Metoda graficzna wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych fazowych na podstawie znanych charakterystyk częstotliwościowych amplitudowych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seriaj ELEKTRYKA, z. 62

_______ 1978 Kr kol. 573

Aleksander L. LATKA Politechnika Śląska

Instytut Metrologii Elektrycznej i Elektronicznej

METODA GRAFICZNA WYZNACZENIA CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH FAZOWYCH NA PODSTAWIE ZNANYCH CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH AMPLITUDOWYCH

Streszczenie. W artykule przedstawiono twierdzenia i ich dowody określające własności charakterystyk częstotliwościowych fazowych i amplitudowych obiektów minimalnofazowych. Pokazano matematyczne u- zasadnienie metody graficznej i samą metodę wyznaczania charaktery­

styk częstotliwościowych fazowych na podstawie wykresu charaktery­

styk częstotliwościowych amplitudowych. Metodę zilustrowano przy­

kładem.

1. Wprowadzenie

Właściwości dynamiczne obiektów określają jednocznacznie ich charakte­

rystyki częstotliwościowe! amplitudowe i fazowe. Pomiar tych charaktery­

styk szczególnie w warunkach normalnej pracy obiektów może natrafić na trudności.

Obecnie pojawiły się nowe możliwości przy zastosowaniu wymuszania sy­

gnałami stochastycznymi, chociaż i w tym przypadku nie ma możliwości bez­

pośredniego uzyskania zależności fazowych. Także w przypadku pobudzenia obiektów sygnałami harmonicznymi pomiar charakterystyk częstotliwościo­

wych fazowych (ch.cz.faz.) jest trudniejszy niż pomiar charakterystyk czę­

stotliwościowych amplitudowych (ch.cz.ampl.).

W artykule przedstawiono niektóre wyniki badań, a mianowicie twierdze­

nia opisujące zależności między ch.cz.faz. i ch.cz.ampl. oraz graficzną metodę obliczania fazy na podstawie danej wykreślnie ch.cz.ampl. Metoda graficzna została zasygnalizowana przez Bodega [1] , a potem m.in. przez Op- pelta [5]« W obu przypadkach nie podano uzasadnienis matematycznego meto­

dy. W pracy przedstawiono przesłanki matematyczne metody graficznej.

28 Aleksander Ł. Łatka

2. Własności zachodzące miedzy charakterystykami częstotliwościowymis am­

plitudowa i fazowa

W przypadku układów minimalnofazowych między charakterystykami często­

tliwościowymi s fazową i amplitudową zachodzą ściśle określone zależności opisane uogólnionym przekształceniem Hilberta [2] :

przy czymś

G(/\) - charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa,

<?(«) -- charakterystyka częstotliwościowa fazowa, (d - pulsacja,

A - pulsacja będąca zmienną całkowania.

Wzór (1) można przekształcić do postaci wzoru całkowego Bodego[1] s

Można udowodnić szereg twierdzeń o charakterystykach częstotliwościo­

wych! amplitudowych i fazowych [3] •

Tł I. Twierdzenie o przesunięciu ch.cz.ampl. w pionie (rys. 1).

(

)

—oo

OQ

( 2 )

Jeśli ln G(^) = SHw) oraz GQ > 0 , to i

In G(a) + Xn G0 = iP(oo) (3)

Rys. 1. Ilustracja Tw. I o przesunięciu ch.cz.ampl. w pionie

Metoda graficzna wyznaczenia charakterystyk..» 29

D o w ó d : Dla dowodu wykonano przekształcenia wykorzystując wzór

(2):

r[..f ,l„) - _ j2oj f ln G (*)+ln G0 2«

7

Ponieważ druga całka we wzorze (4) (na podstawie.tablic [4]) wynosi ze­

ro, więc:

<?*(u) B <?(oj).

Tw. XI. Twierdzenie o przesunięciu ch.cz.ampl. w dziedzinie częstotli­

wości (rys. 2).

Jeśli ln G(A) — 9(w) oraz 0)0 > 0, to:

ln G( A + osq) = 9( w o + w ). (5)

Rys. 2. Ilustracja Tw. II o przesunięciu ch.cz.ampl. w dziedzinie często­

tliwości

D o w ó d : Dla dowodu wykonano przekształcenie wzoru (1):

9>*(<o)

+.»= la G( A + co.)

dA

+T

podstawiono z a A + « o , dz = dA

30 Aleksander 1. Łatka Tw. III. Twierdzenie o zmianie współczynnika nachylenia ch.cz.ampl.

(rys. 3).

Jeśli ln G (A) = <p(w) oraz n - dowolna 1. rzeczywista, toi

n ln G(A) = n 9(o>) (6)

D o w ó di Dla dowodu posłużono się wzorem (2)«

oo 0 0

9 » - lii. f n la d - n f ia-lill dA - n <P(W).

17 J0 A2 - 0) 77 J Tf- W 2

Tw. IV. Twierdzenie o przeciwności charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej (rys. 4).

Jeśli ln G(A) = 9(<o), toł

- ln G(A) = - ¥(w). (7)

D o w ó dt Dla dowodu wykonano przekształcenia wykorzystując wzór (2)«

©o oO

/(») „ f zinJŁi£l d* - - f iaf i ą dA - - 9(0)).

77 J A2- u 2 17 JQ A - o)

Twierdzenie IV jest szczególnym przypadkiem Tw. III.

Metoda graficzna wyznaczenia charakterystyk».. 31

Rys. 4. Ilustracja Tw. IV o charakterystyce przeciwnej

Rys. 5. Ilustracja Tw. V o superpozycji charakterystyk

Tw. V. Twierdzenie o superpozycji charakterystyk (rys. 5).

Jeśli ln CS., (?0 = ^(w), ln G 2 U ) <p2 (w), to«

ln G(A) = ln G^ (A) + ln G 2 (A) = <P(«0 = <p., («0 + <f>2 (“>). (8)

32 Aleksander L. Łatka D o w ó d : Dla dowodu wykorzystano wzór (2):

ln G.,(A) + ln G 2(ft)

Twierdzenie V jest oczywiste ze względu na warunek liniowości tranami- tancji widmowych zawarty w założeniach przetworników minimalnofazowych.

Twierdzenia od I do V mogą być wykorzystywane w praktyce przy rozwią­

zywaniu wielu problemów przy użyciu charakterystyk częstotliwościowycn:

amplitudowych i fazowych.

Wnioski z przedstawionych twierdzeń są szczególnie użyteczne w meto­

dzie graficznej wyznaczania ch.cz.faz. na podstawie wykresu ch.cz. ampli­

tudowej, pokazanej w p. 3.

3. Graficzna metoda wyznaczania charakterystyki częstotliwościowej fazo­

wej na podstawie wykresu charakterystyki częstotliwościowej amplitudo-

Transmitancję widmową przetworników spełniających warunek minimalnefa- zowości można przedstawić ogólnie w postaci iloczynowej:

Ze wzoru (9) widać, że dowolną transmitancję widmową można słożyć z (względnie rozłożyć na) kombinacji czynników:

wej

D L

(9)

(10a)

i

(10b)

przy czym: £i = <o T jest częstotliwością bezwymiarową.

34 Aleksander L. Łatka

Rys. 7. Szablony transmitancji widmowej [1 + j£i 2b + (jfii )2]^-1

a) logarytmiczna charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka często­

tliwościowa fazowa, c) nomogram charakterystyki cz. fazowej dla różnych współczynników tłumienia b

b-<WS

-u* -<r -y ■

~o? ¿3 o.« oo.fc oyoji&i W i a,s i ifi i i « ? 8 i

ew* -iłaji - w -iw'

-iar-ww-W -«V ««.» -n«i -ilW

-iuo* -'■n.c-iyj

“W 4 1.5 -wss* - ws"

- * - T . r -iii,«' -«»•

-HM «W*

, . t ; i a—

-nw -# ./),•

(is.r -nu-w - - i r r » -V -wy -U* -trf-łil

O .łi.T 0 /0 ,8 1

-tK* jj»5* -inr-fat*

-«w - ar 1 -i»/ trr-nir w 0,1 O.S 0.S ł.e 0.4 0.T »¿»»I l,S *1 ¿1 i 35* s t i t » « 44

SI.<*-5«7- fc'V . -»>• . -'ML*'. -eo*-(Hli*

-ił* -;«* -;%3J-i8,r -a» - w -»y -ią«*-i4a.‘-wuwaf - w * * -)ro> -mr -w.r.4*

0 3 0,4 4,6 0 0 4 ,7 4 3 0 » 4

-ii,r r>' V

-U,4* -SM' -4\4*-ły*-M* -Uf y

43 3 2,S 3 SJS 4 5

« U ‘- mfiiu/i - I W -HU' -I

6 7 » » » -Kjrj*-»

-#v -«• -w-mr-fu?

tf - M M I * -/Cli. .MHO.IUA ®lM|t 0*» O.S « V 0O0.T 4 » 0.» * i » 3 Ł S ł 3 3 ^ * 6 7 8 » 4 0

iO^Cita)

O-)

Metoda graficzna wyznaczenia charakterystyk.. 35

Czynniki (lOa) i (lOb) można przedstawić wykreślnie na płaszczyźnie Bodego w postaci uniwersalnych szablonów.

Ma rys. 6a i b oraz na rys. 7a i b pokazano przykład wykonania szablo­

nów oddzielnie dla logarytmicznej ch.cz.ampl. w dB i oddzielnie dla ch.

cz.faz. w funkcji częstotliwości w skali logarytmicznej. Wykresy szablo­

nów dla przypadków wykładników +1 i -1 we wzorach (,10a i b) są lustrzany­

mi odbiciami względem linii 0 dB i 0°. Na rys. 6d i 7c zamieszczono nomo- gramy odpowiadające wykresom ch.cz.faz.

Człon ■ ze wzoru (9) daje stałe przesunięcie fazowe zależne od stop- (j")

nia wykładnika Ni

arg — k-Tj - - 90° N. (11)

(j“ )

Na podstawie szablonów względnie nomogramćw można skomplikowane wykre­

sy logarytmicznych charakterystyk amplitudowych rozłożyć na człony podsta­

wowe. Wykorzystując przy tym fakt, że zarówno amplitudę w postaci log|G(j6S)| jak i kąt fazowy w postaci arg G (jfó) poszczególnych członów podstawowych sumuje się:

log (G(jsa)| - S logG.ljti), (12)

i 1

arg G (jw) - ^ 2 arg G^jft). (13)

Można, przyporządkowując każdemu członowi log|G(jił)| jego odpowiednik kąta fazowego arg G(j&), złożyć wykres charakterystyki częstotliwościowej fazowej.

Czynności manualne metody graficznej są ułatwione, gdy rozpatrywana ch.

cz.ampl. jest wykreślona w identycznej skali częstotliwości co szablony lub nomogramy, ap. aa dwulogarytmlcznym papierze milimetrowym.

Na rys. 8 zilustrowano proponowaną metodę graficzną przykładem - wyzna­

czając ch.cz.faz. na podstawie danej wykreślnie ch.cz.ampl. Dla ułatwie­

nia oraz wyeliminowania pomyłek logarytmiczną charakterystykę amplitudową aproksymowano stycznymi uzyskując asymptotyczną charakterystykę amplitudo­

wą. Nad punktami załamań charakterystyki umieszczono symbolicznie ozna- oaenia elementów składowych. Przy składaniu ch.cz.faz. posłużono się no- mogramem, którego konstrukcja jest pokazana na rys. 6d. Dokładność metodv graficznej zależy od wielu czynników: np. wprawy osoby posługującej się metodą, ilości członów, na które rozłożono ch.cz.ampl., dokładnoscx wyko­

nania szablonów lub nomogramów, dokładności wyrysowania wykresów itp.

36

Rys.

Aleksander Ł. Łatka

10 Lee CąiSO

O v'a 'mjj___ ;_______7 yw______ a______ -4

»r ivr w tx łr!*r ‘V twr < -w*- iy- tit »kA-fi yA- «>x*________iłi -«.r -».»• -w - w -iiy-itf - y -yi-f y -¡w - w - i t f »? V

■ 1 ' * '■ "t Z. i.. .. J ,1 .. K.łt.ti.* . 1 1 u» .IM -łll* - Łll* *711*

»»i io*Ł

•łlĄi

to

o -2.0

-«o

-«o

-1»

-Uo

H T U ^ B T «• <y . r •££_

i> •> •'* M «> M W '

jiŁ

X

.

8. Ilustracja metody graficznej wyznaczania oh.cz.faz. na podstawie ch.cz.ampl.

Metoda graficzna wyznaczenia charakterystyk.. 37

4. Zakończenie

W rozwiązywaniu zagadnień mających na celu uzyskanie ch.cz.faz. z po­

wodzeniem można powszechnie stosować metodę graficzną z uwzględnieniem treści twierdzeń od I do V.

Pewną niedogodnością metody graficznej jest pracochłonność (widać to z przytoczonego przykładu) oraz problematyczność w precyzyjnym określeniu dokładności.

LITiRATURA

[1] Bode H.W.t Network Analysis and Feedback Amplifier Design, New York 1946.

[2] Osiowski J.i Zarys rachunku operatorowego, WNT, Warszawa 1972.

[3] Peters J . t Einschwingvorgänge. Gegenkopplung. Stabilität, Springer - Verlag 1954.

[4] Bizik I.M., Gradsztejn I.S.t Tablicy intiegrałow, sum, rjadow i pro- izwiedienij, GITTA Moskwa 1951.

[5] Oppelt W.s Poradnik techniki regulacji, PWNT, Warszawa 1958.

[6] Takahashi Y., Rabina M.J.. Ausländer D.M.i Sterowanie i systemy dyna­

miczne, WUT, Warszawa 197o.

rPA$H9ECKHii METOÄ OnPEHEJLEHHH 9A309ACT0THHX XAPAKTEPHCTHK HA OCHOBAHHH 3HAKQMCTBA AMHHHT7AHHX HACTOTHHX XAPAKTEPHCTHK

P e 3 u m e

B cTaTbe npH Be ^ eH U leopeuu a n x AOKasaiezbcTBa onpe^ejiHzmHe CBoitciBa $a- 3oqacToiKŁoc a aunjiHTyAHHx qaciOTHUz xapaKiepaoiaa MEBHnaxbB0-d>a30Bux oCben- t o b. HaHO uaTeuaTaaecKoe oĆocHOBaaae rpaifaaeoKoro netowa a cau m o t o ä onpe- A s a e Ba a <Jja30EacT0THHx xapaKiepacTax Ha ocaoBe rpatfmica awuiHTyAHHX qacTOTHUx xapaKiepaciHK. M e r o * MJUDCTpapyeica npauepoii.

A GRAPHICAL METHOD OF PHASE FREQUENCY CHARACTERISTICS ON THE BASIS OF KNOWN ATTENUATION CHARACTERISTICS

S u m m a r y

The paper presents theorems and their proofs determining properties of phase frequency characteristics and attenuation characteristics for ob­

jects of a minimum phase shift type.

A mathematical justification of the graphical for a phase frequency characteristics calculation has been shown on the basis of graphical at­

tenuation characteristics. The method been illustrated exemplarily.