2.1Miaryznakowane 2Funkcjeowahaniusko«czonym.Funkcjeab-solutnieci¡gªe

29  Download (0)

Pełen tekst

(1)

2 Funkcje o wahaniu sko«czonym. Funkcje ab- solutnie ci¡gªe

2.1 Miary znakowane

Niech (X, M) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡1). Miar¡ znakowan¡ na (X, M) nazywamy funkcj¦ ν : M → [−∞, ∞] o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:

ˆ ν(∅) = 0;

ˆ ν przyjmuje co najwy»ej jedn¡ z warto±ci −∞, ∞;

ˆ je±li (Ej)j=1jest ci¡giem zbiorów parami rozª¡cznych w M, to ν(Sj=1Ej) =

P

j=1ν(Ej), gdzie szereg po prawej stronie jest zbie»ny bezwzgl¦dnie gdy jego suma jest sko«czona.

Ka»da miara w zwykªym sensie jest miar¡ znakowan¡. W razie potrzeby zaakcentowania, miary takie b¦dziemy nazywali miarami dodatnimi.

Przykªady:

ˆ Gdy µ1, µ2 s¡ miarami dodatnimi na (X, M), z których co najwy»ej jedna jest niesko«czona, ν := µ1− µ2 jest miar¡ znakowan¡ na (X, M).

ˆ Gdy µ jest miar¡ dodatni¡ na (X, M) i f : X → [−∞, ∞] jest funkcj¡

mierzaln¡ tak¡, »e co najmniej jedna z caªek RXf+, RXf jest sko«czona, to funkcja zbioru ν zdeniowana wzorem ν(E) := REf dµ jest miar¡ znakowan¡ na (X, M). Piszemy wtedy dν = f dµ.

Zbiór E ∈ M nazywamy dodatnim (odpowiednio ujemnym, zerowym) dla miary znakowanej ν, gdy ν(F ) ­ 0 (odpowiednio ν(F ) ¬ 0, ν(F ) = 0) dla ka»dego F ∈ M, F ⊂ E.

Twierdzenie 2.1. Niech ν b¦dzie miar¡ znakowan¡ na (X, M). Wówczas istnieje zbiór dodatni P i zbiór ujemny N takie, »e P ∪ N = X, P ∩ N = ∅.

Je±li P0, N0 jest inn¡ tak¡ par¡, to P 4 P0 (= N 4 N0) jest zbiorem zerowym dla ν.

Idea konstrukcji. Niech M b¦dzie kresem górnym warto±ci ν(E) gdy E prze- biega wszystkie zbiory dodatnie; wybieramy ci¡g zbiorów dodatnich (Pj)j=1 taki, »e ν(Pj) d¡»y do M; kªadziemy P :=Sj=1Pj.

1)To znaczy, X jest zbiorem i M jest σ-ciaªem (niekoniecznie wszystkich!) podzbiorów zbioru X.

(2)

Rozkªad X = P ∪ N nazywamy rozkªadem Hahna2) miary znakowanej ν.

Mówimy, »e miary znakowane µ i ν s¡ wzajemnie osobliwe (zapisujemy to µ ⊥ ν), gdy istniej¡ E, F ∈ M takie, »e E ∩ F = ∅, E ∪ F = X, E jest zbiorem zerowym dla µ i F jest zbiorem zerowym dla ν.

Twierdzenie 2.2. Niech ν b¦dzie miar¡ znakowan¡. Wówczas istniej¡ jedno- znacznie okre±lone miary dodatnie ν+ i ν takie, »e ν = ν+− ν i ν+ ⊥ ν. Idea konstrukcji. Niech X = P ∪ N b¦dzie rozkªadem Hahna dla ν; dla E ∈ Mdeniujemy ν+(E) := ν(E ∩ P ) i ν(E) := −ν(E ∩ N ).

Rozkªad ν = ν+− ν nazywamy rozkªadem Jordana miary znakowanej ν.

Miary ν+ (odpowiednio ν) nazywamy wariacj¡ dodatni¡ (odpowiednio wariacj¡ ujemn¡) miary znakowanej ν.

Formalnie rzecz bior¡c, wariacj¦ caªkowit¡ miary znakowanej ν deniuje si¦, dla E ∈ M, jako

|ν|(E) := supn

X

j=1

|ν(Ej)| : Ej  parami rozª¡czne, E =

[

j=1

Ejo.

lub jako

|ν|(E) := supn

k

X

j=1

|ν(Ej)| : Ej ∈ M  parami rozª¡czne, E = [k

j=1

Ejo.

Zachodzi równo±¢ |ν| = ν++ ν (i j¡ przyjmiemy za denicj¦).

Zauwa»my, »e ν mo»na zapisa¢ jako ν(E) =RE(1P1N) d|ν|, gdzie X = P ∪ N to rozkªad Hahna.

Deniujemy

L1(ν) := L1+) ∩ L1),

Z

X

f dν :=

Z

X

f dν+

Z

X

f dν, gdzie f ∈ L1(ν).

Miara znakowana ν jest sko«czona (odpowiednio σ-sko«czona), gdy |ν|

jest sko«czona (odpowiednio σ-sko«czona3)).

2)Hans Hahn (1879  1934), matematyk (te» lozof) austriacki; znany tak»e z twierdzenia Hahna  Banacha, Hahna  Mazurkiewicza, i innych.

3)Przypominam, »e miara dodatnia µ na (X, M) jest σ-sko«czona, gdy X = Sj=1Xj, gdzie Xj ∈ Mi µ(Xj) < ∞dla ka»dego j.

(3)

2.2 Absolutna ci¡gªo±¢ miar

Niech ν b¦dzie miar¡ znakowan¡ na (X, M), i niech µ b¦dzie miar¡ dodatni¡

na (X, M). Mówimy, »e ν jest absolutnie ci¡gªa wzgl¦dem µ (zapis: ν  µ), gdy ν(E) = 0 dla ka»dego E ∈ M, dla którego µ(E) = 0.

Nie jest trudno wykaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

ˆ ν  µ;

ˆ |ν|  µ;

ˆ ν+ µ i ν  µ.

Je±li ν ⊥ µ i ν  µ, to ν = 0. Istotnie, je±li E i F s¡ zbiorami rozª¡cznymi takimi, »e E ∪ F = X i µ(E) = |ν|(F ) = 0, to ν  µ implikuje |ν|(E) = 0, zatem |ν| = 0 i ν = 0.

Termin absolutnie ci¡gªa stosowany do miar jest poniek¡d przypadkowy:

¹ródªem jego s¡ funkcje absolutnie ci¡gªe (o czym mowa b¦dzie dalej). Jed- nak»e poni»szy wynik pokazuje, »e rzeczywi±cie chodzi tu o rodzaj ci¡gªo±ci.

tw:absolutna-ciaglosc-miar Twierdzenie 2.3. Niech ν b¦dzie sko«czon¡ miar¡ znakowan¡ i niech µ b¦- dzie miar¡ dodatni¡ na (X, M). Wówczas ν  µ wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, »e µ(E) < δ poci¡ga |ν(E)| < ε.

Dowód. Poniewa» ν  µ wtedy i tylko wtedy, gdy |ν|  µ, oraz |ν(E)| ¬

|ν|(E), wystarczy zaªo»y¢, »e ν = |ν| jest miar¡ dodatni¡. Implikacja w jedn¡ stron¦ jest oczywista. Zaªó»my nie wprost, »e istnieje ε > 0 o tej wªasno±ci, i» dla ka»dego naturalnego n mo»na znale¹¢ En ∈ M takie, »e µ(En) < 2−n i ν(En) ­ ε. Poªó»my Fk := Sn=kEn oraz F := Tk=1Fk. Poniewa» µ(Fk) < Pn=k2−n = 21−k, zatem µ(F ) = 0. Ale ν(Fk) ­ ε dla wszystkich k, zatem, jako »e ν jest sko«czona, ν(F ) = limk→∞ν(Fk) ­ ε, co przeczy absolutnej ci¡gªo±ci ν wzgl¦dem µ.

Powró¢my do naszego przykªadu, gdy µ jest miar¡ dodatni¡ na (X, M) i f : X → [−∞, ∞] jest funkcj¡ mierzaln¡ tak¡, »e co najmniej jedna z ca- ªek RXf+, RXf jest sko«czona (o funkcjach takich mówimy, »e s¡

caªkowalne w sensie rozszerzonym wzgl¦dem µ). Wówczas miara znakowana zdeniowana jako ν(E) = REf dµ (czyli dν = f dµ) jest absolutnie ci¡gªa wzgl¦dem µ. Miara znakowana ν jest sko«czona wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ L1(µ).

Wa»nym wnioskiem jest nast¦puj¡cy wynik, otrzymany przez zastosowa- nie poprzedniego twierdzenia do cz¦±ci rzeczywistej i urojonej funkcji f ∈ L1(µ).

(4)

Wniosek. Niech f ∈ L1(µ). Wówczas dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,

»e µ(E) < δ poci¡ga |REf dµ| < ε.

Twierdzenie Lebesgue'a  Radona  Nikodýma. Niech ν b¦dzie σ-sko«- czon¡ miar¡ znakowan¡, i niech µ b¦dzie σ-sko«czon¡ miar¡ dodatni¡ na (X, M). Wówczas istniej¡ jednoznacznie okre±lone miary znakowane λ, ρ na (X, M) takie, »e

λ ⊥ µ, ρ  µ, ν = λ + ρ.

Ponadto, istnieje funkcja f : X → R, caªkowalna w sensie rozszerzonym wzgl¦dem µ, taka, »e dρ = f dµ. Ka»de dwie takie funkcje s¡ równe µ-pra- wie wsz¦dzie.

Idea konstrukcji. W przypadku, gdy ν i µ s¡ sko«czonymi miarami dodat- nimi, deniujemy F jako rodzin¦ tych wszystkich funkcji f : X → [0, ∞], dla których REf dµ ¬ ν(E) dla ka»dego E ∈ M. Rodzina F jest niepusta (gdy» zawiera 0) i zamkni¦ta wzgl¦dem brania maksimum dwóch funkcji.

Kªadziemy a := sup{RXf dµ : f ∈ M }, i wybieramy ci¡g (fn)n=1 ⊂ F taki, »e RXfndµ → a. Deniujemy gn := max(f1, . . . , fn) i f := supnfn. Wtedy gn ∈ F, gn d¡»y punktowo do f oraz RXfndµ ¬ RXgn, zatem limn→∞RXgndµ = a, wiec na podstawie twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no-

±ci monotonicznej, f ∈ M oraz RXf dµ = a. Dowodzi si¦ dalej, »e miara dodatnia dλ := dν − f dµ jest osobliwa wzgl¦dem µ.

Gdy ν i µ s¡ σ-sko«czonymi miarami dodatnimi, przedstawiamy X jako przeliczaln¡ sum¦ parami rozª¡cznych zbiorów µ-sko«czonych i jako przeli- czaln¡ sum¦ parami rozª¡cznych zbiorów ν-sko«czonych, i stosujemy kon- strukcj¦ z poprzedniego akapitu do przekrojów takich zbiorów.

Gdy ν jest miar¡ znakowan¡, stosujemy poprzedni¡ konstrukcj¦ do ν+ i ν i odejmujemy wyniki.

Rozkªad ν = λ + ρ, gdzie λ ⊥ µ i ρ  µ nazywamy rozkªadem Lebesgue'a miary znakowanej ν wzgl¦dem λ.

W przypadku gdy ν  µ, powy»sze twierdzenie stwierdza, »e dν = f dµ dla pewnego f (twierdzenie Radona4) Nikodýma5)). f nazywa si¦ wtedy pochodn¡ Radona  Nikodýma ν wzgl¦dem µ, i oznacza dν/dµ.

Fakt 2.4. Zaªó»my, »e ν jest σ-sko«czon¡ miar¡ znakowan¡ i µ, λ s¡ miarami σ-sko«czonymi na (X, M) takimi, »e ν  µ i µ  λ. Wówczas

(a) je±li g ∈ L1(ν) to g ∈ L1(µ) i

Z

X

g dν =

Z

X

gdν dµdµ;

4)Johann Radon (1887  1956), matematyk austriacki.

5)Otton Marcin Nikodým (1887  1974), matematyk polski.

(5)

(b) zachodzi ν  λ oraz

=

dλ.

Dowód. Poniewa» ν+i ν mo»na rozpatrywa¢ osobno, zaªó»my »e ν jest mia- r¡ dodatni¡. Równo±¢ z cz¦±ci (a) dla g b¦d¡cej funkcj¡ charakterystyczn¡

zbioru E ∈ M to przeformuªowanie denicji miary ν. Z liniowo±ci wynika, »e jest ona prawdziwa dla funkcji prostych, a z twierdzenia o zbie»no±ci mono- tonicznej wynika jej prawdziwo±¢ dla funkcji nieujemnych mierzalnych. Znów liniowo±¢ daje równo±¢ z (a) dla funkcji z L1(ν).

Absolutna ci¡gªo±¢ miary znakowanej ν wzgl¦dem λ jest natychmiastowa.

Dalej, we wzorze z cz¦±ci (a) zast¦pujemy ν, µ przez µ, λ, i za g bierzemy 1E

, otrzymuj¡c

ν(E) =

Z

E

dµ =

Z

E

dλdλ.

Lecz skoro ν  λ, zachodzi

ν(E) =

Z

E

dλdλ.

Równo±¢ = λ-prawie wsz¦dzie wynika z pewnej wªasno±ci funkcji z L1(λ)6).

Wniosek. Je±li µ  λ i λ  µ, to = 1 prawie wsz¦dzie (wzgl¦dem zarówno µ jak i λ).

2.3 Miary zespolone

Niech (X, M) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Miar¡ zespolon¡ na (X, M) nazywamy funkcj¦ ν : M → C o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:

ˆ ν(∅) = 0;

ˆ je±li (Ej)j=1jest ci¡giem zbiorów parami rozª¡cznych w M, to ν(Sj=1Ej) =

P

j=1ν(Ej), gdzie szereg po prawej stronie jest zbie»ny bezwzgl¦dnie.

6)Chodzi o nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: dla f, g ∈ L1(λ), f = g λ-prawie wsz¦dzie wtedy i tylko wtedy, gdy REf dλ =R

Eg dλdla ka»dego E ∈ M.

(6)

Zauwa»my, »e miara dodatnia jest miar¡ zespolon¡ tylko wtedy, gdy jest sko«czona.

W oczywisty sposób mo»na miar¦ zespolon¡ przedstawi¢ w postaci ν = νr+ iνi, gdzie νr, νi s¡ (sko«czonymi) miarami znakowanymi.

Deniujemy L1(ν)jako L1r)∩L1i), i dla f ∈ L1(ν)okre±lamyRXf dν :=

R

Xf dνr+ iRXf dνi.

Gdy ν i µ s¡ miarami zespolonymi, piszemy ν ⊥ µ gdy νr ⊥ µr, νr ⊥ µi, νi ⊥ µri νi ⊥ µi. Gdy ν jest miar¡ zespolon¡ i λ jest miar¡ dodatni¡, piszemy ν  λ gdy νr  λ i νi  λ.

Twierdzenie Lebesgue'a  Radona  Nikodýma przyjmuje posta¢:

RN-zesp Twierdzenie 2.5. Niech ν b¦dzie miar¡ zespolon¡, i niech µ b¦dzie σ-sko«- czon¡ miar¡ dodatni¡ na (X, M). Wówczas istniej¡: miara zespolona λ i funkcja f ∈ L1(µ) takie, »e

λ ⊥ µ, dν = dλ + f dµ.

Je±li λ0 ⊥ µ i dν = dλ0+ f0 to λ = λ0 i f = f0 µ-prawie wsz¦dzie.

Wariacj¦ caªkowit¡ miary zespolonej ν deniuje si¦, dla E ∈ M, jako

|ν|(E) := supn

X

j=1

|ν(Ej)| : Ej ∈ M  parami rozª¡czne, E =

[

j=1

Ejo,

a niekiedy, co jest równowa»ne

|ν|(E) := supn

k

X

j=1

|ν(Ej)| : Ej ∈ M  parami rozª¡czne, E = [k

j=1

Ej

o.

Wygodniej jest jednak doj±¢ do tego poj¦cia w nast¦puj¡cy sposób: zachodzi ν  |νr| + |νi| =: µ, zatem, na podstawie Twierdzenia 2.5, istnieje f takie,RN-zespRN-zesp

»e dν = f dµ; kªadziemy d|ν| = |f| dµ.

Fakt 2.6. Niech ν b¦dzie miar¡ zespolon¡ na (X, M). Wówczas (a) |ν|(E) ¬ |ν(E)| dla wszystkich E ∈ M;

(b) ν  |ν|, i d|ν| ma moduª jeden |ν|-prawie wsz¦dzie;

(c) L1(ν) = L1(|ν|), i dla f ∈ L1(ν) zachodzi |RX f dν| ¬RX|f | d|ν|.

Równo±¢ dν = d|ν| d|ν| z cz¦±ci (b) nazywamy rozkªadem biegunowym miary zespolonej ν.

(7)

2.4 Ró»niczkowanie w przestrzeni euklidesowej

Odt¡d, do ko«ca bie»¡cego rozdziaªu, X = Rni M jest σ-ciaªem zbiorów bo- relowskich. m oznacza n-wymiarow¡ miar¦ Lebesgue'a na Rn. B(x; r) oznacza kul¦ otwart¡ w Rn o ±rodku w x i promieniu r.

Zbiór mierzalny, funkcja mierzalna, itp. to zbiór, funkcja, itp. mierzalne w sensie miary Lebesgue'a m. Prawie wsz¦dzie jest rozumiane w sensie miary Lebesgue'a m.

B¦dziemy zajmowali si¦ sytuacj¡, gdy miara znakowana ν jest absolutnie ci¡gªa wzgl¦dem miary Lebesgue'a. Wówczas iloraz

ν(B(x; r)) m(B(x; r))

to warto±¢ ±rednia na kuli B(x; r) pochodnej Radona  Nikodýma f miary znakowanej ν wzgl¦dem m. Naturaln¡ rzecz¡ jest zastanowienie si¦, czy (a je±li tak, to dla jak wielu x) powy»szy iloraz d¡»y, przy r → 0, do warto±ci f w x.

lm:pokrycie Lemat 2.7. Niech C b¦dzie rodzin¡ kul otwartych w Rn, i niech U :=SB∈CB. Dla ka»dego c < m(U) istniej¡ parami rozª¡czne B1, . . . , Bk ∈ C takie, »e

Pk

j=1m(Bj) > c/3n.

W dowodzie wykorzystuje si¦ nast¦puj¡cy lemat Wienera7):

lm:Wiener Lemat 2.8. Niech K ⊂ Rn b¦dzie zbiorem zwartym, i niech {A1, . . . , Ak} b¦dzie jego pokryciem kulami otwartymi. Z pokrycia tego mo»na wybra¢ sko«- czenie wiele parami rozª¡cznych kul B1, . . . , Bm o tej wªasno±ci, »e

K ⊂

m

[

j=1

3Bj,

gdzie 3Bj kul¦ otwart¡, wspóª±rodkow¡ z Bj lecz o promieniu 3 razy wi¦kszym.

Dowód. Za B1 we¹my kul¦ spo±ród Aj o najwi¦kszym promieniu, za B2 kul¦

o najwi¦kszym promieniu spo±ród tych Aj, które s¡ rozª¡czne z B1, za B3

kul¦ o najwi¦kszym promieniu spo±ród tych Aj, które s¡ rozª¡czne z B1 i B3, i tak dalej a» do wyczerpania wszystkich Aj. Zauwa»my, »e je±li jakie±

Ai nie jest »adnym z Bj, musi istnie¢ j takie, i» Ai∩ Bj 6= ∅; ponadto, je±li j jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ o tej wªasno±ci, promie« Ai nie mo»e by¢ wi¦kszy od promienia Bj (istotnie, z wyboru j wynika, »e Ai ∩ B1 = Ai∩B2 = · · · = Ai∩Bj−1 = ∅, za± gdyby promie« Aibyª wi¦kszy od promienia Bj, przeczyªoby to regule wyboru Bj). Z nierówno±ci trójk¡ta wynika, »e Ai ⊂ 3Bj, co ko«czy dowód.

7)Norbert Wiener (1894  1964), matematyk ameryka«ski.

(8)

Dowód Lematu lm:pokrycielm:pokrycie

2.7. Rozpoczniemy od wykorzystania pewnej wªasno±ci mia- ry Lebesgue'a m: dla zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a E zachodzi m(E) = sup{ m(K) : K ⊂ E, K  zwarty } (wewn¦trzna regularno±¢ mia- ry m). W naszym przypadku wynika st¡d, »e istnieje zbiór zwarty K ⊂ U, m(K) > c. Wybieramy sko«czenie wiele zbiorów A1, . . . , Am ∈ C pokrywa- j¡cych K. Lemat Wienera gwarantuje nam, »e mo»na spo±ród nich wybra¢

B1, . . . , Bk takie, »e K ⊂Skj=13Bj. Zatem c < m(K) ¬

k

X

j=1

m(3Bj) = 3n

k

X

j=1

m(Bj).

Mówimy, »e funkcja mierzalna f : Rn→ C jest lokalnie caªkowalna (zapis:

f ∈ L1loc), gdyRK|f (x)| dx < ∞ dla ka»dego ograniczonego zbioru mierzalne- go K ⊂ Rn.

Dla f ∈ L1loc, x ∈ Rn i r > 0 deniujemy Arf (x) jako warto±¢ ±redni¡

funkcji f na kuli B(x; r):

Arf (x) := 1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

f (y) dy.

lm:pomoc1 Lemat 2.9. Dla f ∈ L1loc odwzorowanie

[ (0, ∞) × Rn3 (r, x) 7→ Arf (x) ∈ R ] jest ci¡gªe.

Dowód. Z poprzedniego rozdziaªu wynika, »e m(B(x; r)) = crn, gdzie c = m(B(x; 1)), oraz m(S(x; r)) = 0, gdzie S(x; r) := { y ∈ Rn : ky − xk = r }. Gdy r → r0 i x → x0, to 1B(x;r) 1B(x0;r0) punktowo na Rn \ S(x0; r0). Zatem 1B(x;r) 1B(x0;r0) prawie wsz¦dzie, a ponadto 1B(x;r) ¬ 1B(x0;r0+1)

o ile r < r0 + 12 i kx − x0k < 12. Mo»na wi¦c zastosowa¢ twierdzenie o zbie»no±ci dominowanej, otrzymuj¡c »e RB(x;r)f (y) dy, a co za tym idzie, Arf (x) = c−1r−nRB(x;r)f (y) dy, s¡ ci¡gªe wzgl¦dem (r, x).

Dla f ∈ L1loc deniujemy funkcj¦ maksymaln¡ Hardy'ego8) Littlewooda9) Hf wzorem:

Hf (x) := sup

r>0

Ar|f |(x) = sup

r>0

1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

|f (y)| dy.

8)Godfrey Henry Hardy (1877  1947), matematyk angielski.

9)John Edensor Littlewood (1885  1977), matematyk angielski.

(9)

Funkcja Hf jest mierzalna. Istotnie, wystarczy zauwa»y¢, »e dla ka»dego a ∈ R przeciwobraz (Hf )−1((a, ∞)) toSr>0(Ar|f |)−1((a, ∞)) jest nawet, na podstawie lematu 2.9, otwarty.lm:pomoc1lm:pomoc1

Twierdzenie maksymalne. Istnieje staªa C > 0 taka, »e dla wszystkich f ∈ L1 i α > 0 zachodzi

m({ x ∈ Rn : Hf (x) > α }) ¬ C α

Z

Rn

|f (x)| dx.

Mogªoby si¦ wydawa¢, »e twierdzenie maksymalne mo»na udowodni¢ wy- korzystuj¡c bardziej elementarne rezultaty (przypomina ono nierówno±¢ Cze- byszewa). Jednak»e byªby to ±lepy zauªek, co pokazuje nast¦puj¡cy wynik.

Fakt 2.10. Niech f ∈ L1. Wówczas Hf ∈ L1 (wtedy i) tylko wtedy, gdy f jest funkcj¡ zerow¡.

Dowód. Niech R > 0 b¦dzie takie, »e RB(0;R)|f (x)| dx > 0. Dla ka»dego x ∈ Rn speªniaj¡cego kxk > R zachodzi

Hf (x) ­ 1

m(B(x; R + kxk))

Z

B(x;R+kxk)

|f (y)| dy ­

­ 1

m(B(0; 1))(R + kxk)n

Z

B(0;R)

|f (y)| dy,

za± funkcja po prawej stronie nie nale»y do L1 (zauwa»my, »e par¦ razy wykorzystujemy tu wyniki z wykªadu 1).

Dowód twierdzenia maksymalnego. Oznaczmy Eα := { x ∈ Rn : Hf (x) >

α }. Dla ka»dego x ∈ Eα mo»na znale¹¢ rx > 0 takie, »e Arx|f |(x) > α. Kule otwarte B(x; rx) pokrywaj¡ zbiór Eα, zatem z lematu lm:pokrycielm:pokrycie

2.7 wynika, »e dla ka»dego c < m(Eα)(¬ m(Sx∈EαB(x; rx))) istniej¡ x1, . . . , xk ∈ Eα takie,

»e kule Bj := B(xj; rxj) s¡ parami rozª¡czne oraz Pkj=1m(Bj) > 3−nc. Lecz wtedy

c < 3n

k

X

j=1

m(Bj) ¬ 3n α

k

X

j=1

Z

Bj

|f (y)| dy ¬ 3n α

Z

Rn

|f (y)| dy.

tw-Lebesgue-1 Twierdzenie 2.11. Je±li f ∈ L1loc, to limr→0Arf (x) = f (x) dla prawie wszystkich x ∈ Rn.

(10)

Dowód. Na pocz¡tek, zredukujemy zagadnienie do wykazania, »e dla ka»dego N naturalnego, Arf (x) → f (x)dla prawie wszystkich x speªniaj¡cych kxk ¬ N. Dalej, interesuj¡ nas tylko warto±ci Arf (x) dla 0 < r ¬ 1, a one zale»¡

tylko od f(y) dla kyk ¬ N + 1. Zast¦puj¡c f funkcj¡ f1B(0;N +1) mo»na zaªo»y¢, »e f ∈ L1.

Ustalmy ε > 0. Funkcj¦ f mo»emy aproksymowa¢ funkcj¡ ci¡gª¡ g ∈ L1 tak¡, »eRRn|g(y) − f (y)| dy < ε. Z ci¡gªo±ci g wynika, »e dla ka»dego x ∈ Rn i ka»dej δ > 0 istnieje r > 0 takie, »e ky − xk < r poci¡ga |g(y) − g(x)| < δ, i dalej

|Arg(x) − g(x)| = 1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

(g(y) − g(x)) dy

¬

¬ 1

m(B(x; r))

Z

B(x;r)

|g(y) − g(x)| dy ¬ δ.

Zatem Arg(x) → g(x) gdy r → 0, dla ka»dego x ∈ Rn. Szacujemy

lim sup

r→0

|Arf (x) − f (x)| ¬

¬ lim sup

r→0

|Ar(f − g)(x)| + lim sup

r→0

|Arg(x) − g(x)| + lim sup

r→0

|(g − f )(x)| ¬

¬ H(f − g)(x) + 0 + |(g − f )(x)|.

Poªó»my

Eα := { x ∈ Rn: lim sup

r→0

|Arf (x)−f (x)| } > α, Fα := { x ∈ Rn : |(f −g)(x)| > α }.

Zachodzi

Eα ⊂ Fα/2∪ { x ∈ Rn : H(f − g)(x) > α/2 }.

Miar¦ Lebesgue'a pierwszego skªadnika po prawej stronie szacujemy z nie- równo±ci ε > RFα/2|f (x) − g(x)| dx ­ (α/2)m(Fα/2). Je±li chodzi o drugi, twierdzenie maksymalne daje nam

m({ x ∈ Rn: H(f − g)(x) > α/2 }) ¬ 2C α

Z

Rn

|f (x) − g(x)| dx < 2Cε α . Zatem

m(Eα) < 2(C + 1) α ε,

lecz ε > 0 byª dowolny, wiec m(Eα) = 0dla wszystkich α > 0. Ale zbiór tych x ∈ Rn dla których limr→0Arf (x) = f (x) to dopeªnienie sumy Sk=1E1/k, która to suma ma zerow¡ miar¦ Lebesgue'a.

(11)

Wynik poprzedniego twierdzenia mo»na zapisa¢ w postaci: je±li f ∈ Lloc, to

limr→0

1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

(f (y) − f (x)) dy = 0 dla p. w. x ∈ Rn.

W rzeczywisto±ci, powy»szy wynik pozostaje prawdziwy, gdy pod zna- kiem caªki we¹miemy moduª ró»nicy. Istotnie, zdeniujmy zbiór Lebesgue'a Lf funkcji f wzorem

Lf :=

(

x ∈ Rn: lim

r→0

1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

|f (y) − f (x)| dy = 0

)

.

tw-Lebesgue-2 Twierdzenie 2.12. Je±li f ∈ L1loc to m(Lf) = 0.

Dowód. Dla ka»dego c ∈ C zastosujmy twierdzenie tw-Lebesgue-1tw-Lebesgue-1

2.11 do funkcji gc(x) =

|f (x) − c|, konkluduj¡c, »e dla x-ów spoza Ec, m(Ec) = 0, zachodzi limr→0

1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

|f (y) − c| dy = |f (x) − c|.

Niech D b¦dzie przeliczalnym g¦stym podzbiorem C. Poªó»my E :=Sc∈DEc. Oczywi±cie, m(E) = 0. Ustalmy x ∈ Rn\ E. Dla dowolnego ε > 0 mo»emy znale¹¢ c ∈ D speªniaj¡ce |f(x) − c| < ε. Lecz wtedy |f(y) − f(x)| < |f(y) − c| + ε, zatem

limr→0

1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

|f (y) − f (x)| dy < |f (x) − c| + ε < 2ε.

Jako »e ε > 0 byªo dowolne, zachodzi teza twierdzenia.

Mówimy, »e rodzina {Er}r>0zbiorów borelowskich d¡»y dobrze do x ∈ Rn, gdy

ˆ Er ⊂ B(x; r) dla ka»dego r > 0, oraz

ˆ istnieje staªa α > 0 (niezale»na od r) taka, »e m(Er) > αm(B(x; r)). Zauwa»my, »e nie »¡damy, by x nale»aª do zbiorów Er.

Twierdzenie 2.13 (twierdzenie Lebesgue'a o ró»niczkowaniu). Niech f ∈ L1loc. Wówczas dla ka»dego x ∈ Lf zachodzi

limr→0

1 m(Er)

Z

Er

|f (y) − f (x)| dy = 0

(12)

oraz

limr→0

1 m(Er)

Z

Er

f (y) dy = f (x), gdzie {Er}r>0 jest rodzin¡ dobrze d¡»¡c¡ do x.

Dowód. Szacujemy 1

m(Er)

Z

Er

|f (y) − f (x)| dy ¬ 1 m(Er)

Z

B(x;r)

|f (y) − f (x)| dy ¬

¬ 1

αm(B(x; r))

Z

B(x;r)

|f (y) − f (x)| dy,

i stosujemy twierdzenie tw-Lebesgue-2tw-Lebesgue-2

2.12, otrzymuj¡c pierwsz¡ równo±¢. Z równo±ci tej wynika, »e

r→0lim 1 m(Er)

Z

Er

(f (y) − f (x)) dy = 0, co jest równowa»ne drugiej równo±ci.

Przejdziemy teraz do rozpatrywania pewnej klasy miar. Miar¦ borelowsk¡

ν na Rn nazywamy miar¡ regularn¡, gdy speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:

ˆ dla ka»dego zbioru borelowskiego E ⊂ Rn zachodzi ν(E) = inf{ ν(U ) : U  otwarty, E ⊂ U }, (zewn¦trzna regularno±¢)

ˆ dla ka»dego zbioru borelowskiego E ⊂ Rn zachodzi ν(E) = sup{ ν(K) : K  zwarty, K ⊂ E }.

(wewn¦trzna regularno±¢).

Zachodzi nast¦puj¡cy wynik, który podajemy bez dowodu:

tw:regularna Twierdzenie 2.14. Niech ν b¦dzie miar¡ borelowsk¡ na Rn tak¡, »e ν(K) <

dla ka»dego zbioru zwartego K ⊂ Rn. Wówczas ν jest miar¡ regularn¡.

Zauwa»my, »e miara f dm, gdzie f jest nieujemn¡ funkcj¡ mierzaln¡, speª- nia zaªo»enie powy»szego twierdzenia wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ L1loc.

Borelowsk¡ miar¦ znakowan¡ lub zespolon¡ ν nazywamy regularn¡, gdy jej wariacja caªkowita |ν| jest miar¡ regularn¡.

(13)

tw:rozniczk Twierdzenie 2.15. Niech ν b¦dzie σ-sko«czon¡ borelowsk¡ miar¡ znakowa- n¡ lub zespolon¡ na Rn tak¡, »e |ν|(K) < ∞ dla ka»dego zwartego K ⊂ Rn. Oznaczmy przez dν = dλ + f dm jej reprezentacj¦ Lebesgue'a  Radona  Ni- kodýma. Wówczas dla m-prawie ka»dego x ∈ Rn zachodzi:

r→0lim

ν(Er)

m(Er) = f (x) dla dowolnej rodziny {Er}r>0 dobrze d¡»¡cej do x.

Dowód. Reprezentacja Lebesgue'a  Radona  Nikodýma miary dodatniej |ν|

ma posta¢ d|ν| = d|λ| + |f| dm (dla miar znakowanych wynika to niemal bezpo±rednio z naszej denicji wariacji caªkowitej, dla miar zespolonych jest to bardziej skomplikowane). Dla ka»dego zwartego K ⊂ Rn zachodzi

R

K|f |dm + |λ|(K) = |ν|(K) < ∞, sk¡d wynika, »e f ∈ L1loc. Korzystaj¡c zatem z twierdzenia Lebesgue'a o ró»niczkowaniu, mo»na dowód sprowadzi¢

do wykazania, »e dla m-prawie ka»dego x ∈ Rn, λ(Er)/m(Er) → 0 gdy Er

d¡»¡ dobrze do x. Dalej, wystarczy wzi¡¢ Er = B(x; r) i zaªo»y¢, »e λ jest miar¡ dodatni¡, gdy»

λ(Er) m(Er)

¬ |λ|(Er)

m(Er) ¬ |λ|(B(x; r))

m(Er) ¬ |λ|(B(x; r)) α m(B(x; r)).

Jako »e λ ⊥ m, mo»na znale¹¢ zbiór borelowski A taki, »e λ(A) = m(Rn\A) = 0. Oznaczmy

Fk :=

(

x ∈ A : lim sup

r→0

λ(B(x; r)) m(B(x; r)) > 1

k

)

.

Wyka»emy, »e m(Fk) = 0dla wszystkich k naturalnych. Na podstawie twier- dzenia tw:regularnatw:regularna

2.14, dla ka»dego ε > 0 istnieje zbiór otwarty Uε ⊃ A taki, »e λ(Uε) < ε. Dla ka»dego x ∈ Fk mo»na znale¹¢ kul¦ otwart¡ Bx ⊂ Uε, o ±rod- ku w x, tak¡, »e λ(Bx) > 1km(Bx). Oznaczmy Vε := Sx∈FkBx. Na postawie lematu lm:pokrycielm:pokrycie

2.7, dla ka»dego c < m(Vε) istniej¡ x1, . . . , xJ takie, »e Bx1, . . . , BxJ s¡ parami rozª¡czne, oraz

c < 3n

J

X

j=1

m(Bxj) ¬ 3nk

J

X

j=1

λ(Bxj) ¬ 3nkλ(Vε) ¬ 3nkλ(Uε) < 3nkε.

Poniewa» c < m(Vε)jest dowolne, zachodzi m(Vε) = sup{c < m(Vε)} ¬ 3n. Zatem m(Fk) ¬ m(Vε) ¬ 3nkε, lecz ε > 0 jest dowolny, wi¦c m(Fk) = 0.

Wykazali±my, »e dla ka»dego x nale»¡cego do A \Sk=1Fk, peªnej miary m, λ(Er)/m(Er) → 0gdy Er d¡»¡ dobrze do x.

(14)

2.5 Funkcje o wahaniu sko«czonym

Dla funkcji niemalej¡cej F : R → R oznaczamy, dla ka»dego x ∈ R, granic¦

lewostronn¡ [prawostronn¡] w x przez F (x−) [F (x+)].

Niech F : R → R b¦dzie funkcja niemalej¡c¡ i prawostronnie ci¡gª¡. Dla a < b poªó»my µF((a, b]) := F (b) − F (a). Przedziaªy postaci (a, b] generuj¡

σ-ciaªo borelowskich podzbiorów R, i standardowa konstrukcja Carathéo- dory'ego daje nam miar¦ zupeªn¡ (oznaczan¡ te» przez µF) zdeniowan¡ na pewnym σ-ciele, którego σ-ciaªo zbiorów borelowskich jest (wªa±ciw¡) pod- rodzin¡. Ponadto, dla ka»dego ograniczonego borelowskiego K ⊂ R mamy µF(K) < ∞. Zachodzi

µF({a}) = F (a) − F (a−), µF([a, b)) = F (b−) − F (a−), µF([a, b]) = F (b) − F (a−), µF((a, b)) = F (b−) − F (a).

Miar¦ µF nazywamy miar¡ Lebesgue'a  Stieltjesa stowarzyszon¡ z F . Je±li G jest te» niemalej¡ca i prawostronnie ci¡gªa, to µF = µG wtedy i tylko wtedy gdy F − G jest funkcj¡ staª¡.

Z drugiej strony, gdy µ jest miar¡ borelowsk¡ na R o tej wªasno±ci, »e miara ka»dego ograniczonego zbioru borelowskiego jest sko«czona, to funkcja F : R → R zdeniowana wzorem

F (x) :=

µ((0, x]), gdy x > 0

0, gdy x = 0

−µ((x, 0]), gdy x < 0

jest niemalej¡ca i prawostronnie ci¡gªa, oraz uzupeªnienie miary µ jest równe µF.

tw:rozniczk2 Twierdzenie 2.16. Niech F : R → R b¦dzie niemalej¡ca, i niech G(x) :=

F (x+). Wówczas G jest niemalej¡ca i prawostronnie ci¡gªa, F i G s¡ ró»- niczkowalne p.w., oraz F = G p.w.

Dowód. Wiadomo, »e zbiór punktów nieci¡gªo±ci funkcji F jest co najwy»ej przeliczalny, i »e w ka»dym takim punkcie zachodzi F (x−) < F (x+).

Funkcja G jest niemalej¡ca, poniewa» dla x < y mamy G(x) = F (x+) ¬ F (y−) ¬ F (y+) = G(y). F = G poza (by¢ mo»e, niektórymi) punktami nieci¡gªo±ci funkcji F . Aby wykaza¢ prawostronn¡ ci¡gªo±¢ funkcji G, za- uwa»my, »e G(x+) = inf{ G(y) : x < y }, lecz, poniewa» dowolnie blisko punktu x znajduj¡ sie y > x w których G = F , prawa strona jest równa inf{ F (y) : x < y } = G(x).

(15)

Zachodzi

G(x + h) − G(x)

h =

µG((x, x + h])

h = µG((x, x + h])

m((x, x + h]), dla h > 0,

−µG((x + h, x])

h = µG((x + h, x])

m((x + h, x]), dla h < 0.

Rodziny {(x−r, x]}r>0 i {(x, x+r]}r>0 dobrze d¡»¡ do x, ponadto miara Le- besgue'a  Stieltjesa µG przyjmuje sko«czone warto±ci na zbiorach zwartych, zatem mo»na zastosowa¢ twierdzenie tw:rozniczktw:rozniczk

2.15 i wywnioskowa¢, »e dla prawie wszystkich x pochodne lewo- i prawostronne funkcji G istniej¡ i s¡ równe pochodnej Radona  Nikodýma w reprezentacji Lebesgue'a  Radona  Niko- dýma, zatem s¡ sobie równe.

Zako«czymy dowód pokazuj¡c, »e dla H := G − F pochodna H0 istnieje i jest równa zeru p.w. Niech {xj}j=1 oznacza wszystkie punkty w których H 6= 0. Zachodzi H(xj) > 0, i ponadto P{j:|xj|<N }H(xj) < ∞ dla ka»dego N naturalnego. Deniujemy miar¦ µ := Pj=1H(xjj, gdzie δj to miara jednostkowa skupiona w xj. Miara borelowska µ jest sko«czona na zbiorach zwartych; ponadto, poniewa» m({xj}j=1) = µ(R \ {xj}j=1) = 0, miary µ i m s¡ wzajemnie osobliwe. Szacujemy

H(x + h) − H(x) h

¬ H(x + h) + H(x)

|h| ¬ 2µ([x − |h|, x + |h|])

2|h| ,

i zauwa»amy, »e skrajna prawa strona d¡»y, na podstawie twierdzenia tw:rozniczktw:rozniczk

2.15, do zera dla p.w. x ∈ R.

Niech F : R → C. Zdeniujmy TF(x) := sup

 n

X

j=1

|F (xj)−F (xj−1)| : n ∈ N, −∞ < x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = x



.

TF nazywamy funkcj¡ wahania caªkowitego funkcji F . Zauwa»my, »e doª¡cze- nie dodatkowych punktów podziaªu mo»e uczyni¢ sum¦ w powy»szej denicji co najwy»ej wi¦ksz¡. Wynika st¡d, »e dla a < b zachodzi

eq:wah

eq:wah (2.1) TF(b) − TF(a) =

= sup

 n

X

j=1

|F (xj) − F (xj−1)| : n ∈ N, a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b



.

TF jest funkcj¡ niemalej¡c¡, o warto±ciach z [0, ∞]. Je±li TF(∞) := limx→∞TF(x) jest sko«czona, mówimy, »e F jest funkcj¡ o wahaniu ograniczonym. Oznacz- my przestrze« liniow¡ takich funkcji przez BV .

(16)

Wyra»enie po prawej stronie wzoru (eq:waheq:wah2.1) nazywamy wahaniem caªkowitym funkcji f na [a, b], i oznaczamy V (f; [a, b]). Niech BV ([a, b]) oznacza zbiór wszystkich funkcji okre±lonych na [a, b], których wahanie caªkowite na [a, b]

jest sko«czone. Je±li F ∈ BV , jej obci¦cie do dowolnego [a, b] ma sko«czone wahanie caªkowite na [a, b]. Z drugiej strony, je±li F ∈ BV ([a, b]) to mo»emy F przedªu»y¢ do funkcji nale»¡cej do BV kªad¡c F (x) = F (a) dla x < a i F (x) = F (b) dla x > b. Pozwoli nam to przenie±¢ wyniki udowodnione dla funkcji z BV na funkcje z BV ([a, b]).

Przykªad 1. Je±li F : R → R jest niemalej¡ca i ograniczona, to F ∈ BV . Wówczas TF(x) = F (x) − F (−∞).

Przykªad 2. Je±li F : R → R jest niemalej¡ca, to F ∈ BV ([a, b]) dla dowolnych −∞ < a < b < ∞.

Przykªad 3. Je±li F, G ∈ BV i α, β ∈ C, to αF + βG ∈ BV .

Przykªad 4. Je±li funkcja F : [a, b] → C speªnia warunek Lipschitza10) na [a, b], to F ∈ BV ([a, b]).

Przykªad 5. Je±li F : R → C jest ró»niczkowalna na R i jej pochodna F0 jest ograniczona, to F ∈ BV ([a, b]) dla dowolnych −∞ < a < b < ∞.

Przykªad 6. Dla F (x) = sin x, F ∈ BV ([a, b]) dla dowolnych −∞ < a <

b < ∞, lecz F /∈ BV .

Przykªad 7. Funkcja F : R → R zadana wzorem F (x) = x2sin(1/x2) dla x 6= 0, F (0) = 0, jest wsz¦dzie ró»niczkowalna, lecz F /∈ BV ([a, b]) o ile a ¬ 0 < b lub a < 0 ¬ b.

lm:rozklad Lemat 2.17. Dla funkcji rzeczywistej F ∈ BV , funkcje TF + F i TF − F

rosn¡ce.

Dowód. Niech x < y i ε > 0. Wybierzmy x0 < . . . < xn = xtakie, »e

n

X

j=1

|F (xj) − F (xj−1)| ­ TF(x) − ε.

WówczasPnj=1|F (xj) − F (xj−1)| + |F (y) − F (x)|jest sum¡ w denicji TF(y), zatem

TF(y) ± F (y) ­

­

n

X

j=1

|F (xj) − F (xj−1)| + |F (y) − F (x)| ± (F (y) − F (x)) ± F (x) ­

­ TF(x) − ε ± F (x).

10)Funkcja F : [a, b] → C speªnia warunek Lipschitza na [a, b] je±li istnieje L > 0 takie,

»e |F (x) − F (y)| ¬ L|x − y| dla dowolnych x, y ∈ [a, b].

(17)

Jako »e ε > 0 byªo dowolne, zachodzi TF(y) ± F (y) ­ TF(x) ± F (x). tw:rozklad Twierdzenie 2.18.

(a) F ∈ BV wtedy i tylko wtedy, gdy Re F ∈ BV i Im F ∈ BV .

(b) Je±li F : R → R, to F ∈ BV wtedy i tylko wtedy, gdy F jest ró»nic¡

dwóch funkcji ograniczonych i niemalej¡cych. W tym ostatnim przypad- ku, za te funkcje mo»na wzi¡¢ 12(TF + F ) i 12(TF − F ).

(c) Je±li F ∈ BV , to istniej¡ (w sensie granicy sko«czonej )

ˆ F (x−) := limy→xF (y), dla ka»dego x ∈ R,

ˆ F (x+) := limy→x+F (y), dla ka»dego x ∈ R,

ˆ F (−∞) := limy→−∞F (y),

ˆ F (∞) := limy→∞F (y).

(d) Je±li F ∈ BV , to zbiór punktów nieci¡gªo±ci funkcji F jest co najwy»ej przeliczalny.

(e) Je±li F ∈ BV i G: R → C jest zdeniowana wzorem G(x) = F (x+) dla wszystkich x ∈ R, to F0 i G0 istniej¡ i s¡ równe prawie wsz¦dzie.

Dowód. Cz¦±¢ (a) jest oczywista. Implikacja wtedy w cz¦±ci (b) jest prosta.

Aby wykaza¢ tylko wtedy w (b), zauwa»my, »e, na podstawie lematu lm:rozkladlm:rozklad2.17, F = 12(TF + F ) − 12(TF − F ) wyra»a F jako ró»nic¦ dwóch funkcji niemale- j¡cych. Dalej, dla x < y zachodz¡ nierówno±ci

TF(y) ± F (y) ­ TF(x) ± F (x), z czego wynika, »e

|F (y) − F (x)| ¬ TF(y) − TF(x) ¬ TF(∞) − TF(−∞) < ∞,

zatem F , a st¡d i TF± F, s¡ ograniczone. Cz¦±ci (c), (d) i (e) wynikaj¡ z (a), (b) oraz twierdzenia tw:rozniczk2tw:rozniczk2

2.16.

Przedstawienie F = 12(TF + F ) − 12(TF − F ) funkcji rzeczywistej F o wahaniu ograniczonym nazywamy rozkªadem Jordana funkcji F , a funkcje niemalej¡ce 12(TF+ F )i 12(TF− F ) to wahanie dodatnie i ujemne tej funkcji.

Oznaczaj¡c x+ := max(x, 0) = 12(|x| + x) i x+ := max(−x, 0) = 12(|x| − x) dla x ∈ R, mamy

1

2(TF ± F ) =

= sup

 n X

j=1

(F (xj) − F (xj−1))±: a = x0 < . . . < xn



±12F (−∞).

(18)

Deniujemy teraz podprzestrze« NBV znormalizowanych funkcji o wa- haniu ograniczonym:

N BV := { F ∈ BV : F jest ci¡gªa prawostronnie i F (−∞) = 0 }.

Dla funkcji F ∈ BV oznaczmy G(x) := F (x+) − F (−∞), x ∈ R. Z twier- dze« tw:rozniczk2tw:rozniczk2

2.16 i tw:rozkladtw:rozklad2.18 natychmiast wynika, »e G jest prawostronnie ci¡gªa, ma wahanie ograniczone i F0 = G0 p.w.

Lemat 2.19. Je±li F ∈ BV , to TF(−∞) = 0. Je±li ponadto F jest prawo- stronnie ci¡gªa, to TF te» jest.

Dowód. Wybierzmy ε > 0 i x ∈ R. Istniej¡ x0 < . . . < x takie, »e

n

X

j=1

|F (xj) − F (xj−1)| ­ TF(x) − ε.

Ze wzoru (2.1) wynika, »e Teq:waheq:wah F(x) − TF(x0) ­ TF(x) − ε, wi¦c TF(y) ¬ ε dla y ¬ x0. Zatem TF(−∞) = 0.

Zaªó»my, »e F jest prawostronnie ci¡gªa. Ustalmy x ∈ R i ε > 0. Poªó»my α := TF(x+) − TF(x), i wybierzmy δ > 0 takie, »e dla 0 < h < δ zachodzi

|F (x + h) − F (x)| < ε i TF(x + h) − TF(x+) < ε. Dla ka»dego takiego h istniej¡ x ¬ x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn= x + h takie, »e

n

X

j=1

|F (xj) − F (xj−1)| ­ 34(TF(x + h) − TF(x)) ­ 34α, zatem

n

X

j=2

|F (xj) − F (xj−1)| ­ 34α − |F (x1) − F (x0)| ­ 34α − ε.

Z drugiej strony, istniej¡ x = t0 < t1 < . . . < tm−1 < tm = x1 takie, »e

Pm

j=1|F (tj) − F (tj−1)| ­ 34α, wi¦c

α + ε > (TF(x+) − TF(x)) + (TF(x + h) − TF(x+)) = TF(x + h) − TF(x) =

=

m

X

j=1

|F (tj) − F (tj−1)| +

n

X

j=2

|F (xj) − F (xj−1)| =

= 32 − ε.

Skoro α < 4ε, a ε > 0 byª dowolny, musi zachodzi¢ α = 0.

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :