Nieliniowy rozkład naprężeń w belkach żelbetowych

(1)

Nieliniowy rozkład naprężeń w belkach żelbetowych 1. Wstęp

U stalenie zależności m iędzy n ap rężen iam i i odkształceniam i m ate ria łu , z któ reg o k o n s tru k c ja je s t w yk o n ana, m a podstaw ow e znaczenie d la teorii k o n stru k c ji.

M e m a l w szystkie u sank cjo no w an e przez p r a k ty k ę in żyn ierską zasad y i p ra w a m ech anik i bndow li o p iera ją się n a liniow ym zw iązkn obu w iel

kości, w y rażon ym przez praw o H o o k e’a, w zględnie n a b ard ziej złożo

n y m , choć rów nież w yidealizow anym m odelu ciała elastoplastycznego.

W rzeczyw istości je d n a k znaczn a ilość m ateriałów7 budow lany ch w ykazuje m niejsze lu b większe o d stę p stw a od liniow ej sprężystości, zwdaszcza w o b szarze śred n ich i dużych o d kształceń. O d stęp stw a te ilu s tru ją najlepiej w ykresy e, a w yznaczone d la osiowego sta n u naprężeń. W ielkość ich uzależniona je s t od s tru k tu ry bad aneg o m ateriału .

Z tego też powodu te n ty p nieliniow ej sprężystości o kreśla się m ia nem nieliniow ości fizy k alnej w o dróżnieniu od nieliniowości geo m etrycz

nej p o w stającej p rz y pew nych ty lk o u k ład a c h ciał liniowo sprężystych i sił n a ń d ziałający ch 1. Istn ie je rów nież m ożliwość w spólnego w y stą p ie  n ia o b u ty p ó w nieliniowości. M a się w te d y do czynienia z b ard zo ju ż skom plikow anym zagadnieniem nieliniow ości fizyko-geom etrycznej.

T ypow ym p rzy k ła d em m a te ria łu budow lanego w ykazującego w yraźne o d stę p stw a od p ra w a H o o k e’a je s t b eto n . Liczne b a d a n ia zm ierzające do u sta le n ia zależności m iędzy n ap rężen iam i i w yw ołanym i przez nie o d k ształcen iam i pozw oliły n a sform ułow anie pew ny ch fu n kcji, k tó re je d n a k zachow ują swą w ażność ty lk o dla elem entów p o d d a n y c h działaniu sił osiow ych.

U stalen ie ro zk ład u n ap rę ż e ń w p rze k ro ju belki zginanej m oże n a s tą pić jed y n ie n a drodze h ip o te ty c z n y c h założeń. P rz y jm u ją c bow iem n a w et, że liniow y ro zk ład o d k ształceń (hipoteza B ernoulliego) z uw agi n a potw ierdzenie go w ielom a dośw iadczeniam i je s t m ożliw y do przyjęcia,

Z b ig n ie w B u d zia n o w sM

9

1 J erzy N ow iń sk i, W acław O lszak, P o d sta w y teorii ciał sprężystych fizyk a ln ie n ie  liniow ych, referat w y g ło szo n y w P A N w 1953 r.

(2)

26 Zbigniew B wdzianow shi

naprężeń.

S tosow ane często bezpośrednie przeniesienia zależności e, a właściwej d la osiowego d ziałania sił do teo rii belk i zginanej nie m oże by ć w p rz y p a d k u b e to n u słuszne. W skazuje n a to stw ierdzony dośw iadczalnie fa k t, iż sk rajn e w łókna belki w strefie ściskanej d o znają w chwili złam ania znacznie w iększych o dkształceń jedn ostk ow ych niż w yk o n an y z tego sam ego b e to n u •słup p o d d a n y zg n ia tan iu 1:

O trzy m an e ze w zoru l b w artości są często w lite ra tu rz e technicznej p odd aw ane w w ątpliw ośę dla B s = 250 (rbB> 60/ 0). Mimo to zestaw ienie obu wzorów in teresu je nas w sensie ogólnym . D ru g ą niew iadom ą u tr u d

n iają cą tra f n y w y bó r krzyw ej ro zk ład u naprężeń w belkach zginanych je s t m iaro d ajn a w y trzy m ało ść b e to n u n a ciśnienie p rz y zginaniu. O dno

śnie do te j wielkości istn ieje szereg rozbieżnych poglądów . P o d aw an e w lite r a tu rz e w arto ści w a h a ją się n a ogół m iędzy w ytrzym ało ściam i słupow ym i

i w alcow ym i. P rzyjęcie w ytrzym ałości waleo-wej jak o m iaro d ajn ej jest k ry ty k o w an e , gdyż w b elkach zginanych o d p ad a k o rz y stn y dla w y trz y m ałości p rz y ściskaniu jwóbek w alcow ych w pływ ta rc ia w płaszczyźnie p ły t p rasy.

N iem niej je d n a k stężen ia poprzeczne belek w budow lach żelbetow ych, zm niejszając m ożliwości ich odkształceń poprzecznych p rz y zginaniu, d ziałają w sposób p o d o bny . Z kolei przeciw ko p rzy jęciu w ytrzym ałości słupowej przem aw ia znow u fa k t, że b e to n w strefie ściskanej p rzek ro ju belk i zginanej je s t nierów nom iernie obciążony. N a sk u te k tego podd an e ciśnieniom k ry ty c z n y m w arstw y sk rajn e dzięki sąsiedztw u w arstw sła

biej obciążonych p ra c u ją w lepszych w a ru n k a ch niż przekró j p o d d a n y d ziałan iu rów nom iernie rozrożonych ciśnień wr słupie osiowo ściskanym . T y m też m ożna tłu m aczy ć różnicę odkształceń jedno stkow ych (równ. l a , b).

U stalen ie m iaro d ajn ej w ytrzym ało ści b e to n u n a ściskanie p rz y zginaniu przez p o m iar odkształceń je s t niem ożliwe, gdyż, ja k wyżej podano, nie znam y dla tego p rz y p a d k u dokładnie zależności m iędzy w artościam i e, a.

Je d y n ie bezpośredni p o m iar n ap rężeń za pom ocą' odpowiednio skon

stru o w a n y c h d y nam o m etró w w zględnie staty czn ie w yznaczalnych p rze k ład n i m ógłby tę spraw ę rozw iązać. O ile w iadom o, p ró b y p o d jęte w ty m k ie ru n k u nie d a ły je d n a k d o tychczas po żąd an y ch rezu ltató w .

1 R udolf Saliger, N ow a teoria żelbetu n a podstaw ie odkształceń plastycznych p rz y złam an iu , W arszaw a 1952, str. 10.

ebs > 1 2 ,5 -1 0 -«-ifs (la )

ebB > 2 5 -10- 6 Iis (lb )

(3)

B ozklad naprężeń w belkach żelbetowych 27 N o rm y radzieckie p rz y jm u ją , że obliczeniow a w ytrzym ałość b e to n u R m n a ściskanie p rz y zginaniu leży m iędzy jego w ytrzy m ałością słupow ą i k ostko w ą, p rz y czym dla b etonów o niskiej w ytrzym ało ści ( Rm < 100 k g /cm 2) osiąga o n a w y trzy m ało ść k o stk ow ą. Zawsze je d n a k je s t Aciększa od w y trzym ałości słupow ej (2?m= l , 2 5 R s) 1. N o rm y polskie opierając się n a n o r

m ach radzieckich p o d a ją w artość obliczeniowej w ytrzym ałości n a ściska

nie i?m= l , l l R s 2.

J a k w idać z pow yższego, u sta le n ie k s z ta łtu b ry ły n ap rę ż e ń ja k też jej ek stre m a ln y c h w arto ści n a p o ty k a w b elkach żelbetow ych n a pow ażne tru d n o śc i. P o tę g u ją się one w y b itn ie, g d y w prow adzając do zagadnienia w pływ czasu n a d a je m y m u c h a ra k te r reologiczny.

Mimo ty c h tru d n o śc i te o ria m o m en tu łam iącego je s t w u jęc iu stato - p la sty c z n y m obecnie dość d okładnie opracow ana. S p rz y ja jąc ą tu n ie

w ątpliw ie okolicznością je s t p o tw ierdzo n y dośw iadczalnie i teo retyczn ie fa k t, że w ielkość m o m en tu łam iącego w m ałym stosunkow o sto pniu za

leży od wielkości p o pełnionych błędów w p rz y ję ty m rozkładzie naprężeń.

R ów nież ro zk ła d n ap rę ż e ń w strefie ściskanej belki zginanej, p rz y m ałych i średn ich ich w arto ściach , d a się dość d o kładnie odtw orzyć za pom ocą m e to d y n ap rę ż e ń liniow ych, k tó rą łatw o d a się przystosow ać do rzeczy

w istości przez odpow iednią k o rek tę liczby n. K łopotliw e je s t n a to m ia st w yznaczenie ro zk ład u i wielkości n ap rężeń w y stęp u jący ch w p rzek ro ju belki żelbetow ej w zakresie ich w ysokich w artości. W spom niany p o p rzednio b ra k sposobu bezpośredniego w yzn aczania n ap rę ż e ń n a drodze dośw iadczalnej, tz n . sposobu om ijającego p o m iar s ta n u odk ształcenia a rejestru jąceg o w p ro st nap rężen ia, zm usza nas do p o tra k to w a n ia sp raw y w sposób h ip o te ty c z n y . Polegać to będzie n a w ysunięciu pew nej ogólnej k o n cep cji spełniającej znane w aru n k i brzegow e dla m ałych o raz łam iących n aprężeń . Om ów ieniu tego zagadnienia pośw ięcony je st n in ie jsz y re fe ra t. P rzed staw io n e w n im rozum ow anie o p a rto n a p ro sty c h założeniach jednow ym iarow ego s ta n u n ap rężeń. Ma ono n a celu z b a d a n ie ro zk ład u n ap rę ż e ń w belce żelbetow ej p racu jącej w fazie I I , p rz y rów noczesnym uw zględnieniu nieliniow ej sprężystości b e to n u w ściska

n e j strefie p rzekroju .

P o n a d to po ruszone z o stały m arginesow o w referacie p ro b lem y p o d staw ow e dla s ta ty k i u stro jó w w y k o n an y ch z m ateriałów nieliniowo sp rę

ż y sty c h . G łów nym re p re z e n ta n te m ty c h u stro jó w są, ja k w iadom o, k o n stru k c je żelbetow e. Z uw agi n a pow szechne ich zastosow anie w b udow n ictw ie s ta je się obecnie d o k ład n e opracow anie p o d sta w now ej s ta ty k i n iem a l że konieczne. W p rzeciw nym bow iem razie p o p a d a m y w w yraźn ą

1 K. B. CaxHOBCKnń, Miejie3oóemoHHue KOHcmpyKifuu, MocKBa 1951, c. 45.

2 B . B ukow ski, K on stru kcje żelbetoice, W arszaw a 1953, str. 17.

(4)

28 Zbigniew Budziam owski

kolizję "wymiarując p rzek ro je m eto d ą odksztam eń plasty czn y ch n a m o

m e n ty obliczone d la założeń w łaściw ych m ateriało m liniowo sp rężystym . N ie je s t zresztą w ykluczone, że w pew nych w ypadkach t a kolizja może m ieć znaczenie ty lk o form alne, zwłaszcza w ted y , g dy znaczna część b a danej k o n s tru k c ji wTy k azu je niskie naprężenia. W wielu je d n a k w y p a d k a c h będzie on a m iała sens isto tn y .

Z au w ażam y to ju ż p rz y p o m iarach o d kształceń belek żelbetow ych, gdzie z reg u ły p rz y obciążeniach p ró b n y ch w y p a d a ją ugięcia znacznie m niejsze od w arto ści obliczonych. N ie w olno n a m zajm ow ać wobec teg o fa k tu stanow iska obojętnego.

J e s t m ożliw e też, że opracow anie zagadnienia Statyki ustro jó w w y k o n a n y c h z m ateriałó w nieliniowo sprężystych d a efek ty gospodarcze.

P ro b lem te n je s t jed n a k b ardzo szeroki i w ym agać będzie Ayielkiego w kładu p racy , zanim zostanie ta k w szechstronnie w yjaśniony i zb a d an y , ja k to m a m iejsce w odniesieniu do u stro jó w liniowo sprężystych.

2. Charakterystyka odkształceń i naprężeń przy zginaniu w fazie II R o z p a trz m y zagadnienie ro zk ład u ciśnień w p rzek ro ju pojedynczo zbrojonej belki żelbetow ej o p rzek ro ju p ro sto k ą tn y m M, i procencie uzbro jen ia ^ p rzy jm u ją c , że zasad a płaskości p rzekroju zachow uje sw ą m oc aż do chwili złam ania.

P rz y jm u je m y rów nież, że przekrój p rac u je w fazie I I . J a k o niew ia

dom e w prow adzam y k ą t q>, tj. k ą t o b ro tu dw u przekrojów odległych od siebie o jed n o stk ę oraz odległość osi obojętnej x = £■ ht (rys. 1).

ł cfj Z w aru nk ó w geom etrycznych odkształconego

przek ro ju o trzy m am y po w prow adzeniu w a r

tości

eb = <p-z=&-ę, ez = & { l - £ ) , deb = (p- d z = @ d ę ,

(2) (3)

R ys. 1 (4)

Z a k ład a jąc n a razie, że ro zk ład n ap rężeń w d an y m p rzek ro ju od k ształco n y m je s t znan y , obliczm y wielkości w ypadkow ych ciśnień i cią

gnień.

(5)

R ozkład naprężeń w belkach żelbetowych 29 Z = ez- Ez-/ubh1= ( h 1— x)<pEz - ^ ^ = ( 1 — £)■ 0 E Z-/¿bb^ dla ez<eq, (6)

Z — Qr - ¡Libiit dla £z> £q, (?)

o raz w a rto śc i pom ocnicze:

X eb 2

D - & — b ■ | a- z- j a - eb- deb— ~ ■ 8 ; (8)

Z - ( h 1- x ) = (h1- x ) * ( p - E z -.pbTi1= ( l - Ś ) 2(p-EziubJit dla ez < e Q , (9) Z ( ł i 1—x ) = Q r fibłi1(h1—x ) = Q r iubJil(l— ę) dla ez > e Q , (10)

■ D-& 8 \ 8 8 .

* . = 3 . i . = « * - 2 .

» = * ' . (12)

bhl

W pow yższych w zorach w prow adzono oznaczenia

A = I a-deb, 8 = f a- eb-deb. (13)

D la badan ego p rze k ro ju ró w n an ia rz u tu sił i rów now agi m om entów p rz e d s ta w ia ją się n a stę p u jąc o :

D = Z

stąd

a) sz< eq , hh- A A = ( 1 - Ś ) 0 E Z - fibhi,

(1~ i) = <Z>2 E z ~n' WZgL ^= 1~ 0 * E Z-ft = & ’ (U)

*>) £z>s q, A = Q r H b h x,

M = D - # + Z { h 1- . x ) , a) £z < e 0 ,

«“ i - (15)

P o d staw ia ją c w arto ść z ró w n an ia (14) do stan iem y

(6)

Z bigniew B u dzianow shi

s tą d

m 0 3= S - 0 Ą 4 - . Z ró w n ań (1), (2) i (14) w y n ik a, że

czyli

<16>

A 2 = { 0 - £b) 0 . A . /< ■ Az

P o d staw ia m y te n w yraz do ró w n ania m om entów

>I1 02__0_(_ł ? i = O, czyli

Vi a a i • ®

m = z ~ & A ’ gdzie 1h = s b ~ j _ - (17) W ychodząc z ró w n an ia (3) i u w zględniając rów nanie (16) obliczam y

0 = eb + ez = e„ + , s tą d

. 0 2 _ 0 fii|_ _ ^ _ ==o , Jhz • [l

* - i + ł Ą j f + ś a - (18)

M ając określony k ą t o b ro tu (p = j i położenie osi o b o jętn ej X = £ h l

«i

obliczam y n aprężenie p a n u ją c e w stali zbrojeniow ej

* ,= 0 ( 1 - 1 ) , s tą d

( r , = ^ . 0 ( l - f ) . (19)

b) sz > e Q,

S + Qr - fcbhl( 1 - i ) ,

m 0 2= S - \ - 0 2 'Qr- 1 — f ) . R ów nan ia (2) i (15) p o d a ją , że:

0 - flQr = A , 0 { l - £ ) = 0 - e b.

(7)

B o zklad naprężeń w belkach żelbetowych 31 U w zględniając to, w pow yższym rów n aniu m om entów d o staniem y analogiczną w artośó m ja k w p rz y p a d k u ez < e Q (równ. 17).

m<P2= 8 - \ - A ( 0 — eb), stą d

0 — ł?i 8

m = - 0 2 ’ Vi = eb - 2 ■ (20)

W ielkość k ą ta o b ro tu w yznaczona zo stała rów naniem (15)

r A ^ i ■ o Q r

uQr ~ ’ g ^ r~~Rm ’

zaś odległość osi ob jętej ró w n an iem (4) eb eb R. n

W yprow adzone wryżej w zory Avażne są zarów no d la sprężystego, ja k i plastycznego od k ształcen ia stali zbrojeniow ej. P ozw alają one n a zilu

strow an ie m echanizm u sił w ew nętrzn y ch w p rze k ro ju belki zginanej, z ty m je d n a k , że m usi się w pierw w ty m celu p od porządkow ać liniowo zm iennym od kształceniom p ew n ą fu n k cję n a p rężeń .

R ów nanie (2) w y jaśnia, że p o trafim y wówczas w yznaczyć d la każd ej w artości <p i x ro zk ład n ap rę ż e ń w strefie ściskanej. R ów nanie to w sk a  zuje rów nież n a pow inow actw o istn iejące m iędzy krzy w ą n ap rę ż e ń z , a i p rz y ję tą k rzy w ą e, a.

P ro p o n o w an ą poniżej k rzy w ą e, a w yprow adzono w oparciu o n a s tę  p u jąc e założenia:

a) W strefie m ały ch od k ształceń n ap rężen ia ro z k ła d a ją się liniow o zgodnie z p raw em H o o k e’a, p rz y czym p rz y ję to m oduł sprężystości b e to n u E b o d p o w iad ający niskim naprężeniom . \

b) Z łam anie belki pojedynczo zb ro jo n ej n a s tę p u je w chwili p rze k ro czenia w y trzy m ało ści b e to n u n a ściskanie p rz y zginaniu. P rz y ję to , że w y trzy m ało ść t a je s t ró w n a p o d an ej przez n orm ę P N /R 03260 t/w . o b li

czeniowej w ytrzym ałości n a ściskanie R m.

c) P rz y złam aniu belk i b e to n n a kraw ędzi stre fy ściskanej doznaje skrócenia jednostkow ego

e*= 25 X 10~8 R m h (21)

1 D la u ła tw ien ia obliczeń p rzyjęto B s = R m ■ W zięto p rzy ty m pod uwragę, że 25 • 10-6 R s oraz to , że nied u że od ch ylen ia od rzeczyw istej krzyw ej naprężeń nie w p ływ ają zasadniczo na ob liczoną w ielkość m om entu łam iącego, a ty m bardziej na

w ielk ości m o m en tó w n in iejszych od niego.

(8)

32 Z bigniew B u dzian ow ski

d) Pow ierzchnię w yk resu n ap rężeń w ystępujących p rz y złam aniu belki w ykon anej z b e to n u o średniej w ytrzym ałości (R w = 100 do 300 kg /cm 2) cechuje p o d a n a przez L oleita i Sachno wskiego, dośw iadczal

n ie stw ierdzona wielkość n i 0,53. W ielkość t a je s t cechą c h a ra k te ry s ty c z n ą w ykresu naprężeń.

Pow yższe założenia n a rz u c a ją c krzyw ej n ap rężeń jej w aru nk i b rze

gowe oraz c h a ra k te ry sty k ę rjjela) w d o stateczn y m przybliżeniu określają fu n k cję n ap rężeń. P ro p o n u je się przedstaw ienie te j fu n k cji w form ie w ielom ianu

-C/a V (22

W y stę p u jąc y w ty m wzorze m oduł sprężystości E b odnosi się do b e  to n u poddanego m ałym ciśnieniom .

Ł atw o spraw dzić, że prop o no w ana rów naniem (22) zależność spełnia p rz y ję te założenia.

D la u = 0 jest £* = 0 zaś .

d o Hjb

D la a = R m je st eb= e b.

R ów nanie (22) pozw ala n a obliczenie w artości pom ocniczych a ■ deh=

E b

8 =

= } * - ^Sb

■ d s h =

Oz

% G ©

p i_D •

/

®

t z .

i— e , d = 0,85F.a

« ■ n o E l [21 gdzie

1 0 7. 9 1 1

TI + 2

(¡kcr9)2 + — fcff9 + -

12 3

(23)

(24)

■ Eb — R„

p i°m

(O ^- A x e l - R n

(25) Z ró w n ań (23, 24) obliczym y w artości $x =

s s

= j - i = eb — , o trzy m u jąc wreszcie ce-

R ys. 2 chę c h a ra k te ry sty c z n ą w ykresu naprężeń

%/ eb ■ co.

P rzykładow o p o d ajem y , że dla betonów o w ytrzym ałości R m od 100 do 300 k g/cm 2 obliczone rów naniem (22) cechy ch a ra k te ry sty c z n e w ah ają .się m iędzy 0,53 i 0,525 (co od 0,835 do 0,86, % /eb od 0,44 do 0,455).

(9)

FUNKCJA 8b,(T PRZY ZGINANIU ą = 3 ,7 6 6 4 -^{1 0}' 6i r + 1 ,0 2 7 7 -1 0 ^ </'

Beton Rw=170 kg/cm2 Rm~HO kg/cm2

<T= 0 ,0 - 1 0 0 k g /c m 2 1 j ~4,0 /0 7kg/cm 2

<T= 100-140 kg/cm 2 1 j ~ 400-10 7kg ¡cm 2 (T= 0 ,0 - 1 0 0 kg/cm 2

1 j ~ /• <0 3 kg/cm 2 C = 100-140 k g /cm 2

1 j ~ 15-10'3kg/cm2

1 j — 5 ,0 10 1 j ~jednostka

R ys. 3

B u d z ia n o w s k i. B u d o w n ic tw o l

(10)

R o zkład n a p rę że ń w belkach żelbetowych 33 G ra n ic z n y p ro ce n t u z b ro je n ia (¡ug), tj. p ro ce n t u z b ro je n ia g w a ra n tu  jącego rów nocześnie osiągnięcie g ran ic y p lastyczności sta li i w y trz y m a łości b e to n u w belce zginanej oblicza się ze w zoru (15) oraz z p ro po rcjj geom etry czny ch odkształconego p rz e k ro ju . U w zględnia się p rz y ty m , że s ta l osiąga granicę plasty czn o ści p rz y w y d łu żeniu ezg= l , 6 ~ (rys. 2).

= £ p

rf\T A x

<P A (O

T -i

Sb 1

Eb + ^Ezg l+ 0 ,0 3 / ? r

s tą d o trz y m u je m y znany z m eto d y o d k ształceń p lasty c zn y c h wzór cu

( 1 + 0 ,0 3 Pr) P / (26)

3. Wnioski i zastosow ania1

P o d a n e n a koń cu re fe ra tu ta b lic e I-IV i ry su n e k 3 sporządzono dla belek żelbetow ych w ykonanych z b e to n u m a rk i B W=17Q k g/cm 2 o w spół

czy nniku sprężystości i?* = 265000 k g /cm 2 oraz ze sta li zbrojeniow ej o g ra nicy plasty czn ości <+ = ^{2 5 0 0} kg /cm 2.

M ateriały o te j c h a ra k te ry s ty c e w ytrzym ałościow ej są pow szechnie stosow ane w budow n ictw ie żelbetow ym . P rz y sporządzeniu wykresów p o służono się w y pro w ad zo n y m i po p rzed nio w zoram i. Pozw oliły one n a o b li

czenie d la każdej p a ry sprzężonych ze sobą w arto ści sb, a oraz dla p rz y  jęteg o p ro ce n tu u z b ro je n ia ¡u, o dp o w iad ający ch im w ielkości to, 0 , £, az . ł ł a ry su n k u (3) przedstaw io n o sporządzone w oparciu o tyzory (22, 23, 24) fu n k cje sb, r\x A , 8 zm iennej a.

Z w ykresów ty c h w idać, że p rzy n isk ich i śred nich n ap rężen iach (do c r^ 8 0 k g /cm 2) o dk ształcen ia eb zm ieniają się liniowo, zaś p rz y w yższych n ap rężeniach w y k a z u ją one coraz większe p rz y ro sty c h a ra k te ry sty c z n e d la m ateriałó w m iękkich. G raniczne w artości eb, rj[, A T, S r odpo w iada

jące obliczeniowej w y trzy m ało ści b e to n u n a ściskanie B m = 110 kg/cm 2 w ynoszą

£6 = 0,0035, + '= 0 ,4 1 5 2 1 1 kg/cm 2, , S l

8 l = 0,000803266 kg /cm 2, ^ = - ^ - = 1 ,9 3 4 6 -lO “3, 8‘

n * = el - j 7 = ° > 001568-

1 P rzed staw ion e w y k resy opracow ali p racow n icy k a ted ry K on stru k cji P refab ry

kow an ych , asysten ci: R. A n toszew sk i, J . B u jak oraz T . R utecki. R ysu n k i i w yk resy w y k o n a ł a sy sten t k a ted ry R zu tów i R ys. T eckn. M. T eliezek.

«

B udow nictw o 1. 3

(11)

34 Z bigniew B udzianow slci

S tą d obliczym y w artość

wr ~ —^ ~ — = 0,847,

Vi = 0,528. Ze w zoru oraz cechę c h a ra k te ry sty c z n ą w yk resu n aprężeń

si,- co' (26) obliczym y ^ = 0 ,0 3 0 9 .

R ów nanie (22) odniesione do b e to n u o p rz y ję te j c h a ra k te ry sty c e w y

trzym ałościow ej p rz y b ie ra p o stać

*¿,= 3 ,7 6 6 4 -1 0 -« • cr-f 1,0277 -lO“24 • a10.

W ykresy w ta b lic a c h I-IY p rze d staw ia ją zależność n ap rężeń ściska- jący ch w b eto n ie a, położenia osi obojętnej £ = —, k ą ta o b ro tu & = cp- /¡,CC

«i

i n ap rężen rozciąg ający ch w zbro jen iu gz od w artości m = — -. DziękiM

b h i

w prow adzeniu wrarto ści m stało się m ożliw e przedstaw ien ie poszczegól

n y c h związków niezależnie od w ym iarów p rze k ro ju belk i i wielkości m o m en tu . Poniżej zestaw iono w zory, k tó ry m i posługiw ano się przy k o n stru o w aniu w ykresów . Z akres ich użyteczności w iąże się z w ielkością n ap rężeń w u zb ro jen iu (rys. 2).

O bszar m = 0 2 sp rę ż y sty (A)

ez < s Q t — i * . 5 0 »

0 ~ V i A

cm' (17) 0

= ! + ] / ( ! ) ' (18) E zfi ’ (14) az = E z - 0 ( l - S ) < Q ri (19)

0,2»/, 0,5®/« 0,75 °/„ 1°/. 1,25%

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0

4,70 11,44 16,734 21,74 26,60

4,91 11,91 17,42 22,63 27,56

0 0 0 0 0

<p°j0AlB](pt 139130 158000 170666 186000 198000

8304220 3321688 2214320 1660844 1328670

0,158 0,245 0,289 0,326 0,356

0,162 0,247 0,3026 0,3521 0,400

0,042 0,105 0,158 0,210 0,263

(12)

Rozkład, n aprężeń w belkach żelbetowych 35

O b szar » = ^ ^ 5 ? ' <20> i ' = 4 1 (15)

p lasty c zn y (B) f

sz>eq £ = 1 = - - ^ - ^ ; (15)

W y stę p u jąc y w w yrazie 0 k ą t <P=j- m ierzony je s t w ra d ia n a c h n a0

% jed n o stk ę długości belki.

C h a ra k te ry sty c zn e d la ty c h krzy w y ch są w artości odpow iadające o b ciążeniom łam iący m (m T), zerow ym (m°) oraz obciążeniom po w odującym przejście n ap rę ż e ń w sta li zbrojeniow ej z o bszaru sprężystego (A) w o b  szar p lasty czn y (B) (rys. 2).

W artości te zestaw iono poniżej.

P rzed staw io n e n a w y k resach krzyw e w y k azu ją w y raźne załam an ia n a g ran icy A j B . W chw ili gd y naprężen ie stali osiąga granicę p la sty c z  ności, w z ra sta ją nagle n ap rężen ia ściskające a w b eto n ie (tab l. I) oraz k ą ty o b ro tu 0 (ta b l. I I I ) , zaś oś o b o jętn a (ta b l. I I ) w belkach z b ro jo ny ch poniżej p ro c e n tu granicznego w y raźn ie się podw yższa (£ m aleje).

P rz y n ap rężen iach sta li poniżej g ran icy A J B d aje się zauw ażyć przesu- w anie osi ob o jętnej w dół ze w zrostem m = —2. J e s t ono ty m większe,M

¿01

im w iększy je s t p ro ce n t u zb ro jen ia. W belkach o słab ym u zb ro jeniu położenie osi o b o jętn e j nie ulega w idocznym zm ianom .

W y n ik i d o ty ch czas przep ro w adzo n y ch i opublikow anych b a d a ń p o tw ierd z ają pow yższe d an e u z y sk an e n a drodze teo rety czn ej. J e d y n ą n ie

zgodność stw ierdza się w położeniu osi ob ojętnej w y stęp u jącej p rz y n i

skich n ap rężen iach b e to n u i stali. D ośw iadczenia bow iem w y k a z u ją, że w strefie m ały ch obciążeń w zrostow i ich tow arzy szy w y raźne podno-

1,5% 2 % 2,5% 3,09% 4%

7 8 9 10 ¹¹

0 0 0 0 0

30,94 39,20 46,57 53,90 —

32,18 40,55 47,75 54,70 59,579

0 0 0 0 0

214020 251800 305280 382000 - • 10“ 8

1107720 830420 665000 538000 -

0,382 0,425 0,459 0,493 0,539

0,4447 0,5252 0,610 0,688 -

0,316 0,421 0,526 0,651 —

3^*

(13)

36 Zbigniew B u dzian ow ski

szenie się osi o b o jętn ej aż do m o m en tu , p rz y k tó ry m b e to n w strefie roz

ciąganej ulega zarysow aniu. Z w ykresów W ynika n a to m ia st, że oś obo

ję tn a żad n y ch przesunięć w te d y nie doznaje. T łum aczy się to ty m , że w ykresy zostały sporządzone dla fazy I I , podczas g d y przekro je słabo obciążone p ra c u ją w rzeczyw istości w fazie I. W łączony do w spółpracy b e to n strefy rozciąganej pow oduje początkow o obniżenie osi obojętnej.

W pływ te n w m iarę po jaw ian ia się ry s zanika pow odując stopniow e podw yższanie się osi o b o jętn ej. O dnośnej k o re k ty w ykresów nie p rze prow adzono ze w zględu n a stosunkow o m ałe p rak ty c zn e znaczenie tego zakresu obciążeń p rz y w ym iarow aniu.

W yznaczona w zoram i m eto d y n ap rę ż e ń liniow ych oś ob o jętn a leży poniżej osi rzeczyw istej w yznaczonej dla belki p rac u jąc e j w fazie I I i ob

ciążonej w g ranicach dopuszczalnych. U w zględniając w yk resy w ta b lic y I I m ożna obliczyć, że dla b e to n u m ark i 170 kg/cm 2 i p ro cen tu uzb ro jen ia

^ = 0 ,2 % do 3,09°/0 odnośne różnice m iędzy rzeczyw istym położeniem osi o bojętnej a obliczonym w edług m eto d y H L w ah ają się w granicach 35°/0 do 23°/0. Ze w zro stem p ro ce n tu u zb ro jen ia różnica t a m aleje zanikając zupełnie w belk ach u zb ro jo n y ch 5—6°/0 i p rac u jąc y c h w fazie I I , w g ra nicach dopuszczalnych naprężeń .

O w y trzy m ało ści belki zginanej d ecyduje zawsze ostatecznie, nieza

leżnie od n aprężen ia w sta li zbrojeniow ej, ty lk o w ytrzym ałość b e to n u R m.

W iadom o, że p rz y dużym procencie uzb ro jen ia (fi>/ug) w chwili złam ania belk i uzbrojenie rozciągane p rac u je poniżej granicy plastyczności (odci

n ek OG n a rys. 2). P rz y u zb ro jen iu n o rm aln y m (ij,</ig) pokonanie w y  trzym ałości b eto n u n a ściskanie je s t również z reguły przyczyną o sta tecznego zniszczenia belki z t ą jedy n ie różnicą, że naprężenia stali p rz e d te m ju ż p rz e k ra c z a ją granicę plastyczności G (rys. 2). W y ją tek stanow ią t u oczywiście belk i o bardzo słabym u zb rojen iu, p rzy k tó ry m m oże n a stą p ić rozerw anie stali jeszcze przed osiągnięciem w ytrzym ałości b eto n u . P rzejście w w ykresie sz , az z obszaru sprężystego do plastycznego odbyw a się w edług krzyw ej przejściow ej JDG odpow iadającej odkształceniom m iędzy czd= 0,85 eQ i ezg= l , 6 eQ oraz towarzyszącym i im naprężeniom od 0,85 Qr do Qr.

P u n k ty G i D z o stały napiesione rów nież n a krzyw ych ab, <I>, f, aT (ta b l. I do IV ), w yznaczając w arto ści odpow iadające początkow i i k o ń cowi krzyw ej przejściow ej DG. H a k aż d y m w ykresie naniesiono również k rzy w ą bezpieczeństw a B oraz krzy w ą m aksy m alnych odkształceń 0.

P ierw sza z n ich sk o n stru ow an a została zgodnie z obow iązującym u n as w spółczynnikiem bezpieczeństw a .<¡ = 1,6 i ogranicza zakres m om entów dopuszczalnych J ł f < - = dla w szystkich procentów uzbrojen ia. Z kolei M r

1,0

k rzy w a 0 w sposób analogiczny ogranicza zakres k o n stru k c y jn e j zdol-

(14)

Jłozkład n aprężeń w belkach żelbetowych 37 nośei udźw igu belk i u w arun k ow an ej od k ształceniam i. P rz y ję to tu , że belka żelbetow a p o siad a jeszcze w artości k o n stru k c y jn e , g d y w ydłużenie u z b ro jen ia rozciąganego w zględnie skrócenie b e to n u w strefie ściskanej leży odpow iednio w granicach ez < 5°/on i e6< 2 % 0. Z w a ru n k u pierwszego w ynika, że p rz y m ak sy m a ln y m o d k ształcen iu stali je s t

^ ^ m 7\

£b~ 1 - | ' 1 0 0 0 ' ’

D la danego y u sta lo n o przez p ró b y te w artości m , dla k tó ry c h w y z n a  czone z ta b lic I i I I w arto ści ab i £ sp ełn iają rów nanie (27). W yznaczone w te n sposób wielkości m pozw oliły n a n aniesienie p u n k tó w jednej g a  łęzi krzyw ej 0. D rugi w a ru n e k d o ty czący o d k ształceń b eto nu spełnia p ro sta poprow ad zona poziom o n a w ysokości ciśnienia a = 1 3 1 k g /cm 2 o d  pow iadającego p rz y ję te m u skróceniu jed n ostk ow em u b e to n u e6 = 2°/'0 (rys. 3). Z w ykresu n a tab lic y I w idać, że w a ru n e k pierw szy je s t d ecy d u jąc y przy słabszycn uzb ro jen iach , drugi zaś p rz y uzbrojen iach sil

niejszych.

O znaczając przez m 0 te w arto ści m, k tó re odp ow iad ają p rz y ję ty m odkształcen io m granicznym , i analogicznie przez m b w arto ści o d p o w ia d a  jące g ran icznem u stan ow i bezpieczeństw a k o n stru k c ji w św ietle obow ią

zu jący ch przepisów , o d c z y ta m y z w ykresów (ta b l. I) n a stę p u jąc e z a leżności:

H = 0,002 0,015 0,0309

m 0 4,75 3 1 ^ = 1 5 8 1 ^ = 1 4 6

m b 3,07 ’ 20,1 ’ 34,2 ’

J a k w idać, w spółczynnik bezpieczeństw a p o d y k tow an ego o d k ształce

n iem m ieści się w g ran icach od 1,46 do 1,58 i niew iele się z a te m różni od p rzy jęteg o u n as w spółczynnika bezpieczeństw a aw aryjn ego « = 1 ,6 .

Sposób po sługiw ania się k rzy w y m i przy sp raw dzan iu i w ym iarow aniu p rze k ro ju p ro sto k ą tn e g o przed staw io n y je s t n a n a stę p u ją c y c h p rzy k ła d ac h .

a) D an e: h —105 cm, 6 = 30 cm , a = 5 cm, _% = 22,60 cm 2, (¿¿ = 0,754% ), M —27 tm .

O bliczam y m = = 9 < mfc= 11. Z ta b lic I do IV o d czy tujem y d la

o U • i U U

m = 9 i ¿¿ = 0,754% w arto ści

ob= 67,5 k g ;cm 2, crz= 1 3 3 0 k g /cm 2, £ = 0 ,2 9 0 ,

(15)

38 Z bigniew B udzian ow ski

Te sam e w ielkości obliczone m eto d ą nap rężeń liniow ych w ynoszą:

ab— 54,7 k g /cm 2, az— 1365 kg/cm 2, £ = 0 ,3 7 6 , (p= M. = 0,914 • 10~5, d la B b— 160000 kg/cm 2.

ft/J

b) D an e: J i = 2 7 tm , 6 = 30 cm, <m = 0,754°/o. S zukane 6, m in. O dczy

tu je m y z tab licy I n a krzyw ej /¿ = 0,754°/0 dla p u n k tu B w arto ść m b—

= —5 = 1 1 - S tą d 6Jn,in= 9 0 ,2 cm, ab = 81 k g/cm 2 • az— 1610 kg/cm 2. W edług M bhi

m e to d y o d kształceń p lasty czn y ch dla pow yższych założeń o trzy m u jem y 7*i min= 9 0 ,6 cm.

c) D ane: 6 = 105 cm, 6 = 30 cm, a = a' = 5 cm, M = 125 tm . P oszukiw ane /i i / / .

O bliczam y J f '= l , 6 - 1 2 5 = 200 tm , m '= ” ° ^ 2° = 6 6 ,6 6 > 5 4 ,7 kg /cm 2,

o U • J.UU

A m '= 66,66 - 54,7 = 11,96, , . A m 1 ■ 6, 11,96 100 AAACAO M Qr { K~a ') 25 00-95 - 0>00° 03 (i = 3 ,0 9 + 0 ,5 0 3 = 3 ,59°/0, / = 0,5°/0.

Licząc m eto d ą o d k ształceń p lasty czn y ch o trzy m am y /¿ = 3,54°/o, p' = 0,61°/0.

4. Zakończenie

Z ap roponow ana w niniejszy m a rty k u le droga do określenia krzyw ej ro zk ład u naprężonej w zginanej belce żelbetow ej nie je s t n a pew no je d y n ą i n a jle p szą z ty c h , k tó re prow adzić m ogą do zam ierzonego celu.

W n a szy m p rz y p a d k u została ona zbudow ana w oparciu o znane n a ogół dość dobrze ro zk ład y nap rężeń zarów no w belkach słabo obciążonych, ja k też obciążonych w sta d iu m złam ania. W ty m d rugim p rzy p a d k u sta ra n o się zmieścić w założeniach teo rii L oleita i teorii Saligera. N ależy tu podkreślić, że nie było w żad n y m razie celem niniejszej p ra c y p rze d staw ienie nowrej m eto d y w yznaczenia m o m en tu łam iącego. W artości m 1 obliczone za pom ocą w yprow adzonych wzorów zgadzają się praw ie całkiem dokładnie z obliczonym i w edług obow iązującej u nas norm y.

P e w n a jed y n ie różnica, rzęd u około 6 % , w ystępuje: przy obliczaniu granicznego p ro ce n tu zb rojen ia /ig.

T łu m aczy się to ty m , że wobec tru d n o śc i d o b ran ia krzyw ej ro zkładu n a p rę ż e ń spełniającej rów nocześnie w aru n k i w = 0,8, — = 0,425 p rzy jęto

Sb

(16)

1to zk ła d naprężeń w belkach żelbetowych 39 krzy w ą spełn iającą p o dstaw ow y d la teo rii L o leita w a ru n e k m om en tu łam iącego — - = 0,53.

eb(x>

W prow adzenie ja k o pod staw o w ych elem entów rozum o w ania k ą ta i zm iennego położenia osi o b o jętn ej pozwoliło z jednej stro n y n a zilu

strow anie m echanizm u p ra c y belk i zginanej o nieliniow ych w łasnościach spręży sty ch , zaś z drugiej n a poruszenie, z resztą całkiem m arginesow e, pew nych p o dstaw ow y ch problem ów s ta ty k i u stro jó w nieliniow o sprę

ży sty ch .

D o k ład n e om ówienie tego drugiego zagadnienia nie m oże się mieścić w ra m a c h niniejszego a rty k u łu i w y m aga osobnego om ówienia.

Z auw aża się p rz y ty m jed y n ie, że p o m in ięty w p rzedstaw iony ch ro z w ażaniach , ja k o n ie isto tn y p rz y w ym iaro w aniu, w pływ fazy I m oże mieć decy d u jące znaczenie przy opracow yw aniu p o d sta w nowej s ta ty k i i m usi być ta m uw zględniony.

(17)

R m = HO

Budzianowski. Budownictwo 1*

(18)

Budzianow ski. Budownictwo 1.

(19)

<£> = cp. h i rad/.

(20)

k g / c m 2

Qr=2S00 2530

2000

1500

1000

500

T W kV /cr" 2

B udzianow ski. Budownictwo 1.

*