Udowodni´c, ˙ze E[φ(X, Y

(1)

Zadania do wyk ladu ,,Modele liniowe”

dla IV roku matematyki, zastosowania rach, prob i stat. r.a. 2010/2011 Lista nr 2

1. Niech X i Y be

‘da

‘niezale˙znymi pr´obami z rozk lad´ow o cia

‘g lych dystrybuantach F i G odpowiednio i niech φ(x, y) be

‘dzie funkcja

‘krytyczna

‘o w lasno´sciach:

(i) E[φ(X, Y )] = α, gdy F = G;

(ii) je˙zeli y_i≤ y^∗_i dla i = 1, 2, . . . , r (r jest rozmiarem pr´oby Y ), to φ(x, y) ≤ φ(x, y^∗).

Udowodnić, ˙ze E[φ(X, Y )] ≥ α dla wszystkich F i G, dla których F ≤^st G oraz E[φ(X, Y )] ≤ α, gdy F ≥^st G. (Wskazówka: zastosować odpowiednie wyniki z zadań o porza

‘dku stochastycznym z ubieg lego roku.)

2. Przy za lo˙zeniach zad. 1 i korzystaja

‘c z jego wyniku udowodni´c, ˙ze ka˙zdy test rangowy postaci:

φ(w) =







1, gdy w > c, ξ, gdy w = c, 0, gdy w < c, gdzie

W = Xr

j=1

η(S_j), η jest funkcja

‘niemaleja

‘ca

‘, a S₁ < S₂ < . . . < S_r sa

‘ uporza

‘dkowanymi rangami zmiennych z pr´oby Y , jest testem nieobcia‘˙zonym na poziomie α dla testowania hipotezy H : F = G przy hipotezie alternatywnej K : F ≤^stG.

3. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n) i Y = (Y₁, Y₂, . . . , Y_r) be

‘da

‘niezale˙znymi pr´obami z rozk lad´ow o cia

‘g lych dystrybuantach F i G odpowiednio, a R₁ < R₂ < . . . < R_n i S₁ < S₂ < . . . < S_r niech oznaczaja‘ uporza

‘dkowane rangi tych pr´ob. Rozpatrzmy statystyke

‘ Wilcoxona W^∗ =

Xr

j=1

S_j

oraz statystyke

‘ Manna-Whitneya

V = Xn

i=1

Xr

j=1

1(X_i < Y_j).

Udowodni´c naste

‘puja

‘ce r´owno´sci:

(a) V = W^∗− r(r + 1)/2;

(b) E_θ(V ) = nrp oraz Var_θ(V ) = nr[p(1 − p) + (r − 1)(q₁− p²) + (n − 1)(q₂− p²)],

gdzie p = P_θ(X₁ < Y₁), q₁ = P_θ(X₁ < min(Y₁, Y₂)), q₂ = P_θ(Y₁ < max(X₁, X₂)), a θ = (F, G).

Pokaza´c, ˙ze przy hipotezie H : F = G,

(c) E(V ) = nr/2 i Var(V ) = nr(n + r + 1)/12.

4. Przy za lo˙zeniach zad. 3 udowodni´c, ˙ze je˙zeli hipoteza H : F = G jest prawdziwa, to rozk lad statystyki Manna-Whitneya jest symetryczny wzgle

‘dem warto´sci nr/2.

5. Niech spe lnione be

‘da

‘za lo˙zenia zad. 3. Sprawdzi´c, ˙ze po zasta

‘pieniu w statystyce Studenta dla dw´och pr´ob X i Y zmiennych X_i i Y_j przez ich rangi R_i i S_j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , r, otrzymamy wyra˙zenie be

‘da

‘ca

‘monotoniczna

‘funkcja

‘statystyki Wilcoxona W^∗=^P^r_j=1S_j. 6. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n) i Y = (Y₁, Y₂, . . . , Y_n) be

‘da

‘niezale˙znymi pr´obami z rozk lad´ow normal- nych odpowiednio N (a, σ²) i N (b, σ²), a, b ∈ R, σ > 0. Testujemy hipoteze

‘ H : a = b przy hipotezie alternatywnej K : b > a.

(a) Znale´zć liczebno´sć prób n taka

‘, aby test Studenta na poziomie istotno´sci α = 0.05 mia l przy alternatywie okre´slonej r´owno´scia

‘(b − a)/σ = 0.5, moc co najmniej β = 0.9.

(b) Korzystaja

‘c z twierdzenia Hoeffdinga o asymptotycznej normalno´sci statystyki Manna-Whitneya rozwia

‘za´c zadanie (a) dla testu Wilcoxona.

(c) Porównać i skomentować rezultaty zadań (a) i (b).

7. Niech (X₁, Y₁)⁰, (X₂, Y₂)⁰, . . . , (X_n, Y_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘ z dwuwymiarowego rozk ladu normalnego N (m, Σ), m ∈ R², a Σ jest macierza

‘postaci Σ =

"

σ² ρστ ρστ τ²

#

, σ, τ > 0, ρ ∈ (−1, 1).

(2)

Wykaza´c, ˙ze test ilorazu wiarogodno´sci na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : ρ = 0 przy hipotezie alternatywnej K : ρ 6= 0 jest funkcja

‘statystyki |R| i odrzuca hipoteze

‘ H, gdy

√ |R|

1 − R²

√n − 2 > t_1−α/2(n − 2),

gdzie

R =

P_n

i=1(X_i− X)(Y_i− Y ) qP_n

i=1(X_i− X)²^Pⁿ_i=1(Y_i− Y )² jest pr´obkowym wsp´o lczynnikiem korelacji, a t_1−α/2(n − 2) jest kwantylem rze

‘du 1 − α/2 rozk ladu Studenta z n − 2 stopniami swobody.

(Wskaz´owka: Udowodni´c, ˙ze zmienna losowa

T = R

√1 − R²

√n − 2

ma rozk lad Studenta z n − 2 stopniami swobody, gdy ρ = 0. W tym celu udowodni´c, ˙ze warunkowy rozk lad statystyki T przy danych x₁, x₂, . . . , x_n i ρ = 0 jest rozk ladem Studenta z n − 2 stopniami swobody, przy za lo˙zeniu, ˙ze ^Pⁿ_i=1(x_i− x)² > 0. Dalsze szczeg´o ly na str. 272 ksia

‘˙zki: J.B. Wyk lady ze statystyki amtem- atycznej.)

8. Niech (X₁, Y₁), (X₂, Y₂), . . . , (X_n, Y_n) be

‘dzie pr´oba

‘z dwuwymiarowego rozk ladu o cia

‘g lej dystrybuan- cie H. Niech Q₁, Q₂, . . . , Q_ni R₁, R₂, . . . , R_nbe

‘da

‘rangami odpowiednio zmiennych losowych X₁, X₂, . . . , X_n i Y₁, Y₂, . . . , Y_n w ich uporza

‘dkowanych rosna

‘co ciagach.

a) Udowodnić, ˙ze je˙zeli do wzoru na próbkowy wspó lczynnik korelacji liniowej Fishera zamiast zmiennych X_i i Y_i wstawimy Q_i i R_i, i = 1, 2 . . . , n, to otrzymamy statystyke

‘, zwana

‘pr´obkowym wsp´o lczynnikiem korelacji rangowej Spearmana, postaci

r_S = 12 n(n²− 1)

Xn

i=1

Q_iR_i−3(n + 1) n − 1 .

b) Udowodni´c, ˙ze przy hipotezie niezale˙zno´sci H₀ : H(x, y) = F (x)G(y), (x, y) ∈ R², gdzie F i G sa dystrybuantami rozk lad´ow brzegowych zmiennych X₁ i Y₁ odpowiednio, dla statystyki Spearmana ‘

S = Xn

i=1

Q_iR_i zachodzi

E(S) = n(n + 1)²

4 i Var(S) = n²(n + 1)²(n − 1)

144 .

(Wskaz´owka: zauwa˙zy´c, ˙ze S =^Pⁿ_i=1iR^∗_i, gdzie R^∗_i jest ranga

‘zmiennej Y_i, odpowiadaja

‘cej w parze zmiennej X_i:n, i = 1, 2, . . . , n.)

c) Udowodni´c, ˙ze

r_S = 1 −6^Pⁿ_i=1(R_i− Q_i)² n(n²− 1) . d) Niech φ be

‘dzie cia

‘g la

‘ i ´sci´sle monotoniczna

‘ funkcja

‘ i niech Y_i = φ(X_i), i = 1, 2, . . . , n, z praw- dopodobie´nstwem 1. Udowodni´c, ˙ze r_S = 1, gdy φ jest funkcja

‘rosna

‘ca

‘i r_S = −1, gdy φ jest funkcja maleja ‘

‘ca

‘.

9. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n) be

‘dzie pr´oba

‘ z rozk ladu normalnego N (m, σ²), m ∈ R, σ > 0.

Skonstruowa´c przedzia l ufno´sci dla parametru σ² na poziomie ufno´sci 1 − α.

10. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n) be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu jednostajnego U (0, θ), θ > 0. Skonstruowa´c przedzia l ufno´sci dla parametru θ na poziomie ufno´sci 1 − α₁− α₂.

‘da

‘niezale˙znymi próbami z rozk ladów nor- malnych odpowiednio N (a, σ²) i N (b, σ²), a, b ∈ R, σ > 0. Skonstruować JND nieobcia

‘˙zona

‘rodzine przedzia l´ow ufno´sci na poziomie ufno´sci 1 − α dla parametru η = b − a. ‘

‘da

‘niezale˙znymi próbami z rozk ladów nor- malnych odpowiednio N (a, σ²) i N (b, τ²), a, b ∈ R, σ, τ > 0. Skonstruować JND nieobcia

‘˙zona

‘rodzine przedzia l´ow ufno´sci dla parametru ∆ = τ²/σ² na poziomie ufno´sci 1 − α. ‘

ML11-2.tex

14.3.2011 r. J. Bartoszewicz