• Nie Znaleziono Wyników

2014-03-13 JarosławPiersa Algorytmystochastyczne,wykład04Algorytmygenetyczne,Dlaczegowogóledziałają?Twierdzenieoschematach

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2014-03-13 JarosławPiersa Algorytmystochastyczne,wykład04Algorytmygenetyczne,Dlaczegowogóledziałają?Twierdzenieoschematach"

Copied!
21
0
0

Pełen tekst

(1)

Schematy Twierdzenie o schematach

Algorytmy stochastyczne, wykład 04

Algorytmy genetyczne, Dlaczego w ogóle działają?

Twierdzenie o schematach

Jarosław Piersa

Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika

2014-03-13

(2)

1 Schematy Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

2 Twierdzenie o schematach Twierdzenie o schematach

(3)

Schematy Twierdzenie o schematach

Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

Schemat

schemat to ciąg znaków {0, 1, ∗}N np: [0, 0, ∗, 1, ∗]

dla czytelności zaznaczamy początek i koniec schematu oraz rozdzielamy symbole przecinkami

(4)

Chromosom należy do schematu

Chromosom x należy do schematu s, jeżeli:

x ma zera na pozycjach gdzie schemat ma zera x ma jedynki na pozycjach gdzie schemat ma jedynki Innymi słowy: pokrywa się na symbolach ustalonych, może być dowolny gdy na pozycji jest ∗,

Uwaga! ∗ oznacza tylko pojedynczy gen, a nie dowolny ciąg

(5)

Schematy Twierdzenie o schematach

Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

Chromosom należy do schematu

x = [0, 1, 0], y = [0, 0, 0]

schemat s1= [0, 1, ∗]

czy x i y należą do s1?

schemat s2= [∗, ∗, 0] czy x i y należą do s2?

(6)

Chromosom należy do schematu

x = [0, 1, 0], y = [0, 0, 0]

schemat s1= [0, 1, ∗]

czy x i y należą do s1? schemat s2= [∗, ∗, 0]

czy x i y należą do s2?

(7)

Schematy Twierdzenie o schematach

Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

Obserwacje

jeżeli w schemacie jest dokładnie m symboli ∗, to taki do schematu jest dopasowanych 2m różnych chromosomów

chromosom długości N bitów należy do 2N różnych schematów wszystkich schematów jest 3N, ale niektóre się zawierają w innych, np.

[∗, 0, 0, 1, ∗] zawiera się w [∗, 0, ∗, 1, ∗]

(8)

Pomysł

zamiast szacować szanse przeżycia dobrego chromosomu, oszacujemy liczbę wystąpień dobrego schematu

(9)

Schematy Twierdzenie o schematach

Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

Wpływ selekcji

Oznaczmy:

c(s, t) = liczba chromosomów w populacji Pt, które spełniają schemat s

F (s, t) = średnie dostosowanie chromosomów w populacji Pt, które spełniają schemat s

F (s, t) = P

¯ x ∈Pt∩s

F (¯x ) c(s, t)

F (t) = średnie dostosowanie wszystkich chromosomów w¯ populacji Pt

F (t) =¯ P

¯ x ∈Pt

F (¯x )

|Pt|

(10)

Wpływ selekcji

Oznaczmy:

wybieramy M(t) osobników, które przetrwały i będą krzyżowane każdy osobnik x ma szanse dostania się do na pozycję w M(t)

P(M(t) = x ) = F (¯x ) P

¯

y ∈PtF (¯y )

prawdopodobieństwo, ze osobnik x zgodny z s dostanie się do M(t):

P(Mi(t) ∈ s) = c(s, t) · F (s, t) P

¯

y ∈PtF (¯y )

(11)

Schematy Twierdzenie o schematach

Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

Wpływ selekcji

w M(t) jest N miejsc, każde zajęte przez osobnika z s z p-em P(Mi(t) ∈ s)

oczekiwana liczba osobników zgodnych z s w M(t)

E(|M(t)| ∩ s) = N · c (s, t) · F (s, t) P

¯

y ∈Pt F (¯y ) E(|M(t)| ∩ s) = c (s, t) · F (s, t)

F (t)¯

(12)

Oznaczenia

rząd schematu (order ) o(s) = liczba symboli ∗

rozpiętość (defining length) d (s) = odległość między pierwszą a ostatnią „nie-∗” w schemacie

d ([∗, ∗, 1, ∗]) = 0 d ([0, ∗, 1, ∗]) = 2

(13)

Schematy Twierdzenie o schematach

Definicja

Wpływ selekcji na przeżywalność schematu Wpływ krzyżowań

Wpływ mutacji

Wpływ krzyżowań

prawdopodobieństwo zniszczenia schematu podczas krzyżowania

≤ pc d (s) N − 1 pc — p-o krzyżowania

d (s)/N − 1 — p-o wyboru punktu cięcia, który przetnie schemat prawdopodobieństwo zachowania schematu podczas krzyżowania

≥ 1 − pc d (s) N − 1

(14)

Wpływ mutacji

prawdopodobieństwo zachowania schematu podczas mutacji (1 − pm)o(s)

jeżeli pm  1 , to możemy przybliżyć:

' (1 − pm· o(s)) pm — p-o mutacji

o(s) — rząd schematu (liczba ∗)

(15)

Schematy

Twierdzenie o schematach Twierdzenie o schematach

Przeżycie schematu

oczekiwana liczba schematów zgodnych z s w następnej populacji

E(c (s, t + 1)) ≥ c (s, t)F (s, t) F (t)¯ ·



1 − pc d (s) N − 1



· (1 − pm)o(s) przybliżamy wpływ mutacji:

E(c (s, t + 1)) ≥ c (s, t)F (s, t) F (t)¯ ·

 1 − pc

d (s) N − 1



· (1 − o(s)pm)

(16)

Przeżycie schematu

przybliżamy wpływ mutacji:

E(c (s, t + 1)) ≥ c (s, t)F (s, t) F (t)¯ ·

 1 − pc

d (s)

N − 1 − o(s)pm+ +pmpc

d (s)o(s) N − 1



pomijamy ostatni wyraz:

E(c (s, t + 1)) ≥ c (s, t)F (s, t) F (t)¯ ·

 1 − pc

d (s)

N − 1 − o(s)pm



(17)

Schematy

Twierdzenie o schematach Twierdzenie o schematach

Przeżycie schematu

jeżeli schemat s jest dostosowany powyżej średniej, to F (s, t) > ¯F (t) ⇐⇒ F (s, t)

F (t)¯ > 1 jeżeli s ma małą rozpiętość i niski rząd

d (s)  N ⇐⇒ d (s) N − 1  1 O(s)  N ⇐⇒ pmo(s)  1 to

0  1 − pc

d (s)

N − 1 − o(s)pm < 1

(18)

Przeżycie schematu

jeżeli schemat s jest dostosowany powyżej średniej oraz o niskim rzędzie i małej długości

r := F (s, t) F (t)¯ ·

 1 − pc

d (s)

N − 1 − o(s)pm



> 1 wówczas zachodzi

c(t + 1, s) = c(t, s) · r

Tzn. oczekiwana liczba schematów zgodnych z s w populacji Pt+1jest r > 1 razy większa niż w populacji Pt

(19)

Schematy

Twierdzenie o schematach Twierdzenie o schematach

Przeżycie schematu

mamy

c(t + 1, s) = c(t, s) · r

jeżeli r > 1 nie zależy od epoki lub jest w przybliżaniu stałe (co nie jest do końca uzasadnione), to

c(t+1, s) = c(t, s)·r = c(t−1, s)r2 = c(t−2, s)r3= ...c(0, s)rt+1 zatem oczekiwana liczba schematów zgodnych z s rośnie

wykładniczo z czasem

(20)

Twierdzenie o schematach

co kończy dowód następującego twierdzenia Theorem (Twierdzenie o schematach)

Schematy niskiego rzędu (o(s)  N), niskiej rozpiętości (d (s)  N) i dostosowaniu powyżej średniej (F (s, t) >F (t)) wykładniczo¯ zwiększają liczbę swoich reprezentantów w kolejnych populacjach.

(21)

Schematy

Twierdzenie o schematach Twierdzenie o schematach

Źródła

Z. Michalewicz, Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT, Warszawa 1996

D. Rutkowska, M. Piliński, L. Rutkowski, Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, PWN, Warszawa 1997

Cytaty

Powiązane dokumenty

7.1 wyjaśnia, czym jest zdrowie; wymienia czynniki, które wpływają pozytywnie i negatywnie na zdrowie i samopoczucie oraz wskazuje te, na które może mieć wpływ.. Adresat:

[r]

[r]

Niech zmienna losowa X oznacza czas ocze- kiwania osoby, która przyszła pierwsza, na drugą.. Wyznaczyć rozkład tej

d) w praktyce każda jego faza jest realizowana zgodnie z podejściem iteracyjnym. O fazach i rodzajach testów możemy powiedzieć, że:. a) testów integracyjnych nie

Czas trwania rozmowy z kolegą (liczony w minutach) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 5]; w przypadku gdy dzwoni ko- leżanka, jest to zmienna o

Na odcinek [−n, n] rzucono losowo (zgodnie z rozkładem jednostajnym) n gwiazd o masach jed- nostkowych7. Dla danego α rozkład

Ci jednak tego dnia razili wyjątkową nieporadnością, narażając się nawet na gwizdy i epitety od własnych kibiców. Sam tylko Waldemar Przy- | siuda trzykrotnie mógł