Modelowanie dynamiki płaskich układów wieloczłonowych z tarciem

ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄ SKIEJ 1995

Seria: M E C H A N IK A z. 122 N r kol. 1267

Wojciech B L A JE R , A ndrzej M A R K IE W IC Z Wyższa Szkoła Inżynierska w R adom iu

M O D E L O W A N IE D Y N A M IK I PŁA SK IC H U K Ł A D Ó W W IE L O C Z Ł O N O W Y C H Z T A R C IE M

S treszczenie. P ra c a dotyczy generow ania rów nań ruchu układów w ieloczło­

nowych z uw zględnieniem efektów tarcia. Połączenia członów trak tu je się ja k o więzy nieid eah ie, dem onstrując przykłady m odelow ania ich reakcji. R ów nania ruchu otrzym uje się w form ie nieliniowo sprzężonych rów nań różniczkow o- algebraicznych; typu rów nań L agrange’a 1 rodzaju, w zględem absolutnych p rę d ­ kości i p o ło żeń członów oraz reakcji w przegubach. D yskutow ana je st specy­

ficzna stru k tu ra tych rów nań.

M O D E L L IN G O F D Y N A M IC S O F F R IC T IO N -A F F E C T E D P L A N A R M U L T IB O D Y SYSTEM S

S u m m ary . T he p roblem of obtaining equations of m otion for friction- affected m ultibody systems is considered. T he joints a re tre a te d as nonideal constraints, and som e exam ples o f m odelling o f reactions o f th e co nstraints are d em o n strate d . N onlinearly coupled differential-algebraic eq u atio n s o f m otion in th e ab so lu te sta te variables an d th e jo in t reactions, referen c ed to as L ag ran g e’s eq u atio n s o f type I, are obtained. A specific stru ctu re o f th e eq u a tio n s is discussed.

MOUEJIKPOBAHHE HHHAMHKH UJlOCfCHX M HOroqjIEHHHX CHCTEM C TPEHHEM

P O 3 B M 0 . P a 6 o T a x a c a e T C H r e t i e p H p o B a H M v p a B H e H H t ! a b h * g h h h u H o r o - u n e n H u x C H C T e u c y u e T o v a ^ ^ e K T O B r p e H H S i . C o g u h h g h h h u n e H O B c H C T e i m n p H H S T H 3 a H e a n e a n b H H e c b s i 3 h . r i p e n c T a B n e H H n p H u e p a u o n e n H p o B a H n s i h x p e a K H H B . y p a B H G H H s i n B H K G H H H n o n y n e H H b $ o p u e n H ^ ç e p e H U H a n b H O - a n r e o - p a H u e c K H X y p a B H e H H f t , - r a n a y p a B H e H H f l Jlarpanxa I n o p s i n x a .

1. W S T Ę P

W ięzy n a k ła d a n e na u kład m echaniczny m odelow ane są zwykle ja k o idealne ( = b e z ta r ­ cia). P ostulatyw nie, reakcje w ięzów idealnych są ortogonalne do pow ierzchni w ięzów i nie m ają wpływu n a ruch w irtualny ("wzdłuż" więzów) układu. N ie w ystępują tym sam ym w rów naniach ruchu w zm iennych niezależnych, co wykorzystuje w iększość m eto d m echaniki

28 W. B lajer, A. M arkiew icz

analitycznej. Stosow anie tych m etod przy generowaniu rów nań ruchu układów z tarciem je st w ięc często niem ożliw e lub co najmniej trudne. Wymusza to też n atu ra ln ą tendencję do p o m ijan ia efektów tarcia, podważając wiarygodność analiz m atem atycznych i p o praw ność budow anych praw sterow ania dla rzeczywistych m echanizm ów i m aszyn.

Z łożoność opisu m atem atycznego oraz sprzężenia ruchu układu z (nieidealnym i) reakcjam i w p rzegubach pow odują, że problem y m odelow ania i analizy układów z tarciem są rza d k o p o d ejm o w an e w literaturze. Nieliczne opracow ania w tym zakresie, m.in. [1-4], k ła d ą zaledw ie podw aliny dla budowy efektywnych m etod b ad a n ia tych zagadnień.

N iniejsza p rac a je st kolejną p ró b ą wypracowania takiej metody.

U k ła d "rozbija" się na sw obodne człony i krępuje w ięzam i połączeń m iędzy nimi i z otoczeniem . U w zględniając efekty tarcia, nieidealne reakcje tych więzów m o deluje się w bazach lokalnych poszczególnych połączeń, a następnie rzutuje do przestrzeni konfiguracji układu uw olnionego od więzów. O trzym uje się różniczkowo-algebraiczne rów nania ruchu, typu rów nań L ag ran g e’a I rodzaju, względem absolutnych prędkości i położeń u kładu oraz reakcji w przegubach. Nietrywialnym spostrzeżeniem pracy je st fakt, że składow a n ieid ealn a (w yw ołana tarciem ) uogólnionej reakcji więzów nie m usi być styczna do pow ierzchni więzów (co obow iązuje dla prostego m odelu tarcia coulom bow skiego).

S kładow a nieid ealn a m oże być reprezentow ana nie tylko w podprzestrzeni stycznej do w ięzów (efek t podstawowy), ale i ortogonalnej. Wywołuje to dodatkow e sprzężenia pom iędzy ru ch em układu i reakcjam i w przegubach, zasadniczo utrudniając form ułow anie rów nań ruchu w zm iennych niezależnych oraz analizę num eryczną tych rów nań.

"

A -

/ . #

# W '

d> -

J t

R y s.l. Przykłady reakcji w połączeniach m echanizm ów płaskich F ig .l. Exam ples o f reactions in some joints of plane m echanism s

2. W IĘ Z Y P O Ł Ą C Z E Ń I IC H R E A K C JE

R uch członów układu krępow any jest więzami połączeń. Więzy te oraz ich reakcje wygodnie je s t zam odelow ać przy użyciu współrzędnych lokalnych danego połączenia,

M odelowanie dynam iki płaskich układów wieloczłonowych 29

definiujących: z - kierunki skrępow ania oraz s - kierunki ruchu. K ierunkom sk rępow ania odpowiadają składow e idealne reakcji więzów f, kierunkom ruchu - składow e nieidealne wywołane efek tam i tarcia. W przypadku układów płaskich sum aryczna ilość składow ych z i s (oraz f i fM) dla dan eg o połączenia je st równa 3. Gdy więzy po łączeń są dw ustronne, ich równaniam i są z = 0. M om enty tarcia f w przegubach walcowych (s = w ) o raz siły tarcia f^, w suw akach (s = v) m odeluje się zwykle w funkcji reakcji idealnych f i prędkości s [1-4]:

/ „ , = s i g n ( u ) p rO>) d yfyf + f vt = -s ig n ( \) p r( v ) [ f j , i 1)

gdzie d je st śred n icą czopa, /xr i ¿¿t są współczynnikami tarcia odpow iednio o brotow ego i ślizgowego, ^ i fy o raz fn są reakcjam i idealnym i, a znak oznacza, że f(ir i fM, m ają zwroty przeciw ne do odpow iadających w spółrzędnych s. W uproszczonych m od elach współczynniki /x, i /xr przyjm ow ane są często jako stałe. D la małych prędkości względnych, a szczególnie dla przegubów walcowych, współczynniki tarcia zależą je d n a k istotnie od [1-6]. D la p o łą cz eń z rys.l siły i m om enty tarcia zam odelow ano następująco:

Ą = -sign(y) p,0>) d + f i , (2a)

Ą = - s ig n fy j Hrfy) \f\. (2b)

Ą = ~sign(y) \ir(y) \fx\,

/„! = -•signCyj)

/„z = ' » W l*W

Ifl. (2d)

K o m en tarza w ym aga rów nież zagadnienie tarcia spoczynkow ego, zw iązanego z chwilowym "zacieraniem " się przegubów przy zm ianie kierunku ruchu w zględnego lub występującego p odczas urucham iania m echanizm u (chwilowo). W iąże się to z pow szechnie znanym zjaw iskiem skokow ego w zrostu współczynnika tarcia, co nie je st je d n a k łatw e do zalgorytm izow ania num erycznego. Jednym ze sposobów rozw iązania p ro b lem u jest włączenie chwilowo do z tych współrzęnych spośród s, których p o ch o d n e są rów ne (bliskie) zeru. B ędzie to rów noznaczne z nałożeniem dodatkow ych więzów n a układ, których rea k cje w yznaczane b ęd ą ja k dla klasycznych więzów kontaktow ych. W ielkości tych reakcji n ie m ogą je d n a k przekroczyć pewnych wartości granicznych, odpow iadających maksymalnym siłom tarcia spoczynkowego (określonym przez bezw zględne w artości wyrażeń z rów nań (1) i (2) po zastąpieniu /zr(ta) i /u,t(u) odpow iednim i w spółczynnikam i

30 W. Blajer, A . M arkiew icz

ta rc ia spoczynkow ego). P o osiągnięciu przez siły tarcia w artości granicznych więzy

"puszczą" i odpow iadający kierunek znów będzie kierunkiem ruchu. Z auw ażm y n a koniec, że o pisany p ro ce s n ak ład an ia więzów zatarcia i ich zanikania w wyniku w zrostu w artości ich reakcji powyżej poziom u maksymalnych sił tarcia statycznego, m ożna łatw o załgorytm izow ać num erycznie. W wyniku skokowych zm ian w artości w spółczynnika tarcia p rzebiegi sym ulow anego ruchu cechować się b ęd ą pewnymi nieciągłościam j.

3. R Ó W N A N IA R U C H U

Z racji nieidealności więzów, wyjściowe równania ruchu najwygodniej je st sform ułow ać w e w półrzędnych absolutnych x = [xl,yi,4 1,jć r,yN,4N]T, gdzie x* i y1 o ra z <t>i są w spółrzędnym i p o łożenia dow olnego punktu (najczęściej śro d k a masy) oraz w spółrzędną kąto w ą i-tego członu (i - 1 ,//) względem jednego inercjalnego układu odniesienia, a N je st liczbą członów . R ów nania te zapisać m ożna w następujący zw arty sposób:

M(x)£

=

(3)

0 = i>(r), (4>

gdzie M = d /flg(M ',.-,M w), h = [h IT, hNT]T są złożeniam i macierzy m as i praw ych stron rów nań ru ch u dla poszczególnych członów swobodnych (ogólną postać rów nań i% < _ ¡¡i przytoczono w D od atk u ), *(x) = 0 jest kolum nową rep rezen tacją m rów nań więzów połączeń członów, m < n = 3N, natom iast r oznacza uogólnioną siłę reakcji więzów w n-w ym arow ej p rze strzen i konfiguracji X , w której układ reprezentow any je st ja k o punkt, a rów nania w ięzów (4) ja k o uogólniona pow ierzchnia [7,8].

D la d an e g o połączenia w spółrzędne lokalne z i s wyrazić m ożna za pom ocą w spółrzęnych absolutnych kontaktujących się ciał. Zależności te m ożna zapisać ogólnie jako:

z = *(x) = 0, (5)

s = Y(x), (6)

gdzie o ra z z = [ z j,...^ ] 7 oraz s = [ s j , ..., s j 1 są w spółrzędnym i skrępow ania i ru ch u dla całego układu. D la układów otwartych (o strukturze drzew a) k je st rów ne liczbie stopni sw obody układu, k = n - m , a dla układów zam kniętych (m echanizm ów ) k > n - m.

M ożliw e je s t stw orzenie biblioteki zależności (5) i (6) dla typowych połączeń płaskich

M odelow anie dynam iki płaskich układów w ieloczłonow ych 31

układów w ieloczłonow ych. Przykłady takich zależności p o k az an e zo stan ą podczas prezentacji re fe ra tu .

k i e r u n e k o r t o g o n a l n y ( s k r ę p o w a n i a )

Rys.2. Id eo w a ilustracja składowej idealnej i nieidealnej reakcji w ięzów Fig.2. N o tio n a l illustration o f ideal and nonideal com ponents o f co n strain t re a ctio n

R ów nania (5) i (6) pozw alają n a utw orzenie m acierzy więzów C, specyfikującej w X kierunki z (g rad ien ty więzów), o ra z m acierzy CM, definiującej w X kierunki s,

C M - C M -

dx M dx

o wym iarach o dpow iednio n xm i nxk. M acierze C i tran sfo rm u ją fizyczne siły reakcji więzów, f o ra z f , do przestrzen i X . U m ożliw ia to sform ułow anie uogólnionej siły reakcji więzów w X ,

r(xjcJ) = r , + = C f + C J V, (8)

gdzie r 0 = C f i są odpow iednio składow ą idealną i n ieid ealn ą (w yw ołaną tarciem ) u o gólnionej reakcji więzów r.

32 W. Blajer, A . M arkiew icz

4. D Y S K U S JA

U w zględniając powyższe zależności, rów nania ruchu (3) i (4) zapisać m ożna w form ie:

i = v (9)

M(x)y =

f c ( w ) ♦

+

C r(x)v = *(v,x), d D

gdzie g = -CTv, R ów nanie (11) je st dw ukrotnie zróżniczkowaną form ą rów nań w ięzów (4).

R ó w n a n ia powyższe stanow ią układ 2n + m rów nań różniczkow o-algebraicznych (R R A ) w zględem v, x i f, typu rów nań L agrange’a I rodzaju. N ieidealna składow a reakcji więzów pow oduje, ż e rów nań tych nie m ożna przekształcić do postaci uw olnionej od reakcji w ięzów (typu rów nań L agrange’a II rodzaju), co jest zawsze możliwe dla układów z w ięzam i idealnym i (fM 2 0) [7,8], Są dwie tego przyczyny. Pierwsza je st oczywista i wynika z nieliniow ej, w ogólnym przypadku, zależności fM od f. Gdyby zależność ta była liniowa, co obow iązuje tylko dla prostych m odeli tarcia ślizgowego, reakcję więzów m o żn a by za p isa ć ja k o r = (C + f i C J t i użyć zmodyfikowanej techniki projekcyjnej celem elim inacji tej reak cji z ró w n ań ruchu. T echnikę taką opisano w pracy [9]. Nie stosuje się o n a je d n a k do p rzy p ad k u ogólnego rozw ażanego w tej pracy. D ruga przyczyna nieliniowych sprzężeń R R A (9)(11) m a c h a ra k te r "geometryczny". M ianowicie, składow e r 0 i rM nie są d o siebie o rto g o n a ln e w X , choć są w zajem nie ortogonalne siły/momenty reakcji w ięzów f i w klasycznym rozum ieniu przestrzeni fizycznych poszczególnych punktów skrępow ania.

P o niew aż X je st przestrzen ią m etryczną [8], w arunek nieortogonalności r 0 i rM zapisać m o ż n a następująco:

r,TM ~ \ *

0 ~

0 (12>

G eo m e try cz n a ilustracja powyższego stw ierdzenia prezentow ana je st na rys.2, a o jego słuszności m o żn a się p rzek o n ać analizując szereg prostych przykładów. N ieortogonalność r o i m a dalek o idące konsekw encje w sposobach analizy num erycznej R R A (9)(11), o czym b ęd z ie m ow a bardziej szczegółowo podczas prezentacji referatu.

M odelow anie dynam iki płaskich układów w ieloczłonow ych 33

D O DA TEK

R ów nania ru ch u sw obodnego ciała sztywnego we w spółrzędnych absolutnych x, y i gdzie x i y są w spółrzędnym i położenia dowolnego p u nktu A ciała w kartezjańskim układzie inercjalnym Oxy, a 4> je st kątem miedzy osią Ox i odcinkiem łączącym p u n k t A ze środkiem m asy C, m ają następującą postać [8]:

m 0 -mpsin<t> X F * X + m<J>2pcos<l>

M (x)x = 0 m mpcos<ł> _y = Fy + m<t>2psin4)

-mpsinfy mpcosfy JA

h(xpc,t) ( Dl )

gdzie m je st m a są ciała, J A jego m om entem bezwładności w zględem A, p je st odległością pomiędzy p u n k ta m i A i C, Fx i F y oraz M A są składowymi (w układzie Oxy) sum y sił działających n a ciało o raz m om entem tych sił względem A. D opuszcza się zależność siły F i m om entu M A o d czasu t. R ów nania te upraszczają się, gdy p unkt A pokryw a się z C (p * 0).

L IT E R A T U R A

[1] H au g E .J., W u S.C., Y ang S.M.: D ynam ics of m echanical systems with C oulom b friction, stiction, im pact, an d constraint addition-deletion: I - T heory, M echanism and M achine T heory, Vol.21, No.5, 1986, pp.401-406.

[2] W u S.C., Y ang S.M., H au g E.J.: D ynam ics o f m echanical systems w ith C oulom b friction, stiction, im pact, and constraint addition-deletion: II - P lan a r systems: III -

S patial system s, M echanism and M achine Theory, Vol.21, No.5, 1986, pp.407-425.

[31 K lepp H .J.: S topping check for systems with friction-affected constraints, Z eitschrift fr A n g ew an d te M a th em atik und M echanik (ZA M M ), Vol.72, N o. 11, 1992, pp.539- 548.

[41 D u p o n t P .E.: T h e effect o f friction on th e forw ard dynam ics pro b lem s, In tern atio n al Jo u rn a l o f R ob o tics R e search , V ol.12, No.2, 1993, pp.164-179.

[5] A m strong-H louvry B., D u p o n t P., C anudas de W it C.: A survey o f m odels, analysis tools a n a com pensation m ethods for the control o f m achines w ith friction, p re p rin t 1994.

[6] D e Silva C.W ., M cF arlan e A .G.J.: Knowlage based control w ith ap p licatio n to robots, S pringer-V erlag, Berlin, 1989.

[7] B lajer W.: A p ro jec tio n m ethod approach to constrained dynam ic analysis, T ra n sa ctio n s o f th e A SM E, Jo u rn al or A pplied M echanics, Vol.59, N o.3, 1992, pp.643-649.

34

W . B lajer, A . M arkiew icz

[8] Blajer W.: M etoda projekcyjna - teoria i zastosowania w badaniu nieswobodnych układów mechanicznych, Wyd. WSI Radom, Radom, 1994.

[9] Blajer W.: Lndei o f differential-algebraic equations governing the dynamics o f constrained m echanical systems, Applied Mathematical Modelling, Vol.16, No.2,

1992, pp.70-77.

W przypadku pierwszego autora, praca wykonana została częściowo w ramach grantu KBN nr 3 0955 91 01.

Recenzent: prof, dr hab. inż. A . Olędzki

W płynęło do Redakcji w grudniu 1994 r.