4. Wyrażenia algebraiczne, równania

(1)

4. Wyrażenia algebraiczne, równania 4.3. Zadania tekstowe – rozwiązania

Ćwiczenia

1. t – czas jazdy z Wiśniowej Wsi do Jabłonowa, w godzinach 2,5 – t – czas jazdy z Jabłonowa do Wiśniowej Wsi, w godzinach

W czasie t godzin samochód pokonał drogę 60t km, a w czasie (2,5 – t) godzin – drogę 90 ∙ (2,5 – t) km. Łącznie przejechał 180 km, zatem szukane równanie ma postać:

60t + 90(2,5 – t) = 180 60t + 225 – 90t = 180 225 – 180 = 30t 30 t = 45 t = 1,5

W jedną stronę jechał 1,5 h, z powrotem 1 h.

2. 6

75 , 4

50 , 28 3 18 5 , 1 9 1 6 5 , 0

3 25 , 0

50 ,

1       , czyli 6

x y .

Te wielkości są wprost proporcjonalne, ponieważ iloraz tych wielkości jest stały.

3. Można przyjąć, że 70 dag sałatki składa się z 2 + 5 + 3 = 10 ważących tyle samo porcji.

Jedna porcja waży 7 dag.

Banany to całej sałatki, czyli ∙ 70 = 14 (dag).

Kiwi to całej sałatki, czyli ∙ 70 = 35 (dag).

Winogrona to całej sałatki, czyli ∙ 70 = 21 (dag).

Zadania

1. Droga i czas w ruchu jednostajnym są wprost proporcjonalne.

x – szukana liczba 2

8 , 2 126 x

 , zatem 90

8 , 2

126 2 

 x

Poprawna odpowiedź: D.

2. Masa ogórków i koszt ich zakupu to wielkości wprost proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności jest równy

25 , 1

2 = 1,6, czyli 1 kg ogórków kosztuje 1,60 zł. Za 1,8 kg ogórków należy zapłacić 1,8 ∙ 1,60 zł = 2,88 zł.

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Za 2,20 kg ogórków należy zapłacić 2,20 ∙ 1,60 zł = 3,52 zł > 3,20 zł.

Drugie zdanie jest fałszywe.

Poprawna odpowiedź: PF.

(2)

3. x – liczba minut do końca filmu, x50 – liczba minut od początku filmu 108

) 50

(x x , czyli 2x58, stąd x29min.

Poprawna odpowiedź: A.

4. Rozwiążmy równanie Asi.

x – 8 + x = 188 2x = 188 + 8 2x = 196 x = 98

x oznacza masę jednego ze zwierząt, drugie waży 188 – 98 = 90 (kg). Cięższy jest kucyk.

Poprawna odpowiedź: FP.

5. Jeżeli herbatka składa się z 2 + 5 + 7 = 14 jednakowo ciężkich porcji ziół, to różnica ilości dziurawca i mięty jest równa 2 porcjom. 2 porcje ważą więc 5 dag. Trzeba dokupić 2 porcje, czyli 5 dag piołunu.

6. Jeden pracownik potrzebowałby do wykonania tej pracy 5 + 4 + 1 + 2 = 12 dni i za każdy dzień dostałby tyle samo pieniędzy.

Pan Ambroży wykonał 12

5 tej pracy, powinien więc otrzymać 3000 1250 12

5   (zł).

Podobnie:

 pan Bonifacy za wykonanie 12

4 tej pracy powinien otrzymać 3000 1000 12

4   (zł),

 pan Celestyn za wykonanie 12

1   (zł),

 pan Damazy za wykonanie 12

2   (zł).

7. x – wiek syna

Pięć lat temu ojciec był młodszy o 5 lat, a syn też był młodszy o 5 lat.

3x – 5 = 4(x – 5)

3x – 5 = 4x – 20 |+ 20 – 3x 15 = x

Syn ma 15 lat, a ojciec 45 lat.

8. x – cena małej kostki mydła (w zł)

x + 0,80 – cena dużej kostki mydła (w zł) 3x + 5(x + 0,80) = 23,20

3x + 5x + 4 = 23,20 8x = 23,20 – 4 8x = 19,20 x = 2,40

(3)

40 , 2

80 ,

0 ∙ 100% = 3

100% = 33 3 1 %

Duża kostka mydła jest o 33 3

1% droższa od małej kostki.

9.  – miara większego kąta ostrego trójkąta

 8 ,

0 – miara mniejszego kąta ostrego trójkąta





0,8 90





 90 8 , 1 



  50 , 0,8  40

Miara najmniejszego kąta tego trójkąta jest równa 40. 10. x – liczba psów

x

3 – liczba baranów (x22) – liczba owiec

32 )

22 (

3x x  x 10

5x

2 x

6 2 3 3x  

24 22 2 22  

 x

Baca ma 24 owce i 6 baranów.

11. x – cena jednej kulki lodów (w zł)

x – 1 – cena jednej porcji bitej śmietany (w zł) 2x – cena jednej porcji owoców (w zł)

14 2 ) 1 (

3x x  x 15

6x 5 ,

 2 x

Kulka lodów kosztowała 2,50 zł.

Zadania egzaminacyjne Zadanie 1.

Do 450 ml soku dodano 4500 ml wody. Otrzymano 4950 ml = 4,95 l napoju.

Poprawna odpowiedź: C.

Zadanie 2.

Jeżeli 30 dag orzechów pistacjowych kosztowało 15,75 zł, to za 10 dag trzeba zapłacić 15,75 : 3 = 5,25 (zł).

40 dag tych orzechów kosztowało 4  5,25 = 21 (zł).

(4)

Cena 1 kg = 100 dag tych orzechów jest równa 10  5,25 = 52,50 (zł).

Poprawna odpowiedź: PP.

Zadanie 3.

Pani Anna za 3 bilety normalne i 2 ulgowe zapłaciła tyle samo, ile zapłaciłaby za 4 bilety normalne, więc bilet normalny kosztował 30 zł, a ulgowy 15 zł. Pan Jacek kupił 2 bilety normalne (za 60 zł) i 3 ulgowe (za 45 zł), więc zapłacił 105 zł.

Pan Marek za 2 bilety normalne i 1 ulgowy zapłacił 2  30 zł + 15 zł = 75 zł, czyli o 45 zł mniej niż pani Anna.

Poprawna odpowiedź: BC.

Zadanie 4.

Magda zamiast 6 białek chce użyć 4 białek. Wobec tego wszystkich składników weźmie tego, co opisuje przepis. Zamiast 30 dag cukru powinno być ∙ 30 = 20 (dag).

Poprawna odpowiedź: C.

Zadanie 5.

Gdyby z klas pierwszych było 3 uczestników, z drugich 8 uczestników, a z trzecich 5 uczestników, wszystkich byłoby 16. Miało ich być 48, więc 3 razy więcej.

Z klas drugich było ich więc 24, czyli połowa liczby wszystkich uczestników, 50%.

Zadanie 6.

Gdyby z klas pierwszych było 3 uczestników, z drugich 8 uczestników, a z trzecich 5 uczestników, wszystkich byłoby 16. Miało ich być 48, więc 3 razy więcej. Z klas pierwszych było 9 uczestników.

Poprawna odpowiedź: B.

Zadanie 7.

W Polsce urodziła się co druga osoba, czyli połowa wszystkich, w Niemczech urodziła się co trzecia osoba, czyli wszystkich.

Pozostałe 5 osób (urodzonych we Francji) stanowi 1 − + = 1 − = . Wszystkich uczestników wycieczki było więc 6 razy więcej, czyli 30.

Poprawna odpowiedź: B.

Zadanie 8.

Po przelaniu w każdym zbiorniku byłoby 210 litrów mleka. W pierwszym zbiorniku znajdowałoby się ilości, która jest teraz.

W tym zbiorniku jest więc 210 : = 210 ∙ = 252 (l) mleka.

(5)

Zadanie 9.

Porównajmy ceny w obu wypożyczalniach.

W wypożyczalni Gierka płaci się po 50 groszy więcej za każdy dzień wypożyczenia powyżej trzeciego, a w wypożyczalni Planszówka płaci się o 4 zł wyższą opłatę stałą za trzy

początkowe dni wypożyczenia.

Aby koszty były jednakowe, trzeba znaleźć taką liczbę dodatkowych dni (powyżej trzeciego), dla której te różnice się zrównoważą.

4 : 0,5 = 8 (dni) 8 + 3 = 11

Przy wypożyczeniu gry na 11 dni koszty w obu wypożyczalniach są jednakowe.

Zadanie 10.

Kantor kupuje od Marcina 400 funtów brytyjskich po 5,10 zł.

400  5,10 = 2040 (zł)

Kantor sprzedaje Marcinowi dolary po 4,25 zł.

2040 : 4,25 = 480

Za 400 funtów Marcin otrzyma 480 dolarów.

Zadanie 11.

x – początkowa ilość wody w drugim zbiorniku (w litrach) 4x – początkowa ilość wody w pierwszym zbiorniku (w litrach) 4x + 6 = 2(x + 6)

4x + 6 = 2x + 12 x = 3

W pierwszym zbiorniku było na początku 4 ∙ 3 = 12 litrów wody, a w drugim były 3 litry.

12 + 6 = 18, 3 + 6 = 9 Po dolaniu:

– w pierwszym zbiorniku jest 18 litrów wody – w drugim zbiorniku jest 9 litrów wody.

18 + 9 = 27

W obu zbiornikach jest łącznie 27 litrów wody.

Zadanie 12.

Wartość zamówienia bez rabatu to 300 zł.

Koszt kawy pani Malinowskiej stanowi = tej kwoty.

∙ 260 = 104 (zł) to kwota do zapłaty przez panią Malinowską.

260 – 104 = 156 (zł) to łączna kwota do zapłaty przez panie Wiśniewską i Śliwińską.

156 : 2 = 78 (zł) – tyle ma zapłacić każda z pań: Wiśniewska oraz Śliwińska.

Pani Malinowska powinna zapłacić 104 zł, panie Wiśniewska i Śliwińska – po 78 zł.

(6)

Zadanie 13.

n – liczba niebieskich piłeczek 0,8n – liczba czarnych piłeczek n + 6 – liczba zielonych piłeczek n + (n + 6) = 0,8n + 48

2n + 6 = 0,8n + 48 1,2n = 42

n = 35 0,8n = 28 n + 6 = 41

35 + 28 + 41 = 104

Odpowiedź: W pojemniku są 104 piłeczki.

Zadanie 14.

x – liczba ośmioosobowych przedziałów zajętych przez uczniów

x + 3 – liczba sześcioosobowych przedziałów, które zajęliby wszyscy uczniowie 8x – liczba uczniów w przedziałach ośmioosobowych

6(x + 3) – liczba uczniów w przedziałach sześcioosobowych 8x = 6(x + 3)

x = 9

Obliczamy, ilu uczniów pojechało na wycieczkę.

9 · 8 = 72

Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.

Zadanie 15.

x – liczba dziewcząt 0,8x – liczba chłopców

Sytuację przedstawioną w zadaniu opisuje równanie x = 0,8x + 3

0,2x = 3 x = 15

W klasie jest 15 dziewcząt.