze l” mamy P (A) = P ({RO}) = 1/2.
Wniosek: W obu modelach prawdopodobie´nstwo wyrzucenia dok ladnie jednego or la jest IDENTYCZNE i nie zale˙zy od tego w jaki spos´ob rzucamy monetami - czy dwoma jednocze´snie, czy dwoma po kolei (jedn¸a dwa razy).
ANALOG: rozmieszczanie dw´och kul w dw´och szufladach.
Przyk lad 2.1: Dwie identyczne kule rozmieszczamy po kolei (lub: dwie kule rozr´o˙znialne rozmieszczamy jednocze´snie) w dw´och ponumerowanych szufladach. Przestrze´n zdarze´n elementarnych Ω1 = {(a1, a2), ai ∈ {1, 2}, i = 1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (ai - nu- mer szuflady, do kt´orej trafi la i-ta kula). W´owczas Ω1 jest przestrzeni¸a klasyczn¸a:
ω (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) P ({ω}) 1/4 1/4 1/4 1/4
Dla zdarzenia B - ”kule trafi¸a do r´o˙znych szuflad” prawdopodobie´nstwo wynosi P (B) = P ({(1, 2), (2, 1)}) = 1/4 + 1/4 = 2
4 = 1/2.
Przyk lad 2.2: Dwie identyczne kule rozmieszczamy jednocze´snie w dw´och ponumerowanych szufladach. Przestrze´n zdarze´n elementarnych Ω2 = {{a1, a2}, ai ∈ {1, 2}, i = 1, 2} = {{1, 1}, {1, 2}, {2, 2}} (ai - numer szuflady, do kt´orej trafi la i-ta kula). W´owczas Ω2 NIE jest przestrzeni¸a klasyczn¸a:
ω {1,1} {1,2} {2,2}
P ({ω}) 1/4 1/2 1/4
Zdarzenia ω nie s¸a jednakowo prawdopodobne:
2P ({1, 1}) = P ({1, 2}) = 2P ({2, 2}).
Dla zdarzenia B - ”kule trafi¸a do r´o˙znych szuflad” prawdopodobie´nstwo wynosi P (B) = P ({{1, 2}}) = 1/2
i jest takie samo jak w modelu 2.1.
Inaczej:
Ω2 = {(b1, b2) : bi ∈ {0, 1, 2}; i = 1, 2; b1+ b2 = 2} = {(2, 0), (1, 1), (0, 2)} (bi - ilo´s´c kul w i-tej szufladzie).
ω (2,0) (1,1) (0,2) P ({ω}) 1/4 1/2 1/4
Zdarzenia ω nie s¸a jednakowo prawdopodobne:
2P ((2, 0)) = P ((1, 1)) = 2P ((0, 2)).
Dla zdarzenia B - ”kule trafi¸a do r´o˙znych szuflad” prawdopodobie´nstwo wynosi P (B) = P ({(1, 1)} = 1/2
i jest takie samo jak w modelu 2.1.