K rzysztof G R Y SA
P olitechnika Św iętokrzyska, Kielce M ichał C IA ŁK O W SK I
Politechnika P oznańska, Poznań
ZAGADNIENIA ODWROTNE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO - PRZEGLĄD LITERATURY LAT 1989-1995*
S tre szc ze n ie . P rzedstaw iono przegląd prac z dziedziny zagadnień odw rotnych przew od
nictw a cieplnego, opublikow anych w latach 1989-1995. Om ówiono:
- zagadnienia identyfikacji tem peratury brzegu (jedno- i w ielow ym iarow e, liniowe i nielinio
we),
- liniow e i nieliniow e zagadnienia identyfikacji w spółczynników , - zagadnienia ustalone,
- zagadnienia identyfikacji położenia lub/i intensyw ności źródeł ciepła, - zagadnienia odw rotne dotyczące w ym iany ciepła przez prom ieniowanie.
THE IN V E R SE H EAT CO N D U C TIO N PROBLEM S - A REVIEW OF PAPERS P U B L ISH E D IN 1989-1995
S u m m a ry . A review o f papers (published in 1989-1995) that concern the inverse heat conduction problem s is presented. The follow ing topics are m entioned:
- boundary tem perature identification problem s (one- and m ultidim ensional, linear and non
linear)
- linear and non-linear problem s o f coefficients identification - steady state problem s
- problem s o f identification o f the source intensity and/or location - inverse problem s in heat conduction w ith radiation
' Praca pow stała w ram ach grantu KBN nr 8T 10B 019I3.
18 K. G rysa, M. Cialkowski
W STĘP
O statnie lata przyniosły - na skutek szybkiego rozw oju elektronicznych technik oblicze
niow ych - olbrzym i postęp w dziedzinie rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych przewodnic
tw a cieplnego. Z agadnienia te, należące do klasy źle postaw ionych zagadnień m atem atyki, ze w zględu na sw oją trudność i problem y w yznaczenia stabilnych rozwiązań, dopiero od około 30.-40. lat goszczą częściej na łam ach literatury fachowej.
Przedm iotem rozw ażań w pracach dotyczących tej tem atyki są m etody w yznaczania tem peratur i strum ieni ciepła na brzegu rozw ażanego obszaru na podstaw ie pom iarów tem peratu
ry w je g o punktach w ew nętrznych oraz zagadnienia określenia lokalnych w łasności term icz
nych lub term om echanicznych ciała.
P roblem atyka, od której rozpoczął się rozwój metod rozw iązyw ania zagadnień odw rot
nych przew odnictw a cieplnego ponad 50 lat temu, czyli problem atyka zw iązana z badaniami klim atu, pojaw ia się obecnie niezbyt często na łam ach czasopism , publikujących prace doty
czące zagadnień odw rotnych. W ostatnich latach prac takich było niewiele (np. [92]).
W latach w cześniejszych, których dorobek doczekał się opracowań przeglądow ych lub cytujących obszerną literaturę ([1], [2], [15], [14], [32], [42], [48], [52], [65], [95],[51]), roz
w ijane były głów nie m etody analityczne, dotyczące zagadnień liniow ych, szczególnie zależ
nych od jednej zm iennej przestrzennej i czasu. Także metody regularyzacji były szeroko roz
w ijane i doczekały się sw oich opracowań podsum ow ujących dorobek w tej dziedzinie (cho
ciażby znana m onografia [96]) oraz przeglądow ych ([3]). W ostatnich latach zaczęły pojawiać się prace przeglądow e, om aw iające zagadnienia odwrotne, dotyczące poszczególnych działów teorii przew odnictw a cieplnego (np. praca [17], w której przedstaw iono dorobek z zakresie zagadnień odw rotnych w ym iany ciepła przez prom ieniow anie, czy [55], gdzie omówiono zagadnienia odw rotne dotyczące w ym iany ciepła i masy w ciałach dyspersyjnych). Dopiero lata osiem dziesiąte i dziew ięćdziesiąte przyniosły znaczniejszy rozwój technik rozw iązyw ania zagadnień nieliniow ych oraz dwu- i trójw ym iarow ych.
Coraz więcej pojaw ia się prac, w których rozwijane są metody rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych prom ieniow ania ciał doskonale czarnych oraz nagrzew ania poprzez prom ienio
wanie.
W niniejszym przeglądzie uw agę skupiono głów nie na pracach lat 1989-1995. Główny podział om aw ianych prac dokonany został ze względu na zagadnienia identyfikacji tem pera
tury lub strum ienia ciepła na brzegu, zagadnienia identyfikacji w spółczynników oraz identyfi
kacji położenia lub/i intensyw ności źródeł ciepła. W ew nątrz tych grup prac om ów iono pod
grupy liniow ość - nieliniow ość oraz jednow ym iarow ość - w ielow ym iarow ość. Osobno om ó
wiono prace dotyczące zagadnień ustalonych, w których identyfikow ane są źródła ciepła oraz zagadnień odw rotnych, zw iązanych z prom ieniowaniem .
ZA GA D N IEN IA ID EN TY FIK A C JI TEM PER A TU RY BRZEGU
Z agadnienia jed n ow ym iarow e liniow e
Jedną z bardziej popularnych w latach siedem dziesiątych m etod rozw iązyw ania liniowych jednow ym iarow ych zagadnień odw rotnych było w ykorzystyw anie transform acji Laplace'a. W
pracy [21] m etoda ta je st w ykorzystana w połączeniu z m etodą elem entów skończonych. Po przetransform ow aniu rów nania przew odnictw a (z niezerow ym członem źródłow ym ) i w arun
ków (w tym także zw iązku określającego w ew nętrzną odpow iedź tem peraturow ą) autorzy form ułują postać funkcjonałow ą zagadnienia, dzielą odcinek (0,1) na elem enty skończone i w ykorzystują aparat M ES przy założeniu, że w każdym elem encie tem peratura zm ienia się liniowo. W efekcie zagadnienie sprow adzone je st w dziedzinie obrazów do układu równań algebraicznych, po rozw iązaniu którego num erycznie odw racana je st transform ata tem peratu
ry. Przedstaw ione trzy przykłady zastosow ania tego podejścia ilustrują je g o w ysoką efektyw ność dla przypadków identyfikow ania stałej tem peratury lub strum ienia ciepła na brzegu. Je
den z przykładów dotyczy m ateriału dwuw arstw ow ego.
Zbliżone podejście zaprezentow ano w pracy [19]. W zględem zm iennych przestrzennych zastosow ano m etodę elem entów skończonych, zaś w zględem zm iennej czasowej - metodę dyskretnej transform acji Fouriera. O trzym ana postać zagadnienia nie w ym aga dalszej stabili
zacji, a dokładność w yznaczanych strum ieni ciepła popraw ia się, gdy krok czasowy jest zm niejszany.
W ykorzystanie transform acji Laplace'a stało się podstaw ą w yznaczenia strum ienia ciepła na brzegu w arstw y płaskiej w pracy [90]. Przy odw racaniu transform at w ykorzystuje się roz
w inięcie w ystępujących tam funkcji hiperbolicznych w szereg potęgow y w zględem parametru
2 0 K. G rysa, M. Ciałkowski
transform acji i obcięcie tych szeregów na trzecim wyrazie. Prezentowany je st przykład, z któ
rego w ynika, że błąd m etody nie przekracza 3%.
W pracy [6] rozw ażane zagadnienie sprowadzono do równań całkow ych typu splotowego.
Autorzy założyli tutaj zależność w arunków w ym iany ciepła od czasu. A lgorytm rozw iązyw a
n ia zagadnienia przedstaw iony je s t opisowo, przy minimalnej ilości w zorów. Podano przykład m ożliw ości zastosow ania prezentowanej m etody.
Całkow e rów nania typu splotowego były także rozważane w pracy [35]. Sprzężone z transform acją Laplace'a pozwoliły skonstruować pew ne rozw iązania dla ciał o prostej geo
m etrii. W pracy tej przedstaw iono także rozw iązania przybliżone, uzyskane przez zastąpienie pochodnej po czasie różnicą w steczną i w ykorzystanie stow arzyszonych rów nań całkow ych dla rów nania Helm holtza.
Stabilność rozw iązań badana była w pracy [25] przy w ykorzystaniu m etody różnic skoń
czonych. R ozw ażane zagadnienie sprowadzono do rów nania m acierzowego. Przedstawiono tam zależność dokładności rozw iązania od prom ienia spektralnego m acierzy, odgrywającej kluczow ą rolę przy budow aniu rozwiązania.
W pracy [6 6] poprzez przedstaw ienie tem peratury w węzłach jako iloczynu funkcji zależ
nej od czasu i pew nej zależnej od czasu przestrzennej funkcji kształtu sprow adzono równanie przew odnictw a cieplnego do postaci, w której pojaw iają się tem peratury w ęzłów siatki, zależ
ne od czasu. Stosując następnie procedurę G alerkina sprowadza się rów nanie przewodnictw a do układu rów nań różniczkow ych na tem peratury węzłowe, sform ułow anych przy w ykorzy
staniu m etody elem entów skończonych. D yskretyzacja odcinka pom iędzy brzegam i warstwy płaskiej przebiega zgodnie z pew ną strategią, nazw aną strategią deform ującą siatkę. Przed
staw iony je st przykład identyfikacji strum ienia ciepła na wewnętrznej pow ierzchni dyszy sil
nika rakietow ego przy w ykorzystaniu om ówionej techniki. W prow adzenie strategii deform u
jącej siatkę pozw ala w sposób istotny zm niejszyć liczbę iteracji prow adzącą do rozwiązania zagadnienia z w ym aganą dokładnością.
Sprzężenie m etod regularyzacji Lavrentieva i odpow iedzi częstości urojonych było pod
staw ą do w yznaczenia niestacjonarnego pola tem peratury w przewodzącej ciepło ściance na podstaw ie w yników pom iarów tem peratury w jej w ew nętrznym punkcie, [102]. Otrzym ano w yniki w postaci w ygodnej do obliczeń num erycznych.
Poszukiw anie tem peratur brzegu przy w ykorzystaniu danych generow anych przez rozw ią
zania odpow iednich zagadnień prostych i regularyzacji było przedm iotem rozważań w pracy
[87]. R ozw ażano dane dokładne i obarczone błędem. M etoda ta nazw ana je st algorytm em genetycznym (genetic algorithm ). A utorzy są zdania, że m etoda ta m oże okazać się niezw ykle efektyw na przy rozw iązyw aniu w ielow ym iarow ych zagadnień odw rotnych przewodnictw a ciepła.
Z agadnienia jednow ym iarow e nieliniow e
Efektyw ne m etody rozw iązyw ania nieliniow ych zagadnień pojawiły się dopiero w raz z rozw ojem zastosow ań kom puterów .
W pracy [7] rozw aża się nieliniow e zagadnienie w w arstw ie płaskiej, w którym ciepło w łaściw e i w spółczynnik przew odzenia ciepła zależą od tem peratury. Z akłada się znajom ość w ewnętrznej odpow iedzi tem peraturow ej i form ułuje się funkcjonał, opisujący błąd średnio- kw adratowy. A utorzy prezentują m etodę rozw iązania tego zagadnienia za pom ocą aproksy
m acji poszukiw anej funkcji w postaci kom binacji liniowej B-splajnów , a następnie zastoso
w ania iteracyjnej m etody regularyzacji z w ykorzystaniem m etody gradientów sprzężonych.
W arunkiem zakończenia iteracji je st osiągniecie przez m inim alizow any funkcjonał wartości zgodnej z dokładnością pom iaru w ew nętrznych odpow iedzi tem peraturow ych. Znaczne p o lepszenie dokładności rozw iązania uzyskuje się przyjm ując a priori inform ację dotyczącą gładkości poszukiw anej funkcji. Przedstaw ione przykłady num eryczne dobrze ilustrują efek
tyw ność m etody.
W pracy [5] rozw aża się ciało złożone z w ielu w arstw płaskich, dla którego poszukiwane są charakterystyki w ym iany ciepła na brzegu. W rów naniu nieliniow ym przew odnictw a ciepl
nego uw zględnione są efekty zw iązane z w ym ianą masy. Zastosow ano podejście podobne jak w om ów ionej w yżej pracy [7], tzn. aproksym ację poszukiwanej funkcji w postaci kombinacji liniowej B -splajnów , a następnie zastosow anie iteracyjnej m etody regularyzacji z w ykorzy
staniem m etody gradientów sprzężonych. W pracy podany je st przykład num eryczny. We w nioskach autorzy podkreślają zależność dokładności w yników od położenia term opar w ciele i od ich ilości. W podobny sposób w yznaczono stałe w jednow ym iarow ym zagadnieniu w yznaczenia charakterystyk term icznych w przepływ ie dw ufazow ym , [9].
Problem dokładności rozw iązania ciekaw ie był rozw ażany w pracy [16]. Do rozwiązania zagadnienia w ykorzystano tam - podobnie ja k w [7] i [5] - m etodę gradientów sprzężonych.
Aby popraw ić w yniki iteracji, proponuje się przerw anie ich w celu dokonania w ykorzystania
2 2 K. G rysa, M. Ciałkowski
dodatkow ego pom iaru tem peratury, który - wprow adzony do obliczeń - popraw ia dokładność w yników . U w zględnia się przy tym zaburzenie pola tem peratury przez w prow adzoną termo- parę.
T akże w pracy [30] do w yznaczenia przybliżonej postaci w spółczynników zależnych od tem peratury w ykorzystano B-splajny, ale tu zastosowano adaptacyjną m etodę sekwencyjną.
R ozw iązanie konstruuje się tu w następujących czterech etapach: (1) R ozw iązanie odpow ia
dającego zagadnienia prostego m etodą różnic skończonych; (2) Zapis poszukiw anych funkcji opisujących tem peraturę i strum ień ciepła na brzegu z w ykorzystaniem B -splajnów (nazwano to param etryzacją); (3) W yznaczenie param etrów zw iązanych z tym opisem poprzez m inim a
lizację ważonej norm y średniokw adratow ej. W ystępujący tu nieliniow y układ równań alge
braicznych rozw iązano stosując algorytm Levenberga-M arquardta; (4) Podano warunki je d noznaczności rozw iązania; (5) W ygładzono i ustabilizow ano rozw iązanie w ykorzystując nadm iarow e dane z pom iarów w ew nętrznych odpow iedzi; (6) Pow yższe kroki stosowano w sposób sekw encyjny w obszarze czasowym . Przedstaw ione przykłady dobrze ilustrują efek
tyw ność obliczeń.
Często stosow ana je st m etoda różnic skończonych. T ą m etodą w pracy [45] rozwiązano zagadnienie identyfikacji term icznych w arunków na ogrzew anym brzegu skończonej warstwy płaskiej. N a podstaw ie pom iarów tem peratury i strum ienia ciepła na brzegu nieaktyw nym (co analitycznie znajduje swój w yraz przez opis tem peratury na tym brzegu) w yznaczono tem pe
raturę i strum ień ciepła na brzegu ogrzewanym . N ieliniow e są tu warunki w ym iany ciepła na brzegu ogrzew anym , przy czym w spółczynnik w ym iany ciepła zależy od czasu. Do uzyskania stabilnych rozw iązań w ykorzystano w ygładzanie (m ollification m ethod) z zastosowaniem funkcji:
- t J
1
8 7rceXP
Po w ykonaniu splotu tej funkcji z funkcjam i w ystępującym i w rozw ażanym zagadnieniu form ułuje się zagadnienie stow arzyszone dla tak otrzym anych funkcji. Dow odzi się, że m eto
da je st bezw arunkow o stabilna, po czym w yznacza się m etodą różnic skończonych rozw iąza
nia. P rzedstaw iono przykład ilustrujący zastosow anie tej m etody.
P rzykład zastosow ania innego schem atu różnicow ego ("slow ly divergent"), sprzężonego z m etodą regularyzacji Tichonow a, przedstaw iony je st w pracy [24]. Do przedstaw ienia różnic
w zachow aniu się błędu przy zastosow aniu rożnych innych algorytm ów do tego sam ego pro
blem u i przy tej samej siatce w ykorzystano analizę Lax-Richtm yera.
O dm ienne podejście przedstaw iono w pracy [71], W ykorzystano tu m etodę przedstaw ioną w pracy [19] (om ów ionej w yżej), któ rą rozszerzono na przypadek zależności charakterystyk cieplnych ciała od tem peratury. Zagadnienie rozw iązyw ane je st iteracyjnie.
W pracy [6 8] przedstaw iona je s t oryginalna m etoda rozw iązyw ania nieliniow ych zagad
nień odw rotnych przy w ykorzystaniu idei obserw atora stanu i zaburzeń, w prow adzonej w latach siedem dziesiątych do teorii układów dynam icznych. W prow adza się schem at obser
w atora na prostym przykładzie liniowego zagadnienia odw rotnego. R ów nania obserw atora są tw orzone przez dodanie odpow iednich popraw ek do rów nań opisujących w ym ianę ciepła. Tc poprawki to błędy pom iaru tem peratury w punktach w ew nętrznych, przem nożone przez pew ne w agi (stałe). Jako przykład rozw aża się identyfikację historii zm ian strum ienia ciepła na pow ierzchni przy w ym uszonej konw ekcji podczas w rzenia na podstaw ie pom iarów tem pera
tury w ew nątrz ścianki parow nika. Zdaniem autorów najistotniejszą zaletą tego podejścia jest niew rażliw ość rozw iązania na błędy pom iarowe, łatw a im plem entacja przez zm odyfikow anie istniejących program ów kom puterow ych, służących do rozw iązyw ania zagadnień prostych i system ow e traktow anie zw ykle nieznanego rozkładu tem peratury początkowej w chwili uru
cham iania algorytm u. N ie m a ograniczeń co do liczby czujników czy obserw acji, wielkości kroku czasow ego czy przestrzennego, typu układu w spółrzędnych czy rodzaju ciała. D opusz
czalne są w łasności term iczne ciała zależne od tem peratury, ja k rów nież m ateriały kom pozy
towe. Jedynie przy dużej dynam ice zm ian m etoda je st mniej skuteczna ze w zględu na nie
uniknione opóźnienia w fazie.
Zagadnienie odw rotne, rozw ażane jako dw upunktow e zagadnienie początkow o-brzegow e z w arunkiem brzegow ym postaw ionym popraw nie tylko na jed n y m brzegu i zastąpieniem w arunku na drugim brzegu przez w ew nętrzną odpow iedź tem peraturow ą rozw ażane było w pracy [8 6]. Jest ono rozw iązane różniczkow o-całkow ą zm odyfikow aną m etodą Bellm ana.
zaadaptow aną do techniki dekom pozycji obszaru. A utor podaje poszczególne kroki na drodze do uzyskania rozw iązania. Przykład ilustruje zastosow anie tego podejścia w praktyce.
Problem zagadnienia odw rotnego w przypadku w ysokich tem peratur rozw ażany był w pracy [26], O m ów iono w niej problem w yznaczenia tem peratury brzegu pręta grafitowego, stanow iącego źródło ciepła w elektrycznym piecu oporowym do w yżarzania grafityzującego.
Poniew aż w tem peraturach rzędu 2300-2800 nie m a m owy o stosowaniu tradycyjnych term o-
24 K. G rysa, M. Ciałkowski
par, a ponadto w szelkie charakterystyki term iczne są silnie zależne od tem peratury, więc w celu w yznaczenia nieznanej tem peratury brzegu pręta (rozumianej jako tem peratura w piecu) próbow ano w ykorzystać różne m etody rozw iązyw ania zagadnień odwrotnych.
Zagadnienia w ielow ym iarow e liniowe
W ielow ym iarow ość często oznaczała kształt sferyczny, kulisty lub taki, w którym łatwo w prow adza się układy w spółrzędnych, pozw alające rozw iązyw ać zagadnienie zależne od je d nej zm iennej przestrzennej i czasu. Dopiero użycie kom puterów pozwoliło na efektyw ne roz
w iązyw anie zagadnień zależnych od dwóch i trzech zm iennych przestrzennych.
W pracy [8] rozw aża się w ielow arstw ow e ciało o geom etrii sferycznej, w którym w yzna
cza się tem peraturę pow ierzchni zewnętrznej na podstaw ie wewnętrznej odpowiedzi tem pe
raturow ej. Prezentow any algorytm rozw iązyw ania zagadnienia bazuje na minim alizacji błędu średniokw adratow ego m etodą gradientów sprzężonych. W pracy brak je st przykładów num e
rycznych, ale podane są szczegółow o wzory opisujące poszczególne etapy rozwiązania.
W pracy [23] zagadnienie sprowadzono do m inim alizacjo błędu średniokwadratow ego (tzw. funkcjonał jakości), a następnie zdyskretyzow ano, form ułując je w języku elementów skończonych. Z astosow ana m etoda funkcji kary pozw oliła zbudow ać układ równań, z którego w yznaczono stabilne przybliżone rozwiązania. Jako przykład w yznaczono dla dw óch różnych siatek tem peraturę brzegu obszaru płaskiego o kształcie kwadratu.
O parte na przedstaw ieniu poszukiw anego rozw iązania w postaci szeregu zawierającego je g o pochodne w punktach, w których zm ierzono wew nętrzne odpowiedzi temperaturowe oraz na m etodzie regularyzacji podejście do zagadnień odw rotnych przedstaw iono w pracy [58]. R ów nanie przew odnictw a cieplnego sform ułow ano dla obszaru dw uw ym iarow ego o dow olnych kształtach. A utor bazuje na pew nych w ynikach wcześniejszych swoich prac, [54], otrzym ując rozw iązanie w postaci szeregu, w którym należy w yznaczyć w spom niane pochod
ne (z założenia ograniczone). Pochodne te liczone są z w ykorzystaniem m etody regularyzacji.
Przedstaw iono jednow ym iarow e przykłady, korespondujące m iędzy innym i z wynikam i przedstaw ionym i w [14].
Z agadnienie dokładności rozw iązania interesująco rozw ażano w pracy [18]. Aby uw zględnić w pływ źródła ciepła, będącego elem entem obcym w ogrzew anym ciele, zbudo
w ano dw a m odele m atem atyczne procesu - ścisły i przybliżony. N astępnie m etodą iteracyjną.
przy w ykorzystaniu gradientów sprzężonych, wyznaczono strum ień ciepła na brzegu obszaru.
Jako przykład om ów iono zagadnienie ogrzew ania cylindrycznego ciała o skończonych w y
miarach z grzałką w osi.
W pracy [44] do w yznaczenia tem peratury tak punktów brzegowych, ja k i wew nętrznych rozw ażanego obszaru zastosow ano m etodę M onte Carlo. Jak piszą autorzy, je st to idealna do zastosow ania m etoda, gdy dysponujem y kom puterem z w spółbieżnym i procesoram i, gdyż nie w ym aga kom unikacji pom iędzy nim i, dopóki nie zakończy się poszczególnych kroków tej procedury. M etoda opisana je st szczegółow o w pracy [40]. Jest ona bardzo efektyw na w roz
w iązyw aniu zagadnień odw rotnych w ciałach o skom plikow anych kształtach. Dokładność metody je st porów nyw alna z dokładnością innych metod, natom iast czas pracy kom putera jest krótszy. M etoda polega na przechodzeniu krok po kroku od punktu ze zm ierzoną w ew nętrzną odpow iedzią tem peraturow ą do punktu brzegow ego z w yznaczaniem po drodze tem peratury w przypadkow o w ybranych punktach leżących na kierunku "do brzegu". Podane są trzy przy
kłady, w szystkie dotyczące w yznaczania tem peratury na pow ierzchni cylindrycznej na pod
stawie w ew nętrznych odpow iedzi tem peraturow ych, otrzym anych z term opar, um ieszczonych we w nętrzu obszaru.
W pracy [10] poszukiw any je s t strum ień ciepła na brzegu trójw ym iarow ego obszaru na podstaw ie pom iarów tem peratury na tym brzegu. Praca w ykazuje w sam ym sform ułow aniu tem atu pew ne podobieństw o do szerzej, ujm ującej podobny problem (lecz w obszarze je d n o w ym iarow ym ), pracy [20]. Przykład szczegółow y (sym ulacja) dotyczy identyfikacji strum ie
nia ciepła rozłożonego w jednolity sposób na powierzchni.
M etodę elem entów brzegow ych do w yznaczenia w arunków term icznych na brzegu obsza
ru zastosow ano w pracach [57],[59] i [60], W [57] zagadnienie zdyskretyzow ano po czasie, a następnie w yznaczono w pierw szym etapie w spółczynniki w rażliw ości, które w ykorzystano w drugim etapie rozw ażań w procedurze nazwanej m etodą specyfikacji funkcji (będącej odm ia
n ą m etody G aussa-N ew tona). W obu etapach w ykorzystano M EB, w której usunięto całkę po obszarze dzięki zastosow aniu w ielokrotnej zasady wzajem ności, [74], Przedstaw ione przykła
dy d o ty c zą obszaru prostokątnego. Ilustrują one stabilność m etody i dokładność w yników oraz ich sła b ą w rażliw ość na błędy pom iarów w ew nętrznych odpow iedzi. W pracy [59], aby otrzym ać stabilne w yniki, zastosow ano kom binow aną m etodę specyfikacji funkcji i regulary- zacji. W pracy [60] natom iast do tego celu posłużono się kom binow aną m etodą "kroków w przyszłość" i regularyzacji.
26 K. G rysa, M. Ciałkowski
M EB w ykorzystano także w pracy [81] do w yznaczenia tem peratur i strum ienia ciepła w pobliżu kątow ego załam ania brzegu na podstaw ie w ew nętrznych odpow iedzi tem peraturo
w ych w ciele dw uw ym iarow ym . W ykorzystano schem at różnicow y ze w zględu na czas z
"krokiem w przyszłość" i regularyzacją, podobnie ja k w [60], Okazało się, że dokładność rozw iązania w dużym stopniu zależy od kąta: im mniejszy kąt, tym w iększe problem y z do
kładnością. Procedura zlokalizow anej regularyzacji pozw oliła obejść ten problem .
P odobnie ja k w pracy [45] dla zagadnienia jednow ym iarow ego w pracy [73] zastosowano do zagadnienia trójw ym iarow ego metodę różnic skończonych, zaś do uzyskania stabilnych rozw iązań w ykorzystano w ygładzanie (m ollification method). A naliza stabilności przedsta
w iona je st razem z przykładem num erycznym .
N atom iast w pracy [8 8] przedstaw iono technikę rekonstrukcji tom ograficznej rozkładu defektów w trójw ym iarow ym obszarze na podstaw ie niekom pletnych i zakłóconych danych.
Stow arzyszony problem prosty rozwiązano num erycznie, a następnie, aby rozwiązać zagad
nienie odw rotne, w ykorzystano algorytm ograniczonej optym izacji z w ykorzystaniem techni
ki regularyzacyjnej, dotyczącej m aksim um entropii. Przykłady num eryczne obrazują dobrą zgodność m odelow ej rzeczyw istości z w ynikam i otrzym anym i proponow aną metodą.
Z agadnienia w ielow ym iarow e nieliniow e
W pracy [75] rozw ażane s ą dw a zagadnienia: stacjonarne i niestacjonarne. Do otrzym ania rozw iązań w obu przypadkach w ykorzystano m etodę elem entów brzegow ych. W obu zagad
nieniach w spółczynnik przew odnictw a cieplnego je st funkcją tem peratury. Pow oduje to ko
nieczność posłużenia się transform acją Kirchhoffa. W ielkościam i poszukiw anym i są trans
form aty K irchhoffa funkcji opisujących w arunki w ym iany ciepła na brzegu obszaru. Form u
łow ane są reprezentacje całkow e rozwiązań. D yskretyzacja obszaru prowadzi do sform ułow a
nia problem u z w ykorzystaniem M EB. Przedstaw iono przykład zastosow ania m etody w przy
padku zagadnienia stacjonarnego.
Podobne podejście, oparte na M EB, zaprezentowano w pracy [79]. Także i tu rozważane są zagadnienia stacjonarne i niestacjonarne, dla których form ułowane są reprezentacje całko
we rozw iązań, a w ielkościam i poszukiw anym i są transform aty K irchhoffa funkcji opisujących w arunki w ym iany ciepła na brzegu obszaru. O bszernie om ów iono problem regularyzacji za
gadnienia po zm iennych przestrzennych i po czasie. Liczne przykłady dw uw ym iarow ych za
gadnień odw rotnych ilustrują przedstaw ione podejścia.
Zagadnienie regularyzacji, odgryw ające bardzo w ażną rolę przy rozw iązyw aniu zagadnień odw rotnych (źle postaw ionych), było przedm iotem rozw ażań w pracy [98]. R ów nanie prze
w odnictw a cieplnego sform ułow ano dla obszaru dw uw ym iarow ego o dow olnych kształtach, podobnie ja k w pracy [58], jednak tutaj param etry fizyczne m o g ą być funkcjam i zm iennych przestrzennych. R ozw ażano tam oszacow anie optym alnego param etru regularyzacji przy w y
korzystaniu m etody G CV (generalized cross-validation), dla zastosow ania której jedynym i w ym aganym i inform acjam i są dane pom iarow e oraz model m atem atyczny. Param etr ten po
jaw ia się w w yrażeniu opisującym błąd średniokw adratow y. M etoda ta w raz z dynam icznym program ow aniem stoi u podstaw w yznaczenia rozw iązania zagadnienia odw rotnego (strum ie
nia ciepła na brzegu na podstaw ie w ew nętrznych odpow iedzi tem peraturow ych). P rzedsta
wiono i przedyskutow ano dw a przykłady num eryczne, na podstaw ie których om ów iono zalety i ograniczenia m etody.
Problem identyfikacji tem peratury i strum ienia ciepła na brzegu dw uw ym iarow ego obsza
ru był rozw ażany w pracy [63]. A utor uogólnił algorytm regularyzacyjny, dotyczący je d n o w ym iarow ych zagadnień na przypadek dw uw ym iarow y. Stwierdził on jednakże, że nielinio
we zagadnienia dw u- i trójw ym iarow e niezw łocznie potrzebują skutecznych i stabilnych m e
tod rozw iązyw ania. A utor zbadał m iędzy innym i w pływ błędu danych początkow ych na roz
wiązanie zagadnienia odw rotnego.
Z A G A D N IE N IA ID E N T Y FIK A C JI W SPÓ ŁC ZY N N IK Ó W
Z agadnienia jed n ow ym iarow e nieliniow e
M etody stosow ane do w yznaczania tem peratury brzegu były z pow odzeniem w ykorzy
styw ane także do w yznaczania nieznanych w łasności term icznych ciał.
W pracy [4], w której nieznanym i w ielkościam i (zależnym i od tem peratury) są ciepło w ła
ściwe, w spółczynnik przew odnictw a cieplnego, gęstość, tem peratura początkow a oraz cha
rakterystyki dotyczące w ym iany m asy i strum ienia ciepła przez zm ieniającą się powierzchnię, w ykorzystano tę sa m ą m etodę co w pracy [7], tzn. iteracyjną m etodę regularyzacji z w ykorzy
28 K. G rysa, M. Ciałkowski
staniem m etody gradientów . Praca ta zaw iera nowy element, jakim je s t uw zględnienie zależ
ności położenia pow ierzchni od czasu. Przedstaw iono przykład num eryczny.
W pracy [11] rozw aża się jednow ym iarow e zagadnienie identyfikacji zm ieniających w się w sposób odcinkow o-liniow y (w zależności od zmiennej przestrzennej) w spółczynników w opisie procesu transportu plazm y. Zbudow ana je st sum a odchyleń średniokw adratow ych po
szukiw anych i zm ierzonych wartości tem peratur (z w agam i). Sumę tę traktuje się jako funk
cjonał zależny od w ektorów , opisujących wartości poszukiw anych w spółczynników . M ini
m um tego funkcjonału w yznacza poszukiw ane w spółczynniki.
Problem w yznaczenia pojem ności cieplnej zależnej od tem peratury w ciele jednorodnym rozw ażany je st w pracy [47]. N ie zakłada się postaci pojem ności cieplnej jako funkcji; dopie
ro na podstaw ie w yników oszacow uje się jej postać. Poszukiw aną pojem ność cieplną oszaco
wuje się w ykorzystując m etodę gradientów sprzężonych oraz m inim alizację rów nania stow a
rzyszonego. B adana je st dokładność m etody za pom ocą sym ulow anych dokładnych i obar
czonych przypadkow ym błędem danych, jakim i są pom iary tem peratury na brzegu. M etoda cechuje się krótkim czasem obliczeń i dobrym i przybliżeniam i pojem ności cieplnej nawet przy niedokładnych w ynikach.
Z kolei problem w yznaczenia liniow o zależnego od tem peratury w spółczynnika przew od
nictw a cieplnego (a ściśle m ów iąc - tw orzących go param etrów ) w ciele ortotropow ym roz
w ażany był w [91]. Procedura iteracyjna bazow ała tutaj na m inim alizow aniu błędu średnio- kw adratow ego. W celu rozw iązania zagadnienia posłużono się iteracyjną procedurą Leven- berga-M arquardta.
W pracy [93] rozw ażano zagadnienie odw rotne dla jednow ym iarow ego rów nania prze
w odnictw a cieplnego z członem nieliniow ym i nieznanym , zależnym od położenia w spół
czynnikiem . D ane je s t rozw iązanie dla pewnej chwili, nazwanej końcową. Udowodniono, że rozw iązanie istnieje i je st jednoznaczne. Przedstaw iono także num eryczną m etodę w yznacze
nia rozw iązania tego zagadnienia.
Problem w yznaczenia zależnego od tem peratury w spółczynnika przew odnictw a cieplnego w nieliniow ym stacjonarnym rów naniu przewodnictw a, zaw ierającym param etr, rozważany b ył w pracy [29]. D odatkow e inform acje, niezbędne do określenia poszukiw anego w spół
czynnika, dostarczone są przez funkcję zależną od param etru, otrzym aną jako rozwiązanie zagadnienia początkow o-brzegow ego. D la tego problem u udow odniono tw ierdzenie o je d n o znaczności rozw iązania.
ZA G A D N IEN IA W IE L O W Y M IA R O W E N IELIN IO W E
W pracy [76] rozw ażano w ym ianę ciepła przez pow ierzchnię dw uw ym iarow ego obszaru, opisanego w e w spółrzędnych biegunow ych. Identyfikow anym w spółczynnikiem był zależny od m iejsca i czasu w spółczynnik w ym iany ciepła na brzegu. M etoda rozw iązania bazuje na w ykorzystaniu inform acji o tem peraturze z przyszłości. Poszukiw any w spółczynnik jest aproksym ow any przez pew ne funkcje bazow e (liniow e lub "dachowe"). W ykorzystanie m eto
dy różnic skończonych oraz w spółczynników w rażliw ości pozw ala uzyskać dobre wyniki nawet dla nagłych i dużych zm ian w spółczynnika w ym iany ciepła lub liczby Biota.
Zagadnienie w yznaczenia charakterystyk tem peraturow ych w łóknistych kom pozytów rozważano w pracy [37]. Z agadnienie opisuje układ rów nań (odrębne rów nania dla każdego kom ponentu) zależnych od zm iennych r, z oraz czasu. Po uśrednieniu tem peratur po przekroju w łókna stosuje się transform acje L aplace’a i kosinusow ą Fouriera, sprow adzając zagadnienie do układu rów nań algebraicznych. Po ich rozw iązaniu odw raca się transform aty. N astępnie w celu w yznaczenia nieznanych w spółczynników przew odnictw a cieplnego buduje się sumę kw adratów różnic zm ierzonych i obliczonych średnich tem peratur brzegu. Do tak otrzym ane
go funkcjonału stosuje się m etodę N ew tona i m etodę N ew tona-G aussa w celu otrzym ania optym alnych w artości poszukiw anych w spółczynników .
D o w yznaczenia zależnego od zm iennej kątowej w spółczynnika w ym iany ciepła w zagad
nieniu ustalonym dotyczącym rury o przekroju kołow ym w ykorzystano w pracy [70] dwie m etody. Pierw sza, analityczna, w ykorzystuje pew ne podstaw ienie, linearyzujace zagadnienie oraz pew ne szczególnego rodzaju rozdzielenie zm iennych. D ruga - to w ykorzystanie metody elem entów brzegow ych przy zastosow aniu transform acji K irchhoffa, gdy współczynnik przew odnictw a cieplnego zależy od tem peratury. W obu m etodach w prow adzone są człony regularyzujące w celu zm inim alizow ania w pływ u błędu pom iarow ego na w yniki. Obie tech
niki zastosow ano do obróbki danych eksperym entalnych. O trzym ane rezultaty są zgodne ze sobą i z w ynikam i otrzym anym i przez innych autorów. O bszernie om ów iono zalety i wady takiego podejścia w porów naniu z m etodą bazującą na podejściu energetycznym . P raca ta jest rozw inięciem w cześniejszych w yników , [67].
M etodę elem entów brzegow ych oraz transform ację L aplace'a w ykorzystano do w yznacze
nia nieznanych w łasności term icznych oraz w spółczynnika w ym iany ciepła w pracy [1 0 1].
Zagadnienie odw rotne zredukow ano do zagadnienia optym alizacji, w którym szacuje się
30 K. G rysa, M. Ciałkowski
układ param etrów opisujących poszukiw ane wielkości. Przeprowadzono eksperym ent num e
ryczny, aby zbadać w pływ błędu pom iarów w ew nętrznych odpow iedzi na w yniki obliczeń.
K ilka przykładów ilustruje opisaną metodę, która jednak w ykazuje d u żą w rażliw ość na błędy pom iarów.
W pracy [56] przedstaw iona je st iteracyjna m etoda w yznaczenia w spółczynnika wymiany ciepła dla obszaru dw uw ym iarow ego, charakteryzującego się tym , że je st wąski i długi.
W spółczynnik ten zależy od zm iennych przestrzennych. Problem zdyskretyzow ano względem zm iennych przestrzennych stosując m etodę elem entów skończonych. N astępnie w uzyskanym w ten sposób układzie rów nań różniczkow ych pierw szego rzędu w zględem czasu zastąpiono pochodną tem peratury po czasie różnicą wsteczną. Iteracyjność m etody związana je st z w prow adzaniem korekty do wartości szukanego w spółczynnika w celu otrzym ania zgodności tem peratur zm ierzonych i w yliczonych. Podejście to zilustrow ane je st trzem a przykładami.
O gólna procedura sekw encyjna do określenia N lokalnych w spółczynników w ym iany cie
pła na brzegu na podstaw ie zm iennych w czasie w ew nętrznych odpow iedzi tem peraturow ych, zm ierzonych w N punktach, przedstaw iona je st w pracy [99]. W łasności term iczne ciała m ogą zależeć od tem peratury, zaś w spółczynnik w ym iany ciepła - od położenia i czasu. Autor przyjm uje skokow ą zm ienność w spółczynnika w ym iany ciepła w zależności od param etru i, m ierzonego w zdłuż brzegu i czasu. W yznaczenie tego w spółczynnika odbyw a się m etodą iteracyjną (przedstaw ioną przez autora we wcześniejszej pracy, [97]), przy w ykorzystaniu całego szeregu innych technik. Aby uzyskać stabilne rozwiązanie, pom im o wykorzystania danych obarczonych przypadkow ym błędem , w ykorzystuje się w ygładzanie danych metodą najm niejszych kw adratów przy w ykorzystaniu splajnow trzeciego stopnia, m etodę kroków z przyszłości lub analizę w w iększych przedziałach. Trzy przykłady, w których wykorzystano dane eksperym entalne, ilustrują efektyw ność przedstawionej m etody.
ZA G A D N IE N IA U STA LO N E
Z agadnienie odw rotne sprow adza się tutaj do rozw ażania rów nania eliptycznego. W pracy [49] rozw ażano rozw iązania num eryczne dw óch zagadnień odw rotnych: w yznaczenia tem pe
ratury brzegu przy danych tem peraturow ych z w nętrza obszaru dla zagadnienia liniowego oraz dla zagadnienia, w którym w spółczynnik przew odnictw a cieplnego zależy od tem peratu
ry. Przedstaw ione s ą trzy m odele m atem atyczne: klasyczna m etoda elem entów brzegowych, m etoda najm niejszych kw adratów oraz m etoda m inim um energii (w których ostatecznie także zagadnienie sprow adzone je s t do całek po brzegu i rozw iązyw ane m etodą elem entów brzego
wych). W m etodzie elem entów brzegow ych w ykorzystyw ano rożne aproksym acje zm ian tem peratury pom iędzy w ęzłam i: oprócz podejścia klasycznego rozw ażano zm iany liniowe i kwadratowe. Podano także sform ułow anie m etody elem entów brzegow ych dla zagadnienia nieliniowego. D la tego przypadku zależny od tem peratury w spółczynnik przew odnictw a cieplnego przybliżany je s t fu nkcją kw adratow ą na pododcinkach przedziału zm ienności tem peratury. Jak w ykazano w pracy, tylko m etoda m inim um energii daje rozw iązania stabilne, jakkolw iek rezultaty otrzym ane przez zastosow anie M EB oraz m etody najm niejszych kw a
dratów też s ą popraw ne. Jednak w tych ostatnich przypadkach zw iększanie liczby punktów w ęzłow ych pow oduje zm niejszanie się dokładności w yników . R ozw ażania dotyczące tak za
gadnień liniow ych, ja k i nieliniow ych są zilustrow ane przykładam i dotyczącym i obszarów dw uw ym iarow ych.
W sposób podobny do opisanego w yżej (stosując M EB oraz m etodę m inim um energii) rozw ażano nieliniow e zagadnienie odw rotne w pracy [50]. N atom iast w pracy [43], w której rozw ażano lam inam y przepływ cieczy przez kanał ograniczony rów noległym i ścianam i, za
stosowano do w yznaczenia tem peratury brzegu m etodę gradientów sprzężonych. Zagadnienie je st nieliniow e, dw uw ym iarow e, gdyż prędkość cieczy je st funkcją odległości od ścianek ka
nału oraz od je g o początku. O pisano krok po kroku procedurę obliczeń num erycznych i przedstaw iono zastosow anie m etody na trzech przykładach.
M etodę elem entów brzegow ych, stow arzyszoną z procedurą regularyzujacą, zastosow ano także w pracach [78] i [80] do w yznaczenia w spółczynnika w ym iany ciepła z otoczeniem.
Jako przykład pokazano w pracy [78] w yznaczenie tego w spółczynnika dla obszaru cylin
drycznego. W pracy [80] podejście to zastosow ano do dość złożonego obszaru, w którym oprócz w spółczynnika w ym iany ciepła identyfikow ano także strum ień ciepła i tem peraturę na części brzegu. O m ów iono tu w pływ w spółczynnika regularyzacji, w pływ podziału na ele
menty oraz w pływ błędu pom iarów w ew nętrznych odpow iedzi na wyniki.
S tosow aną w pracy [37] m etodę G aussa-N ew tona w ykorzystano w pracy [100] do w yzna
czenia zależnego od tem peratury w spółczynnika w ym iany ciepła przy w arunkach brzegowych zależnych od zm iennych przestrzennych w ustalonym zagadnieniu w ym iany ciepła. D w a w y
czerpująco opisane przykłady ilustrują skuteczność m etody. W arte podkreślenia je st to, że
32 K. G rysa, M. Ciałkowski
m etoda m oże być z pow odzeniem stosow ana do ciał o złożonych kształtach, a także do przy
padków zagadnień nieustalonych, ja k to m iało m iejsce w pracy [37].
ZA G A D N IE N IA ID EN TY FIK A C JI PO ŁO ŻEN IA LUB/I INTEN SY W N O ŚCI ŹRÓDEŁ C IEPŁA
W spom niana w cześniej, przy om aw ianiu pracy [98], m etoda GCV, doczekała się - w po
łączeniu z m etodą regularyzacji - zastosow ania w zagadnieniu identyfikacji intensywności źródła ciepła, rozłożonego na w ewnętrznej powierzchni w warstw ie płaskiej, [41]. Zagadnie
nie sform ułow ano w języ k u równań m acierzow ych; w ykorzystano analizę współczynników w rażliw ości, zaprezentow aną między innym i w [14]. Poszukiw ana intensyw ność źródła jest zdyskretyzow ana ze w zględu na czas i w ystępuje w postaci wektora. Opisany został iteracyj- ny sposób w yznaczania w spółczynnika regularyzacji. Podane przykłady obszernie ilustrują cechy zastosow anych m etod. Pracę cechuje przejrzystość i staranność.
D w uw ym iarow e ustalone zagadnienie przew odnictw a cieplnego z nieznanym i płaskimi źródłam i ciepła było przedm iotem rozw ażań w pracy [77]. K orzystając z m etody elem entów brzegow ych proponuje się sposób określenia położenia źródeł, ich rozm iaru oraz intensyw no
ści, przy czym ja k o dane w ykorzystuje się tem peraturę i strum ień ciepła na brzegu rozw aża
nego obszaru. Fakt, że zagadnienie je s t źle postawione, utrudnia otrzym anie popraw nych rozw iązań. Stosuje się m etody takie, ja k np. ekstrapolacja Richardsona, do popraw ienia do
kładności rozw iązania.
B adanie źródeł ciepła o nieznanej intensyw ności i położeniu było przedm iotem rozważań pracy [46]. W ykorzystując m etodę gradientów sprzężonych w dw uw ym iarow ym zagadnieniu odw rotnym zbadano przestrzenne i czasowe zm iany strum ieni ciepła w otoczeniach, w któ
rych generow ane było ciepło. Autorzy twierdzą, że m etoda ta m oże posłużyć do w ykryw ania dużych zm ian strum ieni ciepła, np. w ściankach silników spalinow ych czy w prętach, stano
w iących paliw o nuklearne, co ju ż m a charakter diagnostyczny. Ponadto, znając te strumienie ciepła, m ożna sterow ać bardziej efektyw nie procesem chłodzenia.
PR O M IEN IO W A N IE
W ym iana ciepła p oprzez prom ieniow anie
W pracach tych celem je st w yznaczenie tem peratury pow ierzchni ciała nagrzewającego poprzez prom ieniow anie drugiego ciała przy zadanych tem peraturze i strum ieniu ciepła na pow ierzchni tego drugiego ciała i charakterystykach term icznych procesu. W pracach [83], [84] i [85] autorzy form ułują całkow ą postać tego zagadnienia. W pracy [83] w ykorzystano do określenia rozw iązania m etodę regularyzacji Tichonow a, [94], W pracy [84] posłużono się oprócz regularyzacji T ichonow a także tzw. funkcjam i opto-geom etrycznym i. W [85] zapro
ponowano algorytm , którego celem je st określenie takiego rozwiązania, otrzym anego rów na
nia całkow ego, aby przy zm inim alizow aniu strat ciepła otrzym ać na pow ierzchni nagrzewanej tem peraturę i strum ień ciepła m ożliw ie bliskie żądanym . Podane są przykłady zastosowania tego algorytm u do zagadnienia nagrzew ania jednej pow ierzchni przez drugą, oddaloną od niej o pew ną odległość H, przy czym zadana je st tem peratura, która m a zostać osiągnięta na po
wierzchni ciała nagrzew anego.
Liniow e rów nanie przew odnictw a cieplnego z w arunkiem w yprom ieniow ania na brzegu rozw ażane było w pracy [69]. W yznaczaną w ielkością je st właśnie człon, opisujący prom ie
niow anie na brzegu. Z agadnienie sprow adzono do równań całkow ych, dla których om awia się jednoznaczność i stabilność rozw iązania. Poniew aż rozwiązanie tych rów nań całkow ych jest
bardzo trudne, zagadnienie rozw iązano w sposób przybliżony.
Problem oszacow ania tem peratury i strum ienia ciepła brzegu półprzeźroczystej warstwy na podstaw ie pom iarów w ew nętrznych odpow iedzi tem peraturow ych był przedm iotem roz
w ażań pracy [89], W chodziło tu w grę tak przewodnictw o, ja k i prom ieniow anie. Zastosow a
no technikę różnic skończonych ze w zględu na czas i zaproponow ano algorytm iteracyjny do rozw iązania tego zagadnienia.
Z agadnienia odw rotne p rom ieniow ania ciał doskonale czarnych
Z agadnienie odw rotne dla ciała doskonale czarnego zostało sform ułow ane po raz pierwszy w pracy [12]. C hodziło w nim o określenie tem peratury pow ierzchni prom ieniującego ciepło doskonale czarnego ciała na podstaw ie pom iarów m ocy spektralnej tego prom ieniowania.
34 K. G rysa, M. Ciałkowski
P oniew aż stosow ane m etody rozw iązań tego zagadnienia korespondują z m etodam i stosow a
nym i przy zagadnieniach odw rotnych, o których m ow a w innych częściach tego przeglądu, w ięc krótko przedstaw iam y i te zagadnienia.
Początkow e prace z tego zakresu skupiały się na stosowaniu transform acji Laplace'a i pro
cesu iteracyjnego oraz poszukiw aniu rozw iązania w zamkniętej postaci (np. [13], [53]), [39].
[82]), podobnie ja k to m iało m iejsce w latach sześćdziesiątych i siedem dziesiątych XX wieku przy rozw iązyw aniu innych zagadnień odw rotnych. W szystkie jednak tak otrzym ane rozw ią
zania nie w ytrzym yw ały konfrontacji z rzeczyw istym i danym i (znany problem niestabilności rozw iązań zagadnień źle postaw ionych).
O statecznie problem ten został sform ułowany w postaci całkow ego rów nania Fredholm a pierw szego rodzaju, charakterystycznej dla źle postaw ionych zagadnień. Od takiej postaci zagadnienia ju ż tylko krok do m etod regularyzacji. W pracy [27] do znalezienia stabilnego rozw iązania tego zagadnienia zastosow ano z dobrym skutkiem m etodę regularyzacji Ticho- now a w jej klasycznej postaci, [94].
ZA K O Ń C Z E N IE
Jak w spom niano we w stępie, szybki rozwój m etod rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych przew odnictw a cieplnego pozostaje w ścisłym związku z rozw ojem elektronicznych technik obliczeniow ych. D uża liczba prac, w których ostatecznie w yniki otrzym uje się przy w ykorzy
staniu m etody elem entów brzegow ych, elem entów skończonych czy różnic skończonych, potw ierdza to.
O prócz prac idących w kierunku rozw oju technik obliczeniow ych odnotow ać należy także prace rozw ijające teorię. N ale żą do nich takie prace, ja k [22] czy [28], gdzie rozw aża się je d noznaczność i stabilność funkcji opisujących trójw ym iarow e źródła ciepła, [38], w której rozw aża się cią g łą zależność rozw iązań zagadnień odw rotnych od danych, [36], gdzie między innym i porów nano m etodę regularyzacji Tichonow a z m etodą TSVD (truncated singular va
lue decom position), czy zbliżoną do niej pracę [34], traktującą o m etodzie SVD.
Prow adzone są też prace w kierunku rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych dla pól sprzę
żonych. M ożna tu w spom nieć o pracy [20], a także o [33], [35] (w tej ostatniej podana jest także obszerna literatura, dotycząca zagadnień odw rotnych) czy [31].
Interesujące s ą zastosow ania m etod rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych pól tem peratur do takich zagadnień, ja k problem w yprom ieniow ania ciepła przez m eteory, przelatujące przez w yższe partie atm osfery [62], czy próba rozw iązania zagadki m eteora tunguskiego [61]. Tak
że w m edycznej radiom etrii m ikrofalow ej czy w leczeniu niskim i tem peraturam i próbuje się w ykorzystać m etody, stosow ane przy rozw iązyw aniu zagadnień odw rotnych przew odnictw a cieplnego, [64], [72],
M etody rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych pól tem peratur w ykraczają coraz bardziej poza ram y m etod analitycznych i poza ramy w ytyczone przez klasyczną teorię w ym iany cie
pła. P rzyszłość, która zw iązana je st z rozw ojem technik num erycznych, pozw oli zapewne w jeszcze pełniejszy sposób potraktow ać sprzężenia pól tem peratury z innym i polam i, a to pro
wadzić będzie zapew ne do now ych m etod m onitorow ania nie tylko pól tem peratur.
LITER A TU R A
1. A lifanov O .M .; O bratnye zadaci tepłoobm ena v issledovanii teplovych processov i proek- tirovanii techniceskich sistem. Inz.-Fiz. Z hum al, tom 33, nr 6, 1977.
2. A lifanov O .M .; Identifikacija processov tepłoobm ena letatel'nych apparatov (vvedenie w teoriju obratnych zadać tepłoobm ena). M ashinostroenije, M oskva 1979.
3. A lifanov O .M ., A rtyukhin E.A., Rum yantsev S.V.; Extrem al M ethods o f Solution o f Ill- Posed P roblem s (in Russian), N auka, M oskva 1988.
4. A rtyukhin E.A., N enarokom ov A.V.; Identifikaciya charakteristik teplovogo vzaim odey- stviya m aterialov s gazow ym i potokam i. Teplofiz. Vys. Tem p. (U SSR ), tom 28, nr 2.
s.323-30, 1990.
5. A lifanov O .M ., A rtyukhin E.A., N enarokom ov A.V.; D eterm ination o f Charakteristics in Therm al Interactions o f M aterials w ith H igh-Enthalpy Gas Flow s through M ethods o f Inverse Problem s. In: A d vanced Com putational M ethods in Heat Transfer. Ed. by L.C.
W róbel; C.A . B rebbia; A.J. N ow ak. Proc.o f the First Int. Conf., Southam pton, UK, 17-20 July 1990. Publ.: Com put. M ech. Publications, Southam pton, UK, tom 1, s. 323-330.
6. A ryutkin Y u.I., K uryakin V.F., Sem enov Yu.K.; Rascetno- eksperim ental'nyj metod rese- niya tem peratum ych zadać pri perem en- nych po koordinate i po vrem eni granicnych uslovijach. Inz.-Fiz. Z hum al, tom 61, nr 3, s.479-84, 1991.
36 K. G rysa, M. Ciałkowski
7. A lifanov O .M ., A rtyukhin E.A., N enarokom ov A .V.; Boundary Inverse Heat Conduction Problem in P aram etric Form. In:A dvanced C om putational M ethods in H eat Transfer II.
Ed. by L.C. W róbel; C.A. Brebbia; A.J. N owak. Proc.o f the Second Int. C onf.on A dvan
ced Com p. M ethods in H eat Transfer HT/92. Publ.: Comput. M ech. Publications, So
utham pton, UK, tom 1, s. 479-489.
8. A lifanov O .M ., N enarokom ov A.V.; T rechm em aya obratnaya zadaca teploprojvodnosti v ekstrem al'noy postanovke. Doklady Akadem ii N auk (Russia), tom 325, nr 4-6, s.950-4,
1992.
9. A lifanov O .M ., A rtyukhin E.A., N enarokom ov A.V., Repin I.V.; D eterm inantion o f C ha
racteristics o f the Therm al Interaction o f M aterials w ith Tw o-Phase Flow s by the Inverse Problem M ethod. H igh-Tem perature (USA), tom 31, nr 3, s.543-8, 1993.
10. A ksenov V .P., Isaev Yu.V., Zakharova E.V.; Heat flux m easurem ent by the tem perature field o f a heated surface. I. U niform flux. Inzh.Fiz.Zhum al, tom 67, nr 3-4, s.275-80, 1994.
11. A ndreev V .F., Popov M .A.; Inverse coefficients o f the problem for transport equations o f plasm a physics. C om p.ans Math. Physics, tom 6, nr 1, s. 16-24, 1995.
12. B ojarski N .N .; Inverse black body radiation. IEEE Trans. A ntennas Propagat., tom AP- 30, s.778-780, 1982.
13. B ojarski N .N .; C losed form approxim ation to the inverse black body radiation problem.
IEEE Trans. A ntennas Propagat., tom A P- 32, s.415-418, 1984.
14. Beck J.V., B lackwell B., St.C lair Jr Ch.R.; Inverse H eat Conduction. Ill-posed Problems.
A W iley-Interscience Publ. N ew Y ork,1985.
15. B aum eister J.; Stable Solution o f Inverse Problems. Friedr.V iew eg & Sohn, Braunschw e
ig/W iesbaden, 1987.
16. B alakovskii S.L.; Resenie obratnych zadac teploobm ena dw uchm odel'nym metodom.
Inz.-Fiz. Z hum al, tom 57, nr 3, s.500-5, 1989.
17. B elonogov E.K. Postanovki i m etody resenija obratnych zadac radiacyonnogo teploobm e
na. Inz.-F iz.Z hum al, tom 56, nr 3, s.491-8, M arch 1989.
18. B alakovskii S.L., D ilgenskii N .V .; Tw o-m odel Iteration M ethod for the Solution o f an Inverse B oundary H eat Exchange Problem. J.o f Eng.Physics (USA), tom 56, nr 2, s. 226- 31, 1989. T łum aczenie z: Inz.-Fiz. Zhum al,tom 56, nr 2, s.313-19, 1989.
19. Bayo E., M oulin H., C ristalle O., G im enez G.; W ell-Conditioned N um erical A pproach for the Solution o f the Inverse Heat C onduction Problem. N um er.H eat Transfer, Part B, tom 21, s.79-98, 1992.
20. Ciałkow ski M .J., G rysa K.; O n a certain inverse problem o f tem perature and thermal stresses fields. A cta M echanica, tom 36, s. 169-185, 1980.
21. Chen H .T., C hang S.M .; A pplication o f the Hybrid M ethod to Inverse Heat Conduction Problem s. In t.J.o f H eat and M ass T ransfer (UK), tom 33, nr 4, s.621-8, 1990.
22. C annon J.R ; P erez-E steva S., U niqueness and Stability o f 3D Heat Sources. Inverse P ro
blem s (UK ), tom 7, nr 1, s.57-62, 1991.
23. Ciałkow ski M .J., G rysa K., Jankow ski J.; Inverse Problem s o f the L inear N onstationary H eat T ransfer Equation. Z A M M , tom 72, s. T 6 1 1- T614, 1992.
24. Carasso A .S., Slow ly D ivergent Space M arching Schem es in the Inverse H eat Conduction Problem . N um .H eat Transfer, Part B (UK ), tom 23, nr 1, s.l 11-26, 1993.
25. Ciałkow ski M .J., G rysa K., Jankowski J.; N um erical Stability Investigation o f the Inverse H eat C onduction Problem . ZA M M , tom 74, s. T558-T560, 1994.
26. C huanxing L., M ingsheng H., H ongw ei Z.; C ontinuous determ ination o f tem perature in graphitizing resistance furnaces using inverse heat conduction. Elektrow aerm e Int., Ed. B.
tom 54, nr 1, S.B40-2, 1996.
27. D ou L., H odgson J.W E.; A pplication o f the Regularization M ethod to the Inverse Black Body R adiation Problem . IEEE Trans. Antennas Propagat., tom 40„ nr 10, s. 1249-1253.
1992.
28. D enisov A .M ., S olov'eva S.I.; U nique solvability o f an inverse problem for the stationary heat conduction equation. Com p.M ath, and M odeling, tom 5, nr 2, s .162-4, 1994.
29. D enisov A .M ., Solov'eva S.I.; D eterm ination o f the coefficient in the stationary nonlinear equation o f heat conduction. Com put. Math, and M odeling, tom 6, nr 1, s. 1-4, 1995.
30. Flach G.P., O zisik M .N .; A n A daptive Inverse H eat C onduction M ethod w ith Autom atic Control. T ra n s.o f the A SM E J.o f Heat Transfer (USA ), tom 114, nr 1, s.5-13, 1992.
31. F igueiredo I., T rabucho L.; A class o f contact and friction dynam ic problem s in therm o
elasticity and in therm oviscoelasticity. Int.J.o f Engng Science, tom 33, nr 1, s.45-66, 1995.
32. G rysa K., C iałkow ski M .J.; Z agadnienia odw rotne pól tem peratur - przegląd tem peratury.
M ech.Teoret.Stos. tom 18, nr 4, s. 535-554, 1980.
38 K. G rysa, M. Ciałkowski
33. G rysa K., C iałkow ski M .J., K am inski H.; A n inverse tem perature field in the theory o f therm al stresses. N ucl. Engng. Design, tom 64, nr 2, s. 169-184, 1981.
34. G erlach W ., U nger F., von W olfersdorf L.; On approxim ate com putation o f the heat flux o f a body from the know n surface tem perature. ZA M M tom 67, nr 6, s.241-7, 1987.
35. G rysa K.; O ścisłych i przybliżonych m etodach rozw iązyw ania zagadnień odw rotnych pól tem peratur. P olitechnika Poznańska, Rozpraw y nr 204 Poznań, 1989 r.
36. G illiam D .S., L und J.R., V ogel C.R.; Q uantifying Inform ation C ontent for Ill-Posed Pro
blem s. Inverse Problem s (UK), tom 6, nr 5, s.725-36, 1990.
37. G oncharov I.V; M ikov V.L. Resenie obratnoj zadaci po opredeleniju trech charakteristik voloknistogo kom pozita. Inz.-Fiz. Zhum al,tom 58, nr 3, s.493-9, 1990.
38. G olik W.; C ontinuous D ependance o f Solution o f Some Inverse Problem s in Fleat Con
duction. A ppl. M ath. (Zast. M at.), tom 21, s. 491-501, 1993.
39. H unter J.D.; A n im proved closed-form approxim ation to the inverse black body radiation problem at m icrow ave frequencies, IEEE Trans. Antennas Propagat., tom A P-34, s.261- 262, 1986.
40. H aji-S heikh A.; M onte C arlo M ethods. H andbook o f N um erical Heat Transfer, Chapt.16.
W .J.M inkow ycz at al., eds., W iley, s. 673-722, 1988.
41. H uang C.H ., O zisik M .N.; Optim al regularization m ethod to determ ine the strength o f a plane surface heat source. Int.J.H eat and Fluid Flow (USA), tom 12, nr 2, s. 173-8, 1991.
42. H ensel E.; Inverse Theory & A pplications for Engineers. Prentice Hall Inc., 1991.
43. H uang C.H ., O zisik M .N.; Inverse Problem o f D eterm ining U nknow n W all H eat Flux in L am inar Flow Through -a Parallel Plate Duct. N um . Heat Transfer, Part A (UK), tom 21.
nr 1, s. 55-70, 1992.
44. H aji-Sheikh A., B uckingham . F. P.; M ultidim ensional Inverse Heat C onduction U sing the M onte Carlo M ethod. T rans.of the A SM E, J.o f Heat Transfer (USA), tom 115,nr 1, s. 26- 33, 1993.
45. H inestroza D., M urio D.A.; Recovery o f the Transient Heat Transfer C oefficient in the N onlinear B oundary V alue Problem for the Heat Equation. C om p.M ath.w ith Appl.(UK), tom 25, nr 5, s .101-11, 1993.
46. H uang C.H ., W u J.Y.; Tw o-dim ensional inverse problem in estim ating heat fluxes o f an enclosure w ith unknow n internal hest sources. J.o f A pplied Physics, tom 76, nr 1, s. 133- 41, 1994.
47. H uang C.H ., W u J.Y .; An inverse problem in predicting tem perature dependent heat capa
city per unit volum e w ithout internal m easurem ents. Int.J.N um .M ethods in Engng., tom 39, nr 4, s .6 0 5 -1 8 ,1996.
48. Im analiev M.I.; M etody reshenija nelinejnych obratnych zadac i ich prilozhenie. Him.
Frunze, 1977.
49. Ingham D .B .; Im properly Posed Problem s in H eat Transfer. In: B oundary Elem ent M et
hods in H eat T ransfer, Ed. by L.C. W robel and C.A. Brebbia, C om putational M echanics Publications, Southam pton B oston, s. 269-294, 1992.
50. Ingham D .B ., Y uan Y.; The Solution o f a N onlinear Inverse Problem in H eat Transfer.
IM A Journal o f A pplied M athem atics (UK), tom 50, nr 2, s. 113-32,1993.
51. Ingham D .B ., Y uan Y.; The B oundary Elem ent M ethod for Solving Im properly Posed Problem s. C om putational M echanics Publications, Southam pton B oston, 1994.
52. K ozdoba L.A., K rukovskij P.G .; M etody resenia obratnych zadac teploperenosa. Izd.
"N aukova D um ka", Kiev, 1982.
53. K im Y., Jaggard D.J.; Inverse black body radiation: An exact closed-form solution. IEEE Trans. A ntennas Propagat., tom A P-33, s.797-800, 1985.
54. K urpisz K ., Skorek J.; Inverse H eat Conduction Problem. T echn.R eport o f the Inst.of Therm al T echnology (in Polish). Technical U niversity o f Silesia, G liwice, P oland, Raport n r N B -300/R M E-3/87.
55. K olesnikov P.M .; O bratnye zadaci teploobm ena v polidispersnych sredach. Inz.-Fiz.
Z hum al, tom 56, nr 3, s.503-9, 1989.
56. K ang H .J., Tao W .Q .; A n Iterative Solution Schem e to Estim ate Local Heat Transfer C o
efficient D istribution A long the Surface o f an A xisym m etric Body. In: A dvanced C om putational M ethods in H eat Transfer. Ed. by L.C. W robel; C.A. Brebbia; A.J. Nowak.
P roc.of the F irst Int. Conf., Southam pton, UK, 17-20 July 1990. Publ.: Com put. Mech.
P ublications, Southam pton, UK, tom 1, s. 297-308.
57. K urpisz K ., N ow ak A.J.; A pplying BEM and the Sensitivity C oefficient C oncept to Inver
se H eat C onduction Problem s. In: A dvanced Com putational M ethods in Heat Transfer.
Ed. by L.C. W robel; C.A. Brebbia; A.J. Now ak. P roc.of the First Int. Conf., Southam pton.
UK, 17-20 July 1990. Publ.: Com put. M ech. Publications, Southam pton, U K , tom 1, s.
309-321.
40 K. G rysa, M. Cialkowski
58. K urpisz K.; N um erical Solution o f One Case o f Inverse Heat C onduction Problems.
Trans.A SM E, J.H eat Transfer, tom 113, nr 2, s. 180-6, 1991.
59. K urpisz K ., N ow ak A.J.; B oundary Elem ents and Com bined Techniques for the Analysis o f the Inverse H eat Conduction Problems. In:A dvanced C om putational M ethods in Heat T ransfer II. Ed. by L.C. W robel; C.A. Brebbia; A.J. Nowak. P roc.of the Second Int.
C onf.on A dvanced Com p. M ethods in Heat Transfer HT/92. Publ.: Com put. Mech. Publi
cations, Southam pton, UK, tom 1, s. 399-408.
60. K urpisz K ., N ow ak A.J.; BEM approach to inverse heat conduction problem s. Engn.Anal.
Boundary Elem ents (UK ), tom 10, nr 4, s.291-7, 1992.
61. K alenichenko V .V .; Effects o f single and progressive fragm entation o f a body in the inverse problem o f the physical theory o f fireballs. II Analysis o f the Prairie N etw ork fire
balls. K inem atika i F izika N ebesnykh Tel, tom 10, nr 4, s.25-35, 1994.
62. K alenichenko V .V .; Radiative heat transfer in fireballs. I. M ethod for solving the inverse problem for single-body fireballs. K inem atika i Fizika N ebesnykh Tel, tom 11, nr 1, s.23- 31, 1995.
63. K uzin A .Ja.; R egularized num erical solution o f the nonlinear, tw o-dim ensional, inverse heat-conduction problem . Z hum al Prikl. M ekhaniki i Tekhn. Fiziki, tom 36, nr 1, s .106-
112, 1995.
64. Liauh C.T., Roem er R .B.; M ultiple M inim a in Inverse H ypertherm ia Tem perature Esti
m ation Problem s. T ran .o f the A SM E, J .o f Biomech. Engng (USA), tom 115, nr 3, s.239- 46, 1993.
65. M acevityj Ju.M ., M ul'tanovskij A.V., Idetifikacija v zadacach teploprovodnosti. Izd.
"N A ukova D um ka", Kiev, 1982.
6 6. M ehta R.C., Jayachandran T.; D eform ing Grid M ethod A pplied to the Inverse Problem o f H eat C onduction. J.o f Therm ophysics and Heat Transfer (USA), tom 3, nr 2, s.226-8,
1989.
67. M aillet D., D egiovanni A.; M ethode A nalytique de Conduction Inverse Appliquee a la M esure du C oefficient de Transfert Local sur un C ylindre en Convection Forcee. Revue de Physique A ppliquee (France), tom 24, nr 7, s.741-59, 1989.
6 8. M arquardt W; A uracher H. A n O bserver-Based Solution o f Inverse H eat Conduction Pro- blem s.Int.J.of H eat and M ass Transfer (UK), tom 33, nr 7, s. 1545-62, 1990.
69. M ohsenj K .; D eterm ination o f an U nknow n Radiation Term in an Inverse Problem o f Heat Equation. Int.C om m .in H eat and M ass Transfer (UK), tom 17, nr 6, s.839-49, 1990.
70. M aillet D., D egiovanni A ., Pasquetti R.; Inverse Heat Conduction A pplied to the M easu
rem ent o f H eat T ransfer Coefficient on a Cylinder: C om parison B etw een an Analytical and a B oundary E lem ent Technique. T rans.of the A SM E, J .o f H eat T ransfer (USA), tom 113, nr 3, s.549-57, 1991.
71. M oulin H .C ., Bayo E.; W ell-C onditioned N um erical M ethod for the N onlinear Inverse H eat C onduction Problem . N um .H eat Transfer, Part B (UK), tom 22, nr 3,s.321-47, 1992.
72. M izushina S., O hba K., A be K., M izoshiri S., Sugiura T.; Recent trends in medical m icrow ave radiom etry. IEIC E Trans.on C om m unications, tom E78-B, nr 6, s.789-98.
1995.
73. M urio D .A ., Zheng H .C.; A stable algorithm for 3D -IHCP. Com puters M ath, w ith Appl..
tom 29, nr 5, s.97-110, 1995
74. N ow ak A.J.; The M ultiple R eciprocity M ethod o f solving heat conduction problem s. Proc.
11th B EM C onf., C am bridge, M assachusetts, USA (ed. C .A .B rebbia & J.J.C onnor) Sprin- ger-V erlag, tom 2, s.81-95, 1989.
75. Le N ilio t C., Papini F., Pasquetti R.; B oundary Elem ent M ethod for Inverse Heat Con
duction P roblem s. In: A dvanced Com putational M ethods in H eat Transfer. Ed. by L.C.
W robel; C.A. Brebbia; A.J. Now ak. P roc.of the First Int. Conf., Southam pton, UK, 17-20 July 1990. Publ.: Com put. M ech. Publications, Southam pton, UK, tom 1, s. 285-295.
76. O sm an A .M ., B eck J.V.; N onlinear Inverse Problem for the Estim ation o f Tim e- and Spa
ce-D ependent H eat Transfer Coefficients. J.o f Therm ophysics and H eat Transfer (USA), tom 3, nr 2, s .146-52, 1989.
77. O hm ichi M ., N oda N ,; Inverse analysis o f tw o-dim ensional steady state heat conduction problem w ith m any plane hest sources. T rans.of the Inf.Processing S oc.of Japan, tom 36.
nr 11, s.2266- 72, 1955.
78. Pasquetti R., L e N ilio t C.; C onduction inverse par elem ents de frontière. Cas stationa- ire.France. R ev.de Phys.A ppl. (France), tom 25, nr 1, s.99-107, 1990.
79. Pasquetti R., Le N iliot C.; B oundary Elem ent A pproach for Inverse H eat C onduction Pro
blem s: A pplication to a B idim ensional Transient N um erical Experim ent. Num. Heat T ransfer, Part B (UK ), tom 20, nr 2, s. 169-89, 1991.
42 K. G rysa, M. Cialkowski
80. Petit D ., D ebray V ., Le N iliot C., Pasquetti R.; Identification o f Local H eat Transfer Coef
ficient U sing a B oundary Elem ent Form ulation. In: A dvanced C om putational M ethods in H eat T ransfer II. Ed. by L.C. W robel; C.A. Brebbia; A.J. Nowak. P roc.of the Second Int.
C onf.on A dvanced Com p. M ethods in Heat Transfer HT/92. Publ.: Com put. Mech. Publi
cations, Southam pton, UK, tom 1, s. 467-477.
81. Pasquetti R., P etit D.; Inverse heat conduction problem s w ith boundary elem ents: analysis o f a com er effect. Eng. Analysis w ith Boundary Elem ents, tom 13, nr 4, s .3 2 1 -3 1 ,1994.
82. R agheb H.A., H am id M; An approxim ation o f Planck's form ula for the inverse black body radiation problem . IEEE Trans. A ntennas Propagat., tom AP-35, s.739-742, 1987.
83. R usin S.P., Leonov A .S.; On optim al m athem atical design o f hightem perature radia
tors.Pow er-E ngineering (U SSR A cad.of Sci.)(USA), tom 25, nr 4, s. 142-6, 1987.
84. R usin S.P.; Solution o f inverse problem s in the design o f heating system s by m eans o f opto-geom etric functions.Soviet J.o f A pplied Physics (USA), tom 3, nr 1, s .19-25, 1989.
85. Rusin S.P., Leonov A.S.; U se o f the regularization m ethod to solve inverse radiative trans
fer problem s. Pow er-Engineering (U SSR A cad.of Sci.)(USA), tom 29, nr 2, s. 131-6, 1991.
8 6. Repaci A .; A N onlinear Inverse H eat Transfer Problem .4th Int. W orkshop o f the Bellman C ontinuum , M anhattan,K S, USA, May 1990.1n: C om p.M ath.w ith Appl. (UK), tom 21, nr 11-12 s.139-43, 1991.
87. R audensky M ., W oodbury K.A., Krai J., Brezina T.; Genetic algorithm in solution o f inverse heat conduction problem . N um .H eat Transfer, Part B, tom 28, nr 3, s.293-306.
1995.
8 8. R am os F.M ., G iovannini A.; Solution o f a m ultidim ensional heat conduction inverse pro
blem using the finite analytic m etod and principle o f m axim um entropy. Int.J. Heat and M ass Transfer, tom 38, nr 1, s .101-11, 1995.
89. Ruperti Jr. N .J., R aynaud M., Sacadura J.F.; A m ethod for the solution o f the coupled inverse heat conduction-rdiation problem. Trans. ASM E, J.H eat Transfer, tom 118, nr 1.
s .10-17, 1996.
90. Surkov G.A., L anin Yu.I.; A n Engineering M ethod for D eterm ining the Heat Flux from Tem perature M easurem ents. H eat Transfer Soviet Research (USA ), tom 23, nr 5, s.579- 85, 1991.
