UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Definicja 1. Układ m równań liniowych o n niewiadomych x_i, i1,2,,n ma postać:

(u)

m n mn m

m

x n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a





























2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

...

...

...

...

...

W symbolice macierzowej możemy to zapisać następująco:

b Ax , gdzie

 

ij _{m n} mn

m m

n n

a a

a a

a a

a

a a

a

A  _

































2 1

2 22

21

1 12

11



















xn

x x

x 

2 1



















bm

b b

b 

2 1

Przy czym

a) jeżeli b

 

0 _m1, to układ (u) nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku niejednorodnym,

b) jeżeli mn i det

 

A 0 (A jest macierzą nieosobliwą), to układ (u) nazywamy układem Cramera.

Twierdzenie 1. Układ Cramera posiada jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami

 

^A

x_i W^xi

 det , gdzie

xi

W jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny tej macierzy kolumną wyrazów wolnych b.

Wniosek 1 z twierdzenia 1.

Jednorodny układ Cramera ma tylko rozwiązanie zerowe x_i 0, i1,2,,n , ponieważ n

i

Wxi 0, 1,2,, .

Przykład 1.

Rozwiąż układ równań

























4 1

1 2

3 2 1

3 2

3 2 1

x x x

x x

x x x

Rozwiązanie:

 

3

1 2

1 1 1 2 0

1 1 0

2 1 1 1 1 1

1 1 0

2 1 1

det 

 











 A

W

3 3 , 9

1 9 4

1 3 1

1 1 4

3 0 0

2 1 1 1

1 4

1 1 1

2 1 1

1

1 1 



 





 

 













 W

x W

W_x ^x

3 2 , 6

1 6 5

1 1 1 5 0

1 1 0

2 1 1 1 4 1

1 1 0

2 1 1

2

2 2 



 





 











 W

x W

W_x ^x

3 1 , 3

5 3 2

1 1 5 2 0

1 1 0

1 1 1 4

1 1

1 1 0

1 1 1

3

3 3 

 

















 W

x W

W_x ^x

Fakt 1: Układ Cramera Axbmożemy rozwiązać wykorzystując macierz odwrotną do macierzy tego układu. Ponieważ A jest macierzą nieosobliwą istnieje macierz do niej odwrotna A . ^1

Równanie macierzowe b

Ax

mnożymy przez A z lewej strony i otrzymujemy ^1

b A x

b A x I

b A x A A

1 _

1 _

1 _ 1

_











Definicja 7.2. Macierz



















n mn m

m

n n

p

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

A 















2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

Nazywamy macierzą rozszerzoną układu (u).

Twierdzenie 7.2. Kroneckera-Capellego

Układ (u) o n niewiadomych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

 

^{A r A r}

r  ( _p) , przy czym , jeżeli

a) r(A)r

 

Ap , to układ (u) jest sprzeczny,

b) ^r

 

^A ^r

 

^Ap ⁿ, to układ (u) posiada dokładnie jedno rozwiązanie,

c) ^r

 

^A ^r

 

^Ap ⁿ, to układ (u) posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od nr parametrów.

Wniosek 1 z twierdzenia 7.2.

Jednorodny układ równań posiada zawsze rozwiązanie, ponieważ r

 

A r⁽Ap⁾.

Przykład 2.

Rozwiązać układ równań stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego

{

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0

−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1 𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 0

Rozwiązanie:

Układ równań zapisujemy w postaci macierzowej Axb:

[ 1 2 3

−1 1 −2

1 5 4

] [ 𝑥 𝑦 𝑧]=[0

1 0 ]

Wyznaczamy rząd macierzy A i rząd macierzy rozszerzonej Ap

𝑟(𝐴) = 𝑟 [ 1 2 3

−1 1 −2

1 5 4

] 𝑟𝑧1 + 𝑟𝑧2

𝑟𝑧1 ∙ (−1) + 𝑟𝑧3 = 𝑟 [

1 2 3 0 3 1 0 3 1

] = 𝑟 [1 2 3 0 3 1 0 0 0

] = 2

𝑟(𝐴_𝑝) = 𝑟 [ 1 2 3

−1 1 −2

1 5 4

0 1 0

] 𝑟𝑧1 + 𝑟𝑧2

𝑟𝑧1 ∙ (−1) + 𝑟𝑧3 = 𝑟 [

1 2 3

0 3 1

0 3 1

0 1 0

] = 𝑟 [1 2 3 0 3 1 0 0 0

0 1

−1 ] =

Przestawiamy, kolumny k3 i k4

= 𝑟 [1 2 0 3 0 0

0 3

1 1

−1 0 ] = 3

𝑟(𝐴) = 2 ≠ 𝑟(𝐴_𝑝) = 3

Ponieważ rząd macierz układu równań i rząd macierzy rozszerzonej są różne, zatem powyższy układ równań jest sprzeczny.

Rozwiązać układ równań stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego

{

3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 + 4𝑡 = 2 7𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 5 5𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 − 6𝑡 = 4

Rozwiązanie:

Układ równań zapisujemy w postaci macierzowej Axb:

[3 −5 7 −4

5 7

2 4

1 3

−4 −6 ] [

𝑥 𝑦𝑧 𝑡

] = [2 5 4 ]

Wyznaczamy rząd macierzy A i rząd macierzy rozszerzonej Ap

𝑟(𝐴) = 𝑟 [3 −5 7 −4

5 7

2 4

1 3

−4 −6

] 𝑟𝑧2 ∙ (−2) + 𝑟𝑧1

𝑟𝑧2 ∙ 4 + 𝑟𝑧3 = 𝑟 [−11 −3

7 −4

33 9

0 −2

1 3

0 6

] 𝑟𝑧1 ∙ 3 + 𝑟𝑧3 =

= 𝑟 [−11 −3

7 −4

0 0

0 −2

1 3

0 0

] = 𝑟 [−11 −3

7 −4 0 −2

1 3 ] = 2 , bo np. |0 −2

1 3 | = 2 ≠ 0

𝑟(𝐴_𝑝) = 𝑟 [3 −5 7 −4

5 7

2 4

1 3

−4 −6 2

5 4

] 𝑟𝑧2 ∙ (−2) + 𝑟𝑧1 𝑟𝑧2 ∙ 4 + 𝑟𝑧3 =

= 𝑟 [−11 −3

7 −4

33 9

0 −2

1 3

0 6

−8 5 24

] 𝑟𝑧1 ∙ 3 + 𝑟𝑧3 = 𝑟 [−11 −3

7 −4

0 0

0 −2

1 3

0 0

−8 5 0

] =

= 𝑟 [−11 −3

7 −4 0 −2 1 3 −8

5 ] = 2 , bo np. |0 −2

1 3 | = 2 ≠ 0

Ponieważ 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴_𝑝) = 2, układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 𝑛 − 𝑘 = 4 − 2 = 2 parametrów

Z macierzy A wybieramy dowolny podwyznacznik stopnia 2 różny od zera, np

[3 −5 7 −4

5 7

2 4

1 3

−4 −6 ]

Rozwiązujemy układ równań składający się z równania 1 i 2 ze względu na zmienne z i t . Zmienne x i y będą parametrami od których zależy rozwiązanie:

{2𝑧 + 4𝑡 = 2 − 3𝑥 + 5𝑦 𝑧 + 3𝑡 = 5 − 7𝑥 + 4𝑦

Przyjmujemy, że 𝑥 = 𝑎, 𝑎 oraz 𝑦 = 𝑏, 𝑏

{2𝑧 + 4𝑡 = 2 − 3𝑎 + 5𝑏 𝑧 + 3𝑡 = 5 − 7𝑎 + 4𝑏

I taki układ równań rozwiązujemy tak jak układ Cramera.

𝑊 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |2 4 1 3| = 2 𝑊_𝑧= |2 − 3𝑎 + 5𝑏 4

5 − 7𝑎 + 4𝑏 3| = 3(2 − 3𝑎 + 5𝑏) − 4(5 − 7𝑎 + 4𝑏) = −14 + 19𝑎 − 𝑏 𝑧 = 𝑊_𝑧

𝑤 = (−14 + 19𝑎 − 𝑏)/2 𝑊_𝑡 = |2 2 − 3𝑎 + 5𝑏

1 5 − 7𝑎 + 4𝑏| = 2(5 − 7𝑎 + 4𝑏) − (2 − 3𝑎 + 5𝑏) = 8 − 11𝑎 + 3𝑏 𝑧 = 𝑊_𝑡

𝑤 = (8 − 11𝑎 + 3𝑏)/2 Ostatecznie:

{

𝑥 = 𝑎 𝑦 = 𝑏 𝑧 =

(−14+19𝑎−𝑏)

2

𝑡 =

^{(8−11𝑎+3𝑏)}₂

𝑎, 𝑏

Przykładowe rozwiązanie:

{ 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = −7

𝑡 = 4