• Nie Znaleziono Wyników

Algorytmy metaheurystyczne dla problemu harmonogramowania projektu z kamieniami milowymi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Algorytmy metaheurystyczne dla problemu harmonogramowania projektu z kamieniami milowymi"

Copied!
10
0
0

Pełen tekst

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 150

2008 N r k o l. 1796

M a rc in K L I M E K

Państw ow a W yższa S zkoła Z aw odow a, B ia ła Podlaska P io tr Ł E B K O W S K I

A k a d e m ia G ó rn ic z o -H u tn ic z a

A L G O R Y T M Y M E T A H E U R Y S T Y C Z N E D L A P R O B L E M U

H A R M O N O G R A M O W A N IA P R O J E K T U Z K A M I E N I A M I M I L O W Y M I

S treszczenie. W a rty k u le zaproponow ano m odel m atem atyczny pro ble m u harm o no gra m o w an ia p ro je k tu z ogran iczon ą dostępnością zasobów RCPSP (ang. Resource-Constrained P roject Scheduling Problem ), k tó ry u w zg lę d n ia system k a m ie n i m ilo w y c h . D la części zadań (zw ią zan ych z ka m ien iam i m ilo w y m i) o kreślono nieprzekraczalne te rm in y ic h zakończenia. O pracow ano fu n k c ję celu, k tó ra u w zg lę d n ia te rm in y re a liz a c ji w s z y s tk ic h ty c h czynności. D la zd e fin io w a n e g o p ro b le m u przetestow ano skuteczność dzia łan ia a lg o ry tm ó w genetycznych i sym ulow anego w yżarzania.

M E T A H E U R I S T I C A L G O R I T H M S F O R P R O J E C T S C H E D U L IN G P R O B L E M W I T H M IL E S T O N E S

S u m m a ry . In a rtic le is proposed m athem atical m odel fo r Resource-Constrained S cheduling P roblem w ith m ilestones. F o r some a ctiv itie s (related to the m ilestones), unsurpassable term o f c o m p le tio n is determ ined. W e have defined o b je ctive fu n c tio n , ta k in g into consideration the observance o f the tim es o f c o m p le tio n o f a ll these a ctivitie s. F o r d efin ed p ro b le m w e have tested effectiveness o f genetic and sim ulated annealing algorithm s.

1. W p ro w a d z e n ie

W p ra ktyce p rze m y s ło w e j coraz częściej stosowana je s t p ro d u k c ja na zlecenie (ang. M T O - M ake-To-O rder). T a k w ytw arzan e są zw łaszcza w y ro b y niestandardow e, dla o d b io rc y in d y w id u a ln e g o , którego w ym a ga n ia są zm ienne i b y w a ją n ie prz e w id y w a ln e . K ażde zlecenie p ro d u k c y jn e m oże b yć traktow ane ja k o osobny p ro je k t p o w sta ją cy w k o n s u lta c ji z k lie n te m . R ea liza cja takiego p ro je k tu obarczona je s t n ie p e w n o ścią zw iąza ną z u n ik a ln o ś c ią re a lizo w a n ych zadań. W z w ią zku z ty m w y s tę p u ją p ro b le m y z oszacowaniem te rm in u re a liz a c ji poszczególnych etapów prac czy też całego p rzedsięw zięcia. K lie n c i, w celu zm niejszenia ry z y k a niepow odzenia całego p rzedsięw zięcia, często w y m a g a ją od w y k o n a w c ó w (zwłaszcza p rz y dużych p rzedsięw zięciach) określenia p u n k tó w k o n tro li przebiegu prac, tzw . ka m ien i m ilo w y c h , d la k tó ry c h d e fin io w a n e są nieprzekraczalne te rm in y ich w ykon an ia.

(2)

64 M. Klimek. P. Łebkowski

O p ó źn ie n ia w re a liza cji zadań m og ą pociągać za sobą k a ry um ow ne, natom iast dotrzym a n ie u m o w n y c h te rm in ó w m oże się w iąza ć z zapłatą za w y k o n a n ie danego etapu p ro je ktu .

W n in ie js z y m a rty k u le zaproponow ano m atem atyczny m odel p ro ble m u harm o nogram ow ania p ro je k tu z o g ran iczon ą dostępnością zasobów RCPSP ze z d e fin io w a n y m i, nie prze kra czaln ym i te rm in a m i re a liz a c ji części zadań zw iązanych z k a m ie n ia m i m ilo w y m i. Z ap rop on ow a ny m odel m oże b yć bardzo u żyteczn y p rzy re a liz a c ji d użych zleceń p ro d u k c y jn y c h , k o n s tru k c y jn y c h czy ro z w o jo w y c h . W celu ro zw iąza nia badanego p ro ble m u opracow ano i przetestow ano a lg o ry tm y m etaheurystyczne, tj. a lg o ry tm genetyczny G A (ang. Genetic A lg o rith m) i a lg o ry tm sym ulow anego w yżarzania S A (ang. S im ulatedA nnealing).

2. S fo rm u ło w a n ie p ro b le m u

P ro je k t to z b ió r w spó łzależn ych zadań (op eracji, czynności), re a liz o w a n y p rz y u ż y c iu ograniczonej lic z b y zasobów. Zasoby są o dnaw ialne [8 ] (ang. renewable), tzn. ilość zasobu je s t stała niezależnie od obciążeń w poprzednich okresach.

W ka żdym m om encie czasu t w y k o rzysta n ie zasobów przez czynności nie przekracza w ie lk o ś c i dostępnych. T o ograniczenie w yra ża w z ó r (1) [2 ]:

2 > * ś a k V r , V * (1)

ieS,

gdzie:

ak - lic z b a dostępnych zasobów typ u k,

S ,- z b ió r zadań w y k o n y w a n y c h w przedziale czasu [t-1, /], r ik - zapotrzebow anie czynności i na zasób ty p u k.

D la rozw ażanego p ro b le m u RCPSP stosowana będzie sieć AON, tzw . sieć czyn no ści, k tó ra je s t w y k o rz y s ty w a n a d la p ro b le m ó w szeregowania z k ry te riu m o p ty m a liz a c ji czasu. P ro je k ty w sieci A O N reprezentowane są ja k o a c y k lic z n y , spójny, p ro sty g ra f skierow a ny G(V, E), w k tó ry m V oznacza z b ió r w ę z łó w odp ow iad ają cy czyn no ścio m , a £ to z b ió r łu k ó w opisujących zależności ko le jn o ścio w e . C zynności ponum erow ane są od 1 do n, w ta k i sposób, że p o p rz e d n ik m a zawsze n iższy num er od następnika (porządek to p o lo g ic z n y ). D o g rafu G dodawane są dw a fik c y jn e zadania 0 i n+1, reprezentujące o dp o w ie d n io początek i ko niec p ro je ktu . Zadania są niepodzielne (ang. nonpreemptive) i istn ie je ty lk o je d e n sposób ich w y k o n a n ia (ang. single-mode RCPSP).

M ię d z y zadaniam i w y s tę p u ją relacje typ u koniec-początek bez z w ło k i [2 ] (an g.fin ish -sta rt, zero-lag precedence) - następnik m oże rozpocząć się b ezzw łoczn ie po zakończeniu o peracji p oprzedniej. O graniczenia k o le jn o ścio w e m ożna opisać w zo re m (2):

s, + d, < Sj V ((,y ) e E (2)

gdzie:

Si - czas rozpoczęcia zadania /, di - czas w y k o n y w a n ia zadania i.

(3)

P ro blem harm onogram ow ania p ro je k tu z ograniczoną dostępnością zasobów RCPSP polega na znalezieniu w ektora te rm in ó w rozpoczęcia (lu b zakończenia) dla p rzyjęteg o k ry te riu m optym aliza cyjn eg o . D la p ro ble m u RCPSP stosowane są p ro ced ury dekodujące SGS (ang. SGS - Schedule Generation Scheme), które z a m ie n ia ją listę czynności (lu b listę p rio ry te to w ą ) w harm onogram , u w zg lęd nia ją c ograniczenia ko le jn o ś c io w e i zasobowe. N ajczęściej w y k o rz y s ty w a n e są dwa schem aty generow ania harm onogram u [5 ]: szeregow y (ang. s e ria l SGS) oraz ró w n o le g ły (ang. p a ra lle l SGS).

K ry te riu m o p ty m a liz a c y jn y m w badaniach dotyczących RCPSP najczęściej je s t m in im a liz a c ja łącznego czas trw an ia całego p ro je k tu (ang. makespań). P odejm ow ane je s t ró w n ie ż zagadnienie te rm in o w e j re a liz a c ji całego przedsięw zięcia. W n in ie js z y m a rty k u le pro po no w an e je s t podejście, w k tó ry m celem je s t te rm in o w a realizacja u m o w n y c h p u n k tó w k o n tro li przebiegu prac tzw . k a m ie n i m ilo w y c h . Zastosow anie system u k a m ie n i m ilo w y c h w p ro ble m ie RCPSP m ożna sprow adzić do określenia dla części zadań, zw iązanych z k a m ie n ia m i m ilo w y m i, n ieprzekraczalnych te rm in ó w ic h zakończenia (w szczególności te rm in u zakończenia całego p ro je k tu <?„+/) [4 ]:

zi < 8 i (3)

gdzie:

z; - czas zakończenia czynności i,

dj - n ie prze kra czaln y te rm in zakończenia czynności i.

Z p raktycznego p u n k tu w id ze n ia , w z w ią z k u z niepew nością w ystę p u ją cą p rz y re a liz a c ji p ro je k tu , użyteczne je s t znalezienie takiego harm onogram u zadań, aby m aksym aln ie zabezpieczyć te rm in o w ą realizację ka m ie n i m ilo w y c h [4 ]. W celu zd e fin io w a n ia fu n k c ji celu realizującej to założenie oznaczm y przez pb-, p oziom bezpieczeństw a d la re a liza cji ka m ienia m ilo w e g o km,• w yznaczany następująco:

Pb, “ (4)

tkmi gdzie:

rezi - różn ica m ię d z y nieprzekraczalnym te rm ine m zakończenia Sj (o kre ślo n ym dla fon,) a najw cześniejszym m o ż liw y m te rm ine m w y ko n a n ia w szystkich czynności, k tó ry c h w y k o n a n ie je s t niezbędne do re a liza cji danego ka m ienia m ilo w e g o fon,.

P roponow aną fu n k c ją celu F, u w zg lę d n ia ją cą zabezpieczenie te rm ino w eg o w y k o n a n ia w s z y s tk ic h etapów p ro je k tu , je s t w ażona suma p o zio m u zabezpieczenia ka m ie n i m ilo w y c h pb/ określona w zo re m (5):

m

F = (TjPbr wmi} (5)

/=1 gdzie:

waga przypisana k a m ie n io w i m ilo w e m u fon,.

W a rtość w a g i wm, zależy od aktualnego p o zio m u zabezpieczenia kam ienia m ilo w e g o fon; i ustalana je s t na podstaw ie posortow anej rosnąco w ed łu g pb, lis ty ka m ie n i m ilo w y c h , k tó ry m k o le jn o p rz y p is u je się m alejące wm¡. W p ra cy p rzyjęto

Algorytmy metaheurystyczne ..._____________________________________________ 65

(4)

6 6

M. Klimek, P. Łebkowski

ja k o wm, ko le jn e lic z b y naturalne od m do 1. K a m ie n io m m ilo w y m m ożna p rzypisać inne w a g i, p rz y czym p o w in ie n b yć sp e łn io n y w arunek: w iększa w aga u w , d la m niej zabezpieczonych A'/«,.

P roblem harm onogram ow ania p ro je k tu z ograniczoną dostępnością zasobów RCPSP, ja k o u o g ó ln ie n ie klasycznego p ro b le m u jo b shop, je s t zadaniem s iln ie N P - tru d n y m . D la p ro je k tó w z w ię kszą lic z b ą czynności stosowane są a lg o ry tm y p rz y b liż o n e , w szczególności a lg o ry tm y m etaheurystyczne, tj. a lg o ry tm y genetyczne, a lg o ry tm y sym ulow anego w yżarzania. M e ta h e u ry s ty k i nie w n ik a ją w strukturę pro ble m u , p ró b ku ją c obiecujące rozw ią za n ia z przestrzeni w s z y s tk ic h d oz w o lo n y c h . A lg o ry tm y m etaheurystyczne skuteczne dla p ro ble m u RCPSP z k ry te riu m m in im a liz a c ji makespan p o w in n y b yć ró w n ie ż skuteczne d la proponow anego pro b le m u RCPSP z ka m ie n ia m i m ilo w y m i z fu n k c ją celu F o kre ślo n ą w z o re m (5).

P rzy ro z w ią z y w a n iu p ro b le m ó w o p ty m a liz a c y jn y m istotne je s t znalezienie o dp ow ied nie j reprezentacji p ote ncja ln ych rozw iązań (o d po w ie dn ieg o k o do w a nia ). D la rozw ażanego pro ble m u stosowana będzie, dająca najlepsze w y n ik i w badaniach [7 ], reprezentacja perm utacyjna, w któ re j rozw iąza nie m je s t p erm utacja bez p o w tó rze ń num erów zadań, tz w . lista czynności.

W dalszej części a rty k u łu opisano testowane m eta he u rystyki: G A i SA . W celu oceny ich skuteczności ic h działanie zostanie porów nane do czysto losow ej p ro ced ury generow ania lis ty czynności (zw anej dalej procedurą LosoweRCPSP):

K r o k 1: U sta w ie nie pustej lis ty zadań P, natom iast w liś c ie L um ieszczenie w s z y s tk ic h n astępników czynności fik c y jn e j 0.

K r o k 2: L oso w e w yb ra n ie zadania / z lis ty L na ko le jne m iejsce w liś c ie P.

K r o k 3 : U sunięcie w ylosow anego zadania i z lis ty L i dodanie do tej lis ty w s z y s tk ic h n astępników zadania /.

K r o k 4: P o w tórze nie k ro k ó w 2-3 aż do w y p e łn ie n ia lis ty P w s z y s tk im i czyn no ścia m i n ie fik c y jn y m i

O znaczenia:

P - lis ta czyn no ści poddawana następnie procedurze SGS,

L - lis ta dostępnych zadań niedodanych do lis ty P, ta k ic h k tó re m o g ą b y ć rozpoczęte (po p rze d n ika m i tego zadania są je d y n ie czynności ju ż um ieszczone na liś c ie L ).

Procedura LosoweRCPSP stosowana je s t ró w n ie ż p rz y generow aniu p o p u la c ji p oczą tkow e j d la G A i p rz y zn a jd o w a n iu ro zw iąza nia p oczątkow ego d la SA .

3. A lg o r y tm g en etyczn y

Idea a lg o ry tm u genetycznego została zaczerpnięta z nauk p rzy ro d n ic z y c h . Sposób p rze szukiw an ia p ote n cja ln ych rozw iąza ń naśladuje procesy naturalne:

d ziedziczenie genetyczne i z ja w iska doboru naturalnego. M e c h a n iz m y doboru naturalnego (s e le k c ji) pro w a d zą do p rze trw a nia o s o b n ik ó w n a jle p ie j przystosow anych w danym środow isku. O so b n iki, któ re p rz e trw a ją - przekazują in fo rm a c ję genetyczną s w o im p o to m k o m (operacje k rz yżo w a n ia , m u ta c ji). K o le jn e p o k o le n ia są przeciętnie coraz lep iej dostosowane do w a ru n k ó w środow iska. Schem at d zia łan ia zaim plem entow anego a lg o ry tm u genetycznego m ożna przedstaw ić następująco:

(5)

Algorytmy metaheurystyczne 67

K r o k 1: In ic ja liz a c ja .

G enerow anie p o p u la c ji p oczą tkow e j (p rz y u ż y c iu p ro ced ury LosoweRCPSP).

U sta le nie param etrów a lg o ry tm u : p raw dopodobieństw a krzyżo w a n ia , m u ta c ji, lic z b y p o ko le ń, ro z m ia ru p o p u la c ji i lic z b y o s o b n ik ó w e litarnych.

K r o k 2: Selekcja.

W y b ó r o s o b n ik ó w do now ej p o p u la c ji. Stosowane m etody: ra n kin g ow a, ko ła ru le tk i, tu rn ie jo w a , w szystkie ze strategią elitarną.

K r o k 3 : K rzyżo w a n ie .

W y b ó r o s o b n ik ó w (ro d z ic ó w ) do rozm nażania i następnie przeprow adzenie w y m ia n y m a te ria łu genetycznego m ię d z y loso w o dob ra nym i ro d zica m i p rz y zastosow aniu w ybran e go operatora k rz y ż o w a n ia (P P X , 1PX lub 2 P X przedstaw ione w rozdziale 6).

K r o k 4: M uta cja.

N a w y b ra n y c h osobnikach z m ia n y w liś c ie zadań p rz y u ż y c iu w ybranego operatora m u ta c ji (m utacje ty p u W staw , Z am ień , H artm anna lu b In w ersja opisane w rozd zia le 6).

K r o k i 2 -4 pow tarzane są aż do spełnienia w arun ku STO P -u, np. przebieg przez o kre ślo n ą liczbę pokoleń.

W zagadnieniu o p ty m a liz a c ji genetycznej bardzo istotne je s t w ła ś c iw e określenie fu n k c ji przystosow ania. Jest to o d p o w ie d n io przekształcona fu n k c ja celu F rozw ażanego p roblem u. W celu przeskalow ania F, ja k o fu n k c ję przystosow ania p rz y ję to fitnessi określone w zo re m (6):

fitness. = Fi - m in {fitness j) (6)

_/*!... rozmiar _ populacji

gdzie:

F — w artość fu n k c ji celu F określonej w zorem (5 ) d la osobnika i, fitn e s s i- w artość fu n k c ji p rzystosow ania osobnika /.

F u n k c ja p rzystosow ania je s t w y k o rz y s ty w a n a do oceny p rz y w ybo rze o sob ników do n ow ej p o p u la c ji. W p ra cy testowano następujące m eto dy se le kcji:

- Selekcja tu rn ie jo w a - z całej p o p u la c ji losow anych (ze zw racaniem ) je s t k ilk a ch ro m o som ó w , n ajlepszy z n ic h w y b ie ra n y je s t do now ej p o p u la c ji.

- Selekcja m etodą ko ła ru le tk i, p ro p o rcjo n a ln a - losow anie chrom osom ów z rozkład e m o pa rtym na fu n k c ja c h przystosow ania.

- S elekcja ra n kin g o w a - tw o rz o n y je s t ra n kin g o s o b n ik ó w zgodnie z rosnącą w a rto ś c ią fu n k c ji przystosow ania. N a podstaw ie ran kin g u każdem u o so b n ik o w i p rzyd zie lan a je s t lic z b a tzw . szans. N ajsłab szy o sob nik o trz y m u je je d n ą szansę, n atom iast n a js iln ie js z y liczbę szans ró w n ą ro z m ia ro w i p o p u la c ji. D o now ej p o p u la c ji losow ane są ch ro m o som y zgodnie z rozkład e m o p a rtym na lic z b ie szans poszczególnych o sob ników .

4. A lg o r y tm s y m u lo w a n e g o w y ż a rz a n ia

Idea d z ia łan ia a lg o ry tm ó w sym ulow anego w yżarzania pochodzi z te rm o d y n a m ik i i n aw iązu je do procesu w yżarzania c ia ł stałych. Zastosow anie S A u m o ż liw ia u n ika n ie ekstrem ów lo k a ln y c h przez m o ż liw o ś ć akceptacji gorszych

(6)

6 8

M. Klimek, P. Łebkowski

rozw iązań od dotychczas znalezionych. Schemat d zia łan ia zaim plem entow anego a lg o ry tm u sym ulow anego w yżarzan ia m ożna zaprezentować następująco [3 ]:

K r o k 1: In ic ja liz a c ja .

G enerow anie początkow ej lis ty (p e rm u ta c ji) zadań. U stalenie w fazie strojenia param etrów alg orytm u: te m p era tury p o czą tkow e j, ko ńco w e j (m in im a ln e j) oraz param etru lam bdy.

K r o k 2 : W y b ó r z sąsiedztwa bieżącej lis ty zadań ro zw iąza nia sąsiedniego: stosowane są tutaj te ch n iki jed no arg um en to w e opisane w ro zd zia le 6.

K r o k 3: A kce p ta cja z p raw dopodobieństw em p a now ego rozw iązania. Jeśli ma b yć zaakceptowane, to staje się ono rozw iąza nie m bieżącym w następnej ite ra c ji alg orytm u. Zastosowano kla syczn ą fu n k c ję akceptacji [3].

K r o k 4: Z m ia na tem peratury zgodnie z p rz y ję ty m schematem chłodzenia (na p oczątku tem peratura je s t rów na tem peraturze p oczą tkow e j). Z ałożono lo g a ry tm ic z n y schemat chłodzenia.

K r o k i 2-4 pow tarzane są aż do spełnienia w a ru n k u STO P-u. W a ru n k ie m stopu m oże b yć przebieg zadanej lic z b y ite ra c ji a lg o ry tm u lub osiągnięcie te m peratury T ró w n e j tem peraturze m in im a ln e j Tk.

K lu c z o w e d la S A je s t odp ow ied nie określenie param etrów a lg o ry tm u i znalezienie skutecznej te c h n ik i przeszukiw ań p ote ncja ln ych rozw iązań (k ro k 2).

5. T e c h n ik i b u d o w y n o w y c h ro z w ią z a ń

D la reprezentacji p erm utacyjnej pow szechnie znane są operatory przeszukiw ania przestrzeni rozw iązań. D la ró ż n y c h a lg o ry tm ó w m etaheurystycznych stosowane są podobne te c h n ik i b u d o w y n o w y c h rozw iąza ń (z m ia n y a ktua lnych rozw iąza ń). W G A zwane są one operatoram i g en etyczn ym i, natom iast w a lg orytm ach sym ulow anego w yżarzania ruchem . A lg o ry tm y genetyczne stosują te c h n ik i w ie lo a rg u m e n to w e (operujące na w ięce j n iż je d n y m ro z w ią z a n iu ) i jed no arg um en to w e (operujące na je d n y m rozw iąza niu ). G A o pe ru ją b o w ie m na p o p u la c ji o s o b n ik ó w (rozw iązań).

A lg o ry tm y S A w y k o rz y s tu ją je d y n ie te c h n ik i jednoargum entow e.

O peratory genetyczne dla G A oraz ru c h y w S A n ie m ogą zaburzać zależności k o le jn o ś c io w y c h m ię d zy zadaniam i. P rocedury SGS zawsze w y g e n e ru ją pop ra w ny harm onogram , ale przetw arzanie lis t zadań n iespelniających ograniczeń k o le jn o ści je s t n adm iarow e. N a p rz y k ła d , je ś li czynność j je s t następnikiem czynności i, p rocedury SGS d la lis t P - {■■■,], n ie szeregują czyn no ści j , aż do m om en tu k ie d y będzie uszeregowana czynność i, c z y li w y g e n e ru ją identyczne h a n n o n o g ra m y d la lis ty P ja k d la lis ty P ' = {..., j,...}. P oniżej zaprezentow ano stosowane te c h n ik i b u d o w y n o w y c h rozw iązań z p o d zia łem na w ie lo - i jednoargum entow e.

5.1. T e c h n ik i w ie lo a rg u m e n to w e

Jako operatory k rz y ż o w a n ia w G A zastosowano następujące te c h n ik i w ielo a rg u m e n to w e (w y k o rz y s ty w a n e w badaniach ró w n ie ż dla in n y c h p ro b le m ó w o p ty m a liz a c y jn y c h ) [8 ]:

(7)

Algorytmy metaheurvstvczne 69

- I P X (k rz y ż o w a n ie jed n o p u n k to w e , ang. One-Point Crossover) - o s o b n ik p o to m n y pow staje przez sko piow a nie genów od p ie rw sze j p o z y c ji do p u n k tu krz y ż o w a n ia od jednego z ro d z ic ó w , a brakujące geny są uzupełniane w k o le jn o ś c i ich w ystę po w a nia u d rugiego z ro d z ic ó w .

- 2 P X (krz y ż o w a n ie d w u pu nktow e , ang. Two-Points Crossover) - o sob nik p o to m n y pow staje przez sko piow a nie genów od jed ne go z ro d z ic ó w (poza fragm entem chrom osom u m ię d z y d w o m a w y lo s o w a n y m i p u n k ta m i k rz y ż o w a n ia ) i u zupełnienie brakujących genów w k o le jn o ś c i ic h w ystępow ania u d rugiego z ro d zicó w .

- P P X [1 ] (k rz y ż o w a n ie z zachow aniem następstwa, ang. Precedence Preservance C?-ossover) - na początku w yznaczany je s t w e k to r V o d ługości rów ne j ro z m ia ro w i chrom osom u, z ło ż o n y z losow o w yge ne row an ych O i l . O so b n ik p o to m n y pow staje przez k o p io w a n ie k o le jn y c h genów z ch ro m o som ó w ro d z ic ie ls k ic h R1 i R2 na podstaw ie w s z y s tk ic h k o le jn y c h w a rto ści w e kto ra V : g d y na danej p o z y c ji w w ektorze V je s t w artość 0, do p o to m k a gen je s t k o p io w a n y z R 1 , g dy je s t w artość 1, gen z R 2. Po dopisaniu do p o to m ka dany gen je s t usuw any z obu ro d zicó w . D okonano w y b o ru ta k ic h ope ra to ró w krzyżow an ia, g dyż ich w yko rz y s ta n ie nie zaburza zależności k o le jn o ś c io w y c h [8 ],

5.2. T e c h n ik i je d n o a rg u m e n to w e

T e c h n ik i je d no arg um en to w e są stosowane zarów no w alg orytm ach gene­

tyczn ych, ja k i w a lg orytm ach sym ulow anego w yżarzania.

W G A ja k o operatory m u ta c ji zastosowano [8 ]:

- M u ta c ję typ u W sta w (ang. Insert) - w ybie ra na je s t losow o czynność, która następnie je s t przesuwana na lo s o w ą p ozycję m ię d z y ostatnim w u porządkow aniu zadań p op rze d n ikie m a p ie rw s z y m następnikiem .

- M u ta c ję typ u Z am ień (ang.

Swap)

- w ybie ra na je s t losow o czynność, któ ra następnie je s t zam ieniana z loso w o w y b ra n y m zadaniem za jm u ją cym pozycję m ię d zy o statnim w u p o rzą dko w an iu zadań p o p rze d n ikie m a p ie rw szym następnikiem .

- M u ta c ję H artm anna - zam iana p rz y le g ły c h zadań na sąsiednich pozycjach w p erm u ta cji zadań, w ybie ra na je s t loso w o czynność, któ ra następnie je s t zam ieniana z czyn no ścią k o le jn ą na liście, o ile nie naruszy to ograniczeń k o le jn o ś c io w y c h .

- M u ta cję typ u In w ersja (ang. Inversion) - odw ró ce nie losow o w ybranego fragm entu lis ty czynności w ta k i sposób, aby n ie naruszyć ograniczeń k o le jn o ścio w ych .

D la a lg o ry tm ó w sym ulow anego w yżarzania do p rze szukiw an ia przestrzeni rozw iązań u żyto w s z y s tk ic h te ch n ik jed no a rg u m e n to w ych w y k o rz y s ta n y c h w G A ja k o operatory m u ta c ji. D o d a tk o w o za im plem entow ano ru ch y typu:

- W sta w W szystkie - w ybie ra na je s t loso w o czynność, któ ra następnie je s t przesuwana na p ozycję m ię d z y o statnim w u po rzą dko w an iu zadań p op rze dn ikie m a p ie rw s z y m następnikiem , sprawdzane są w s zystkie m o ż liw e p ozycje w sta w ie nia i w yb ie ra n a je s t p ozycja, d la któ re j fu n k c ja k ry te riu m osiąga n ajw ię kszą wartość.

(8)

70 M. Klimek. P. Łebkowski

- Z am ień W sz y s tk ie - w ybie ra na je s t loso w o czynność, która następnie je s t zam ieniana z ka żdym zadaniem z a jm u ją cym p ozycję m ię d zy ostatnim w u porządkow aniu zadań p op rze d n ikie m a p ie rw s z y m następnikiem i w y k o n y w a n a je s t zam iana, dla któ re j fu n k c ja k iy te riu m osiąga n a jw ię k s z ą w artość.

6. W y n ik i b a d a ń e k s p e ry m e n ta ln y c h

Badania przeprow adzono p rz y u ż y c iu 120 instan cji te sto w ych zaproponow anych w p ra cy [6 ] (po 60 d la p ro b le m ó w z ło żo n ych z 30 i 120 zadań). D la każdej pro ble m u testowego zd efin io w a n o d od atko w o cztery ka m ien ie m ilo w e , określając nieprzekraczalne te rm in y re a liz a c ji części zadań. E ksp erym en ty prow adzono na kom puterze klasy P entium z procesorem 1,7 G H z p rz y u ż y c iu zaim plem entow anego pro gram u w ję z y k u C# w śro d o w isku V is u a l S tudio .N E T .

Ze w zg lę d u na stochastyczny charakter testow anych a lg o ry tm ó w d la każdej instan cji testowej każdy z a lg o ry tm ó w b y ł trz y k ro tn ie u rucham iany. A b y m óc porów nać d zia łan ie testow anych a lg o ry tm ó w , w każdym eksperym encie p rz y ję to stałą liczbę w yge ne row an ych rozw iąza ń w procesie prze szukiw an ia przestrzeni rozw iązań ró w n ą 20000: 20000 ite ra c ji w a lg o ry tm ie S A , 1000 p oko le ń p rz y rozm iarze p o p u la c ji w ynoszącej 20 o s o b n ik ó w w a lg o ry tm ie G A , 20000 loso w o w yge ne row an ych lis t czynności p rz y u ż y c iu p ro ced ury LosoweRCPSP.

E ksperym enty w y k a z a ły lepszą skuteczność szeregowej p ro ced ury dekodującej SGS n iż ró w n o le g łe j p ro ced ury dekodującej (o 4,1% m niejsze średnie procentow e o d ch yle nie w zględne od najlepszego uszeregow ania zadania d la p ro b le m ó w 3 0-zad an iow ych i o 2,1% m niejsze o dch yle nie dla p ro b le m ó w 120-zadaniow ych).

D o d a tko w o czas przetw arzania a lg o ry tm ó w stosujących ró w n o le g ły SGS b y ł średnio 4 ,2 -k ro tn ie d łu ższy n iż w y k o rz y s tu ją c y c h szeregow y SGS.

W drodze dośw iadczeń ustalono następujące' p aram etry G A : praw d o po do bie ństw o k rz y ż o w a n ia 0,6, p ra w d o po do bie ństw o m u ta c ji 0,2, liczba o s o b n ik ó w e lita rn y c h 2, selekcja m eto dą ran kin g ow ą. W śró d m etod w y b o ru now ego p o ko le n ia najlepsze re zu lta ty osiągano p rz y zastosow aniu m e to d y ra n k in g o w e j, ale w p ły w w y b o ru m eto dy se le kcji na osiągane w y n ik i nie b y ł duży.

Z estaw ienie w y n ik ó w eksperym entów w zależności od stosow anych operatorów genetycznych d la G A i ty p ó w ruchu dla S A um ieszczono w ta be li 1. D la G A przebadano każdą z k o m b in a c ji operatora k rz y ż o w a n ia (P P X , IP X oraz 2 P X ) i m u ta cji (Z a m ie ń, H artm ann, W sta w oraz In w ersja ). D la S A przetestow ano ka żdy z ty p ó w ruchu (Z a m ie ń, H artm ann, W staw , In w ersja , W s ta w W sz y s tk ie i Z a m ie ń W szystkie).

Tabela 1 W y n ik i eksperym entów o b lic z e n io w y c h (szeregow y SGS)

Lp. Param etry a lg o ry tm ó w 30 zadań 20 zadań

a b c a b C

1 G A , P P X , Z am ień 139 170 0,56% 28 98 13,59%

2 G A , PP X, H artm ann 100 131 3,06% 9 39 25,58%

3 G A , P P X , W staw 148 170 0,45% 50 156 9,53%

4 G A , PP X, In w ersja 125 154 1,15% 19 70 18,2%

(9)

Algorytmy metaheurystyczne . 71

5 G A , 1PX, Z am ień 142 163 0,72% 27 83 16,50%

6 G A , 1PX, H artm ann 100 136 2,74% 15 49 22,64%

7 G A , 1PX, W staw 153 173 0 ,2 3 % 53 154 8,12%

8 G A , 1PX, In w ersja 122 160 1,34% 21 65 17,5%

9 G A , 2 P X , Z am ień 142 164 1,07% 28 91 14,72%

10 G A , 2 P X , H artm ann 109 134 2,72% 13 51 21,67%

11 G A , 2 P X , W staw 144 168 0,41% 53 152 9,34%

12 G A , 2 P X , In w ersja 125 158 1,75% 22 80 18,15%

13 S A , Z am ień 140 167 0,98% 83 177 1,97%

14 S A , H artm ann 108 145 2,39% 44 155 7,18%

15 S A , W staw 143 171 0,29% 90 173 1,47 %

16 SA , In w e rs ja 137 162 1,11% 80 175 3,49%

17 S A , Z am ień W szystkie 157 173 0,48% 79 176 3,36%

18 S A , W sta w W szystkie 106 145 1,88% 51 162 4,44 %

19 S A , loso w o ty p ruchu 114 154 1,23% 41 148 7,81%

20 LosoweRCPSP 102 130 2,52% 19 52 15,34%

a - liczba rozwiązań najlepszych (spośród 180 eksperymentów)

b - liczba rozwiązań lepszych od średniej (spośród 180 eksperymentów) c - średnie procentowe odchylenie względne od najlepszego uszeregowania

W n io s k i z obliczeń:

- lepsza skuteczność a lg o ry tm u S A n iż G A , zw łaszcza dla p ro b le m ó w w iększych , z ło żo n ych ze 120 zadań;

- znacznie lepsze w y n ik i osiągane p rz y u ż y c iu najlepszych a lg o ry tm ó w m ataheurystycznych n iż p rz y zastosow aniu p rocedury generującej losow e rozw ią za n ia LosoweRCPSP;

- p o ró w n y w a ln e w y n ik i d la ró żn ych te c h n ik w ie lo a rg u m e n to w ych - operatorów k rz yżo w a n ia ;

- zróżnicow ane w y n ik i d la różn ych te c h n ik je d n o a rg u m e n to w ych - najlepsza m utacja (ru ch ) ty p u W s ta w i ruch ty p u Z am ień W szystkie , najgorsza m utacja (ru ch) H artm anna.

7. Z a k o ń c z e n ie

W a rty k u le przedstaw iono a lg o ry tm genetyczny i a lg o ry tm sym ulow anego w yżarzan ia d la p ro ble m u h arm o nogram ow ania p ro je k tu z ka m ie n ia m i m ilo w y m i.

W y n ik i testów o b lic z e n io w y c h p o tw ie rd z iły przydatność a lg o ry tm ó w m etaheurystycznych dla rozw ażanego p ro ble m u . N ajlep sze rezu ltaty są osiągane p rz y w y k o rz y s ta n iu a lg o ry tm u sym ulow anego w yżarzan ia z zastosow aniem ru c h ó w typ u W sta w i Z a m ie ń W szystko.

Przedm iotem dalszych badań będzie opracow anie n ow ych, w y d a jn ie jszych te c h n ik p rze szukiw an ia przestrzeni p ote n cja ln ych rozw iązań, dedykow anych dla p ro ble m u RCPSP ze z d e fin io w a n y m i te rm in a m i re a liz a c ji etapów p rojektu.

(10)

72 M. Klimek. P. Łebkowski

B IB L IO G R A F IA

1. B ie rw irth C., M a ttfe ld D .C .: P roduction S cheduling and R escheduling w ith G enetic A lg o rith m s , E v o lu tio n a ry C o m p u ta tio n 7 (1), 1999, s. 1-17.

2. H erroelen W ., De R eyck B ., D em eulem eester E.: Resource constrained scheduling: a survey o f recent developm ents. C om puters and O perations Research 25, 1998, s. 279-302.

3. K irk p a tric k S., G e latt C .D ., V e c c h i M .P .: O p tim iz a tio n b y sim ulated annealing.

Science 220, 1983, s. 671-680.

4. K lim e k M ., Ł e b k o w s k i P.: M ia ry odporności h arm onogram ów . K o m p u te ro w o Z in te g ro w a n e Zarządzanie (red.) R. K nosala, O fic y n a W y d a w n ic z a P olskiego T o w a rzystw a Zarządzania P rodukcją, 1 .1, O pole 2008, s. 569-577.

5. K o lis c h R.: Serial and p arallel resource-constrained p ro je c t scheduling m ethods revisited : T he ory and co m p uta tio n. European Journal o f O p erational Research 90,

1996, s. 320-333.

6. K o lis c h R., Sprecher A .: P S P L IB - a p ro je c t scheduling lib ra ry . European Journal o f O p erational Research 96, 1997, s. 2 0 5 -2 1 6 .

7. K o s tru b ie c A .: H arm on og ra m o w an ie p ro je k tó w - przegląd m o d e li. In ż y n ie ria Zarządzania P rze dsięw zięcia m i, W y d a w n ic tw o P o lite c h n ik i G d ań skiej, G dańsk 2003, s. 33-52.

8. K o s tru b ie c A .: M e to d y generow ania sąsiedztwa w m etaheurystycznych m etodach harm onogram ow ania p ro je k tó w . In ż y n ie ria system ów zarządzania. Ilo ś c io w e m eto dy w spom agania d e c y z ji w systemach p ro d u k c ji, W y d a w n ic tw o P o lite c h n ik i G dańskiej, G dańsk 2005, s. 45-57.

Recenzent: P rof, d r hab. inż. C zesław S m u tn ic k i

A b s tr a c t

In this paper is described the R esource-C onstrained S cheduling P roblem (RCPSP) and the assum ption o f tim e ly execution o f the p ro je ct m ilestones. I t ’ s p ra c tic a l approach, because d u rin g the execu tion o f p ro d u c tio n orders, w orkers often d eterm ine the terms o f c o m p le tio n o f p a rtic u la r p ro d u c tio n stages.

F o r proposed m odel w e have defined the o b je ctive fu n c tio n , ta k in g in to c o nsideration the p ro te c tio n leve l o f a ll the p ro je c t stages and im p lem en te d genetic and sim ulated annealing alg orith m s. W e have tested effectiveness d iffe re n t com binations o f param eters, operators (m oves) o f these m etaheuristics. E xperim ents show that sim ulated annealing a lg o rith m s o u tp e rfo rm genetic a lg orith m s. T he best results we have achieved using sim ulated annealing a lg o rith m w ith m oves In sert and Swap A ll.

Cytaty

Powiązane dokumenty

nych jeden segment pokrywa się z okresem pobudzenia (tonu krtaniowego), a dla głosu bezdźwięcznych długość segmentu jest stała i wynosi typowo 256

W oparciu o strukturę cyklu mitotycznego i czasy trwania po sz czególnych faz wpro wa dz i­. my wzory

cowania) należy wyznaczyć harmonogram podrzędny (re ge n e r a c j i ).Harmonogram regeneracji winien określać dla każdego walca przedział czaau, w którym walec Jest

Rys. Schemat blokowy miernika okresu jednego obrotu silnika typu E-3208 N.. Zagadnienie nlerównomlernoścl prędkości obrotowej silników... 12) przyłożone jest napięcie

miast wzrasta wysokość naruszenia stropu bezpośredniego przy ścianie [7], Na podstawie dotychczasowych doświadczeń można stwierdzić, że ochrona przestrzeni

Przedstawiony model matematyczny po identyfikacji parametrycznej ściśle określonego obiektu latającego z odkrytym człowiekiem, umożliwia pełną analizę własności

Na podstawie wzoru (2) sporządzono wykres (rys. 12) pozwalający w sposób prosty odczytać przewidywaną głębokość koleiny po cyklach obciążenia, dla dowolnego betonu

Charakterystyka wyjścia dwufazowej asynchronicznej..,______ 105 Jeżeli ponadto drogą konstrukcyjną uzyska się zmniejszenie impedancji uzwojenia pierwotnego i wtórnego (np. przez