DOI: 10.17512/znb.2016.1.27
Mariusz Poński1
WYMIAROWANIE PRZEKROJÓW POZIOMYCH
KOMINÓW ŻELBETOWYCH W STANIE GRANICZNYM NOŚNOŚCI
WG PN-EN - ALGORYTM OBLICZENIOWY
Wprowadzenie
Wprowadzenie norm europejskich do praktyki projektowania stworzyło potrze-bę zbudowania algorytmów obliczeniowych opartych na nowych założeniach zawartych w tych opracowaniach. Dotychczasowe podejście stosowane w polskich normach opierało się na podaniu gotowego zbioru zależności, zestawionych w od-powiedniej kolejności. Zadaniem projektanta było natomiast przeprowadzenie obliczeń na podstawie takiego algorytmu i sprawdzenie odpowiednich warunków granicznych. Aktualne podejście, stosowane w normach europejskich, przypomina w wielu przypadkach zbiór zaleceń oraz wytycznych. Zadaniem projektanta jest natomiast zbudowanie odpowiedniego algorytmu obliczeniowego. W przypadku norm europejskich dotyczących projektowania kominów żelbetowych [1, 2], wprowadzonych w języku angielskim, można napotkać pewną trudność w ich wy-korzystaniu do wymiarowania tychże konstrukcji. Przedmiotowa trudność dotyczy głównie konieczności korzystania z dokumentu nieprzetłumaczonego na język polski oraz konieczności wykorzystania dodatkowych źródeł w celu zbudowania odpowiedniego narzędzia w postaci algorytmu obliczeniowego. Istnieją obecnie nieliczne polskojęzyczne opracowania związane z ww. tematyką. W tym miejscu należy wymienić prace Lechmana [3-5]. W pracach tych przedstawiono spójne podejście do wymiarowania kominów żelbetowych, podając szereg niezbędnych założeń oraz wzorów. Niniejsza praca ma na celu usystematyzowanie zagadnień związanych z metodą wymiarowania przekrojów poziomych w stanie granicznym nośności przez podanie zasad budowania odpowiednich nomogramów dla dowol-nego gatunku stali zbrojeniowej.
1 Politechnika Częstochowska, Wydział Budownictwa, ul. Akademicka 3, 42-200 Częstochowa,
1. Równania żelbetowego przekroju pierścieniowego w stanie granicznym nośności
W celu zbudowania algorytmu do wyznaczania granicznych wartości siły osio-wej i momentu zginającego należy zestawić szereg zależności opartych na równa-niach równowagi sił przekrojowych. Równania przedstawione poniżej bazują na rozwiązaniu Lechmana [3-5], w związku z czym opierają sie na tych samych nie- liniowych związkach fizycznych oraz geometrycznych. W ww. rozwiązaniu rozpa- trywano również przypadek występowania jednego lub wielu otworów w przekroju. W niniejszej pracy to zagadnienie zostało pominięte, ponieważ, zdaniem autora, rozszerzenie niżej zaprezentowanego algorytmu do takiego przypadku jest stosun-kowo proste. Przyjęto również założenie, że promień rs określający położenie środ- ków ciężkości stali zbrojeniowej jest równy promieniowi środkowemu pierścienia
m
r (rys. 1, 2). Podobnie jak w pracy [5] przyjęto uproszczenie, że wpływ stosunku grubości ścianki pierścienia do promienia R można pominąć. Zgodnie z metodą stanów granicznych, przedstawianą w normach żelbetowych, przyjęto, że wyczer-panie nośności ze względu na siłę osiową i moment zginający dla mimośrodowo ściskanego przekroju pierścieniowego następuje w momencie pojawienia się
gra-nicznych odkształceń betonu wywołanych ściskaniem 2,0‰
cu
ε = − , lub granicznych
odkształceń stali wywołanych rozciąganiem 5, 0‰
su
ε = (konstrukcje istniejące), 10, 0‰
su
ε = (konstrukcje projektowane) [5].
W celu zbudowania odpowiednich krzywych interakcji poniżej przedstawiono trzy zestawy równań. Pierwszy zestaw dotyczy przekroju zginanego przy stałej
wartości odkształcenia betonu 2,0‰
cu
ε = − (rys. 1). Drugi zestaw dotyczy również zginania, ale przy stałej wartości odkształcenia stali rozciąganej 5, 0‰
su
ε = (lub
10, 0‰
su
ε = ). Trzeci zestaw dotyczy natomiast przekroju, dla którego siła ściska-jąca znajduje się wewnątrz rdzenia przekroju (występują naprężenia i odkształce-nia jednego znaku, rys. 2).
Pierwszy zakres zginania:
Bezwymiarowa graniczna osiowa siła podłużna:
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
1 2 1 3 2 1 1 ' 0, 25 ' , 1 1 1 ' su su su su Rd su c yk a su su su a su s ss s ck X X n f X f α α α µ ε ε ε ε ε ε ε µ γ π α ε ε ε ε π α ε µ γ ε γ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − + − + ⋅ + − + (1)(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 1 2 2 1 1 0,5 ' 0, 25 ' , 1 1 sin ' 0,5 1 sin su su su Rd su c yk su su a su su s ss ck a su s Y m f X Y f α α α µ ε ε ε ε ε ε µ γ π ε ε ε α ε µ ε γ ε α ε γ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ × = − − + ⋅ + + ⋅ × − (2)Rys. 1. Schemat geometryczny zginanego przekroju żelbetowego pierścieniowego oraz rozkład odkształceń i naprężeń wg pracy [5]
Rys. 2. Schemat geometryczny ściskanego przekroju żelbetowego pierścieniowego oraz rozkład odkształceń i naprężeń wg pracy [5]
Drugi zakres zginania:
Bezwymiarowa graniczna osiowa siła podłużna:
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
, 1 , 1 , , 2 3 2 1 1 ' , ' 0, 25 ' , , 1 1 ' , ' ' , ' 1 II su II su Rd II II su c yk a su II su II II su II su s ss ck su a su s X n f X f X α α α µ ε ε ε ε ε ε µ γ π α ε ε ε ε ε ε ε ε µ γ ε ε π α ε γ − ⋅ ⋅ + × = − − + × ⋅ + × × + − (3)Bezwymiarowy graniczny moment zginający:
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
, 1 , 1 , 2 , 3 2 1 1 0,5 ' , ' ' , , 1 sin 0, 25 ' , ' 0,5 1 1 ' , ' sin II su II su Rd II II su c yk a su II su II su s ck II su II su a su ss s Y m f Y f X α α α µ ε ε ε ε ε ε µ γ π α ε ε ε ε ε µ γ ε ε ε ε α ε ε γ − ⋅ ⋅ ⋅ + = − − + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + (4)Przekrój ściskany (naprężenia i odkształcenia jednego znaku): Bezwymiarowa graniczna osiowa siła podłużna:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
, 2 , 2 1 2 1 2 , 2 2 1 2 2 2 , 2 2 1 2 2 2 , 2 , 2 1 1 1 , 1 4 0,5 2 0,5 1 0,5 2 sin 4 2 0,5 0, 25 sin Rd comp c b comp c c c c b comp c c c c b comp c c c c c b comp c b comp c n ε µ µ α ε ε ε ε ε π γ π α ε ε ε ε ε ε ε α ε ε ε ε ε ε ε ε ε α ε π α ε − = − − + ⋅ + + ⋅ − + + ⋅ ∆ ⋅ + + ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ + ∆ × ⋅ × ⋅ − − ⋅ (
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 sin yk ck a c c c a c c s ss a c f f µ α ε ε ε ε ε α ε ε ε γ ε α ε + × − ⋅ + ⋅ − ∆ ⋅ − ∆ × × (5)Bezwymiarowy graniczny moment zginający:
(
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
, 2 1 2 , 2 2 1 2 2 1 2 , 2 2 1 2 2 2 , 2 , 2 2 , 1 1 sin , 2 1 0,5 2 0,5 1 4 sin 0,5 2 1 2 0,5 0, 25 sin 4 sin b comp c c Rd comp c c c c c c b comp c c c c b comp c b comp c c b com m ε µ µ α ε ε ε γ π ε ε ε ε ε ε ε ε α ε ε ε ε ε ε ε π α ε α ε ε ε α − − + × = − ⋅ × + − ⋅ ∆ ⋅ + + ⋅ ∆ × × + ⋅ ∆ ⋅ + + ∆ × − ⋅ × ⋅ − ⋅ + ∆ × × −(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
)
3 2 , 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 sin 3 1 1 0,5 sin sin 0,5 0, 25 sin p c b comp c yk a c c c s ck ss c a c c a c a c f f ε α ε µ α ε ε ε ε ε γ ε ε ε α ε ε ε α ε α ε + + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ∆ × × − ⋅ ∆ ⋅ − ⋅ ∆ ⋅ (6)W równaniach (1)-(6) użyto następujących współczynników oraz funkcji: – kąt określający położenie osi obojętnej przekroju:
(
)
arccos 2 2 su su su − = + ε α ε ε (7)– kąt określający granicę strefy uplastycznienia betonu:
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
1 cos arccos cos 2 ' su b su su su − = − ⋅ α α ε α ε α ε ε ε (8) gdzie:(
)
(
)
(
)
' ' 1 cos su su = − α ε ε ε α ε (9)– odkształcenie odpowiadające charakterystycznej granicy plastyczności stali:
yk ss s f E = ε (10)
ss sy s =ε ε γ (11)
przy czym f to charakterystyczna granica plastyczności stali zbrojeniowej, yk
s
E to moduł Younga stali zbrojeniowej, a γ to częściowy współczynnik s
bezpieczeństwa dotyczący stali,
– kąt określający granicę strefy uplastycznienia stali ściskanej:
(
)
(
(
)
)
(
)
1 1 cos arccos ' sy su a su su − ⋅ = α ε α ε α ε ε ε (12)– kąt określający granicę strefy uplastycznienia stali rozciąganej:
(
)
(
(
)
)
(
)
2 1 cos arccos ' sy su a su su + ⋅ = α ε α ε α ε ε ε (13) – funkcje pomocnicze:(
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
1 su sin su su cos su X ε = α ε −α ε ⋅ α ε (14)(
)
(
2(
(
)
)
)
(
)
(
(
)
)
2 su 0,5 cos su su 0,75 sin 2 su X ε = + α ε ⋅α ε − ⋅ ⋅α ε (15)(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
)
3 2 1 2 1sin sin cos
su a su a su su a su a su X ε α ε α ε α ε α ε α ε = − − ⋅ + − (16)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
1 su 0,5 su 0, 25 sin 2 su cos su sin su
Y ε = ⋅α ε + ⋅ ⋅α ε − α ε ⋅ α ε (17)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
(
(
)
)
)
2 2 3 sin 1 cos 1sin cos 0,5 sin 2
3 su su su su su su su Y ε α ε α ε α ε α ε α ε α ε = + ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ (18)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
(
(
)
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
(
)
)
(
(
)
)
)
3 2 1 2 1 2 1 0,5 0, 25 sin 2 cossin 2 sin sin
su a su a su a su su a su a su a su Y ε α ε α ε α ε α ε α ε α ε α ε = ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ − (19)
– kąt określający granicę strefy uplastycznienia betonu (drugi zakres zginania):
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
, , 1 cos , ' arccos cos 2 ' , ' su b II su II su II su II − = − ⋅ α α ε α ε ε α ε ε ε ε (20)– kąt określający granicę strefy uplastycznienia stali ściskanej (drugi zakres zginania):
(
)
(
(
)
)
(
)
1, , 1 cos , ' arccos ' , ' sy su a II su II II su II − ⋅ = α ε α ε α ε ε ε ε ε (21)– kąt określający granicę strefy uplastycznienia stali rozciąganej (drugi zakres zginania):
(
)
(
(
)
)
(
)
2, , 1 cos , ' arccos ' , ' sy su a II su II II su II + ⋅ = α ε α ε α ε ε ε ε ε (22) gdzie:(
)
(
)
(
)
, ' ' , ' 1 cos II II su II su = − α ε ε ε ε α ε (23)– funkcje pomocnicze (drugi zakres zginania):
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
2, 1, 3, 2, 1, , ' , ' sin sin , ' cos , ' a II su II a II su II II su a II su II a II su II su X ε α ε ε α ε ε α ε ε α ε ε α ε = − + − ⋅ − (24)(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
(
(
)
)
)
2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, , ' , ' , ' 0,5 2 , ' 2 , ' 0, 25 sin sin , ' , 'cos sin sin
a II su II a II su II II su II a II su II a II su II a II su II a II su II su Y ε ε α ε ε α ε ε α ε ε α ε ε α ε ε α ε ε α ε − = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + − ⋅ − (25)
– najmniejsze odkształcenie skrajnego włókna przekroju (ściskanie):
(
)
(
)
1 c2 = cu1− ⋅ ∆2 c2 ε ε ε ε ε (26) przy czym:(
)
1 2 2 2 cu c c − ∆ε ε =ε ε (27)gdzie εcu1 jest graniczną wartością odkształcenia skrajnego włókna przekroju w części bardzie ściskanej, a εc2 jest wartością odkształcenia skrajnego włókna w mniej ściskanej części przekroju,
– kąt określający granicę strefy uplastycznienia betonu (ściskanie):
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 , 2 2 2 arccos c c b comp c c + + ∆ − = ∆ ε ε ε ε α ε ε ε (28)– kąt określający granicę strefy uplastycznienia stali ściskanej (ściskanie):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 jeżeli Re arccosarccos w innym przypadku
sy c c c a c sy c c c ε ε ε ε ε π π ε ε α ε ε ε ε ε ε ε ε + + ∆ − ≥ ∆ = + + ∆ − ∆ (29) 2. Przykład obliczeniowy
Równania przedstawione w pkt. 1 pozwalają na zbudowanie wykresów inter- akcji nRd-mRd dla dowolnego gatunku stali zbrojeniowej. Dla zilustrowania rezul-tatów w postaci krzywej interakcji przyjęto następujące dane:
– częściowe współczynniki bezpieczeństwa: 1,15
s
γ = , γ =c 1,5 – moduł Younga dla stali:
210 000 MPa
s
E = – charakterystyczne granice plastyczności:
220 MPa
yk
f = , fck=12 MPa
– odkształcenie skrajnych włókien ściskanej strefy przekroju:
' 2‰
ε = −
Dla każdego z trzech zakresów odkształcenia należy przyjąć skończoną liczbę punktów, dla których zostanie obliczona nośność graniczna nRd oraz mRd (rys. 3). Wartości pośrednie pomiędzy punktami (nRd, mRd) są interpolowane liniowo. W poniższym przykładzie przyjęto podział odcinków w każdym zakresie równy
21
n = , a następnie dla każdej wartości odkształcenia wyznaczono nośność gra-niczną. Dla pierwszego zakresu zginania przyjęto:
(
)
4 su i i ε = − ,(
0,5 su ε ∈ , i=0,1,...,n−1Dla drugiego zakresu zginania przyjęto:
(
')
10 II i i ε = − , '(
0, 2 II ε ∈ − , i =0,1,...,n−1przy czym założono stałą wartość odkształcenia stali rozciąganej ,
5
su II
Dla trzeciego zakresu - ściskania przyjęto:
(
c2)
i 10 i ε = − ,(
2 0, 2 c ε ∈ − , i=0,1,...,n−1przy czym dla granicznej wartości odkształcenia skrajnego włókna przekroju w części bardzie ściskanej przyjęto εcu1= − . Obliczenia przeprowadzono dla 5 2 krzywych przyjmując różne wartości sprowadzonego stopnia zbrojenia yk
ck
f f
µ ,
gdzie wartość stopnia zbrojenia zestawiono w następującym wektorze:
[
0, 0 0,273 0.545 0.818 1.091]
= µ 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Rys. 3. Nomogram do wymiarowania przekroju żelbetowego pierścieniowego (opis w tekście)
Dla każdej wartości ww. stopnia zbrojenia otrzymano wartości sprowadzonego stopnia zbrojenia (rys. 3):
0,0 yk ck f f = µ , yk 0,05 ck f f = µ , yk 0,1 ck f f = µ , yk 0,15 ck f f = µ 0, 2 yk ck f f = µ nRd mRd
Podsumowanie
W niniejszym artykule przedstawiono procedurę sporządzania wykresów inter- akcji nRd - mRd dla dowolnego gatunku stali zbrojeniowej na podstawie szeregu zależności matematycznych. Zaprezentowany sposób postępowania można w łatwy sposób zaimplementować w takich środowiskach jak Microsoft EXCEL czy MathCad, i nie wymaga budowania indywidualnego programu komputerowego. Przedstawione rozwiązanie może okazać się nieocenioną pomocą dla inżynierów projektantów zajmujących się tematyką konstrukcji przemysłowych.
Literatura
[1] PN-EN 13084-1:2007 Kominy wolno stojące. Część 1: Wymagania ogólne. [2] PN-EN 13084-1:2007 Kominy wolno stojące. Część 2: Kominy betonowe.
[3] Lechman M., Wyznaczanie naprężeń normalnych w przekroju komina żelbetowego osłabionego otworem z uwzględnieniem fizycznej nieliniowości materiałów, Prace Instytutu Techniki Budow-lanej - Kwartalnik 2002, 4, 61-83.
[4] Lechamn M., Instrukcja 459/2010. Wolno stojące kominy żelbetowe. Obliczanie i projektowanie według norm PN-EN, Wydawnictwo Instytutu Techniki Budowlanej, Warszawa 2010.
[5] Lechman, M., Nośność i wymiarowanie przekrojów pierścieniowych elementów mimośrodowo ściskanych, Wydawnictwo Instytutu Techniki Budowlanej, Warszawa 2006.
Streszczenie
W pracy przedstawiono metodę wymiarowania pierścieniowych żelbetowych przekrojów poziomych w stanie granicznym nośności przez podanie zasad budowania odpowiednich nomogramów dla dowolnego gatunku stali zbrojeniowej. Zaprezentowano algorytm obliczeniowy oraz przykład liczbowy.
Słowa kluczowe: kominy żelbetowe, wymiarowanie, algorytm
Calculation of horizontal cross-section of concrete chimney at ultimate limit state according to PN-EN - computational algorithm
Abstract
In the paper calculation method of horizontal cross-section of concrete chimney at ultimate limit state is presented. The principles of building a suitable nomograms for any grade of steel are shown. Calculation algorithm and a numerical example are given.
