Zastosowanie szczególnego kształtu elementów skończonych w zagadnieniach mechaniki gruntów

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: BUDOWNICTWO z. 29

______ 1972 Nr kol. 346

Maciej Gryczmański

ZASTOSOWANIE SZCZEGÓINEGO KSZTAŁTU ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W ZAGADNIENIACH MECHANIKI GRUNTÓW

Streszczenie. W pracy przedstawione są dwa prostsze kształty zakrzywionych elementów sze- ściościennych, dostosowane do takich przypadków geometrii obciążonego masywu gruntowego, które są źle aproksymoisane przez elementy prostopadło

ść lenne. Powierzchnie boczne elementu SEZ-2 są pionowymi płaszczyznami, wzajemnie prostopadły

mi, a podstawy 8EZ-4 płaszczyznami poziosymi. w pracy pokazano uproszczenia wzorów transforma

cyjnych dla omawianych kształtów w porównaniu z dowolnym elementem zakrzywionym. Wykazano, że wynikające stąd korzyści obliczeniowe są znacz

ne.

Trójwymiarowe zagadnienia mechaniki gruntów są, jak się wydaje,naj

ważniejszym obszarem stosowania bardzo wygodnych w aspekcie obliczeń, prostopadłościennych elementów skończonych. Zbiór prostopadłościanów wystarczająco dokładnie modeluje geologicznie jendorodne względnie po

ziomo uwarstwione podłoże fundamentu o rzucie prostokątny® lub złożo

nym z prostokątów. Dotyczy to również masywu gruntowego za pionową ścianą oporową, korpusu budowli ziemnej itd. Złożoność i różnorodność właściwości fizykalnych gruntów powodują, że klasa problemów statycz

nych i dynamicznych dla tych ciał może być bardzo szeroka. Często jed

nak konfiguracja warstw i powierzchni terenu, a także krzywoliniowy kon tur obszaru obciążenia wymagają uzupełnienia lub zastąpienia prostopa

dłościanów szośclościannymi elementami zakrzywionymi Dl*

W skrajnym przypadku wszystkie ściany owych elementów są aierówno- lsgłymi płaszczyznami,|bądź powierzchniami wyższego stopnia,dzięki cze

mu obiekty te zdolne są do aproksymacji dowolnego brzegu ciała, tera-

(2)

26 M a c ie j G ry cz/aeń sk i

stają jednak przy tym wydatnie trudności rachunkowe, zwłaszcza czas o- błiczeń maszynowych.

W pracy niniejszej przedstawiono dwa typy elementów zakrzywionych o prostszym kształcie, które poza dość rzadkimi wyjątkami stanowią wy

starczające uzupełnienie prostopadłościanów w zadaniach mechaniki grun

tów. Element oznaczony symbolem SEZ-2 (rys. 1a»b) jest sześciościanem, którego dwie ściany (dolna i górna) są w ogólności powierzchniami,a po

zostałe cztery (pionowe) płaszczyznami wzajemnie prostopadłymi.Kształt taki może być wprowadzony w przypadku analizy podłoża dowolnie uwar

stwionego (rys. 1c). Ściany powierzchniowe pokrywają w przybliżeniu gra

nice warstw nachylonych, soczewek itd., a ponadto mogą aproksymować da wolną powierzchnię terenu.

Eys. 1. Elementy SEZ-2

a) element izoparametryczny, b) element subparametryczny, c) zbiór ele

mentów SEZ-2 modelujący dowolnie uwarstwione podłoże (przekrój środ

kowy)

(3)

Zastosowanie szczególnego kształtu elementów.»

27

Element SEZ-4, sześciościan o dwóch poziomych ścianach równoległych (rys. 2a) służy modelowaniu nachylonej ściany oporowej, zbocza budo

wli ziemnej, czy wreszcie konturu podstawy fundamentu niepodzielnej na prostokąty (rys. 2).

Oczywiście każdy z prezentowanych typów może być dowolnie obrócony względem narzuconych powyżej kierunków. Charakterystyczne wektory i ma

cierze są wtedy przekształcane za pomocą związków między kartezjański- mi współrzędnymi lokalnymi i globalnymi C O (rozdz. 1). Hieraz jest to celowe (rys. 2b). Pewne trudności towarzyszą modelowaniu soczewek koń

czących się wewnątrz obliczeniowego obszaru podłoża budowli. Jednakże hipotetyczna znajomość przebiegu warstw gruntowych upoważnia tu do u- proszczeń (rys. 3^).

Elementy SEZ-2 i SEZ-4, podobnie jak prostopadłościany i dowolne sześciościany, wywodzą się ze wspólnego sześcianu "macierzystego",któ

rego wierzchołki mają w układzie współrzędnej,,

a^ 3(m )|= 1 * Punkcie kształtu dla całej tej rodziny identyczne, jeśli jednakowy jest układ węzłów w elemencie macierzy

stym. Tak więc swoiste cechy SEZ-2 i SEZ-4 i wynikające z nich korzy

ści obliczeniowe związane są w całości z transformacją lokalnych współ

rzędnych^- 1 * krzywoliniowych po odwzorowaniu, do kartezjańskich współrzędnych globalnych x1, Xg, x.>.

Związki między współrzędnymi określa wzór interpolacyjny, formalnie identyczny z wyrażeniem opisującym pole przemieszczenia

nc

\ ~ &2*£y)Xk{m)f ^ m=1

(4)

28 Maciej Gryczmański

gdzie:

xk(m'i ” 1,sP<Słrzę<ina dowolnego punktu określającego konfigurację ściany elementu wzgl. osi 2^{^.,}

N_ -funkcja kształtu definiująca geometrię elementu.

i^s. 2. Elementy SBZ-4

a) element subparametryczny, b) zbiór obróconych elementów SEZ-4 w ma

sywie gruntowym za nachyloną ścianą oporową

(5)

Zastosowanie szczególnego kształtu elementów... 29

Rys. 2. Elementy SEZ-4

o) modelowanie zboczy nasypu elementami SEZ-4• d) zastosowanie SEZ-4 w podłożu filara mostowego (rzut)

Rys. 3. Dostosowanie przebiegu warstw do geometrii elementów SEZ-2 V odcinek powierzchni między warstwami pominięty w analizie obli

czeniowej

(6)

30

M a c ie j G ryczm ański

W prezentowanych elementach punkty węzłowe należące do ścian po

wierzchniowych (zaczernione kółka na rys. 1a,b oraz rys. 2a) wyznacza-, ją równocześnie konfigurację brzegu elementu i wewnętrzne pole prze

mieszczenia. Jeśli na ścianach występują węzły zbyteczne ze względu na geometrię (kółka niezaczemione na rysunkach), to elementy SEZ-2 i SEZ-4 są subparametryczne, tzn. 4 N^,- w przeciwnym wypadku izopa- rametryczne m . M -

Przy założeniu, że dobór (^ >^2 '¿y' zaPewnia w s P0 3 ób automa

tyczny ciągłość przemieszczeń między sześcianami "macierzystymi", wy

magania ciągłości i geometrycznej zgodności, a także warunek ZNm = 1 są w elementach SEZ-2 i SEZ-4 oczywiście spełnione, Tym samym spełnio

ne są kryteria zbieżności w przypadku elementów izoparametrycznych.

Można także wykazać, że funkcja N* w dowolnym węźle ściany powierz

chniowej jest identyczna z funkcją N^, bądź stanowi liniową kombina

cję N oraz' N, (funkcje przy dodatkowych węzłach na prostej prze-

ni x

chodzącej przez m). Oznacza to zbieżność £3J subparametrycznej od

miany proponowanych elementów.

Zauważmy, że w SEZ-2 1 0'£ ■]£ 3 są Płaszczy21>:1aml równole

głymi odpowiednio do O x^x2 i O oraz do pionowych ścian elemen

tu.

W SEZ-4 odpowiedniość ta dotyczy Of2£,, Ox£x^ oraz -poziomych ścian elementu. W efekcie, pod warunkiem, że rytm węzłów dodatkowych na ścia

nach zakrzywionych nie ulegnie zmianie podczas odwzorowania, można u- prościć związki (1), do postaci:

ń-

m=1 (2)

xk “ ak^ k + Xkotk " 2’3)

w przypadku elementu SEZ-2,

(7)

oraz

X1 = a1^1 + X10’

xk = g N^ 1 ^ 2 ^ 3 )xk U ) (1^ 2'3) (3)

dla elementu SEZ-4.

Symbol &. oznacza połowę odległości między odpowiednimi ścianami rów- noległymi (por. rys. 1,2), - współrzędną punktu 0.

Wszystkie charakterystyki elementów zakrzywionych w układzie glo

balnym zależą od podanych związków między współrzędnymi. Macierze od

kształcenia, naprężenia i sztywności zawierają pochodne cząstkowe funk

cji kształtu względem x^,r.z ,Xy które określone są znaną zależnością:

K 9Nm f \ _ l m -iI Ü u Ï l L K • «»z ’ 9i3 r - l « 1 ^ ’ ^ 3

(4)

przy czym dla (1) dowolny element macierzy jakobiego ma postaó:

9x. ,3N.

m

dgj Xl(m) (5)

W ogólnym przypadku wyrażenie explicite pochodnych (4) jest skompliko

wane, toteż jako regułę przyjęto [T], [Y] numeryczne obliczanie ich wartości w punktach całkowania. Operacja ta jest czasochłonna i uszczu

pla aparat analityczny w algorytmie metody.

Związki (2) i (3) prowadzą do znacznego uproszczenia obliczeń.

Oznaczając:

(8)

32 Maciej Gryczaąński

gdzieś

Xs(m) 10 J"s(.a) • as'

a - średni wymiar elementu w kierunku x,f

s ^

otrzymujemy dla SEZ-2 macierz Jakobiego postaci:

Stąd:

a1 *11 0 0 L_J ii

a1 ^21 a2, 0 a1 *31 0

a3-

det 0 - *1 a2 a3 X1

(7)

(

⁸

)

ar? 3N

*1 a1 »11

9N , 3»„ Ć>N

lto-2,3)

® xk ak *11 % 1

W przypadku elementu.SEZ-4 wyrażenia są bardziej złożone:

19)

”ai a2*12 a3 % 13~

H - 0

*2*22 «3*23 0 a2s32 a3* 33.

(

10

⁾

(9)

Zastosowanie szczególnego kształtu elementów.^ 33

0X1

^'1_

a 1

det [j] = a1 (1 1)

3N « t- 3Nm SN

m 1 r • m

ag - £ v u * 1 2 *3 3 " * 1 3 32'1 d g ^ ~ ^ X12X2 3 ~ X2 2 %23'1

3N„ , 9 N 9^{N m}

a ^ = ^ T T (*u ąjf ‘ *ki 3 ^ tk**2.3} (12)

ń.S = x22'*33 - *23*32

Korzyści obliczeniowe wynikające ze stosowania proponowanych kształtów są wyraźnie odczuwalne. Jeśli za poziom odniesienia przyjmiemy liczbę działań arytmetycznych potrzebną do obliczenia wektora pochodnychwzglę*

dem ,x2,x^ w punkcie dowolnego sześciościanu zakrzywionego, to ana

logiczna liczba działań dla elementu SEZ-4 wyniesie 57 t 65%,a dla e~

lementu SEZ-2 tylko 25% - 30%. Jest to duże skrócenie czasu.jeśli się zważy, że liczba operacji potrzebna do wyznaczenia wartości [Nj, (k = 1,2,3) w jednym punkcie jest rzędu n.n'. Tych punktów jest zwy

kle wiele, zwłaszcza gdy są to węzły numerycznego całkowania macierzy sztywności. Tu wyłania się następna, bodaj najważniejsza zaleta elemen

tów SEZ-2, SEZ-4* Otóż w myśl twierdzenia 1B0NSA [Ś] , £3], minimalna liczba węzłów całkowania potrzebna do dokładnego obliczenia objętości elementu:

> 1 T

| | | det [ j ] d| 1 d| 2 d^ 3 (13) V =

jest równocześnie najmniejszą liczbą węzłów w obliczeniu macierzy sztyw

ności, która zapewnia zbieżność rozwiązań. Jeśli zastosujemy do całko

wania najefektywniejszy wzór kwadraturowy GAUSSA-I15GENDEE A, to jako- bian w (13) musi być w związku z tym wielomianem stopnia ^ 2 N^-1 (k = 1, 2, 3). Symbol N,. oznacza tu liczbę punktów GAUSSA w kierun

ku | k.

(10)

34 Maciej Gryczmański

Badając jakobiany otrzymujemy analityczne sformułowania twierdzenia IHGK3A w postaci:

Nk> f (n’k - O , k = 1,2,3 (14)

w przypadku dowolnego sześciośpianu zakrzywionego:

2 t2nk"1)'

Nk> “ 1» k = 2 , 3 (15)

dla elementu SEZ-4s

N ^ ^ C n ^ - 1 ) ,

Nk ^ 2 nk ’ k * 2,3 (16)

dla elementu SEZ-2»

Przez n^ należy rozumieć maksymalną liczbę węzłów definiującą geome

trię w kierunkuj

Bozpatrzmy element SEZ-2 pokazany na rys. 1a. Minimum punktów GAUSSA wyniesie tu zgodnie z (16): Kfflin = J^.HTg.N *» 1.2.2. = 4. Gdyby rozsu

nąć dolne krawędzie elementu tak, by ściany boczne były płaszczyznami nachylonymi do^g ^, wówczas w myśl (14) Kmin = 2.5*3 = 30.Zwykle przyj

muje się nieco większą liczbę punktów GAUSSA, niemniej oszczędność cza

su w stadium całkowania jest w przypadku stosowania elementów uprosz

czonych bardzo wyraźna.

Jedynym poważniejszym zarzutem, jaki można by postawić elementom SEZ-2 i SBZ-4»ljest pewna komplikacja programu przez wprowadzenie dwóch dodatkowych wariantów. Zarzut ten ma rację bytu, gdy program jest uni

wersalny, obejmujący najszerszą klasę problemów. Bogactwo zagadnień mechaniki gruntów, czekających na analizę obliczeniową uzasadnia- jed

nak celowość tworzenia specjalnych programów tylko dla tej d-iedziny.

(11)

Wtedy zastosowanie elementów SEZ-2 i SEZ-4 wymaga wprowadzenia trzech gałęzi programu (dodatkowej dla prostopadłościanów) w stadium poprze

dzającym formowanie macierzy odkształcenia.

LITERATURA

1. Ergatoudis I.G., Irons B.M., Zienkiewicz O.C.: Curved» isoparametric quadrilateral elements for finite element analysis, International Journal of Solids and Structures, 7, 1968.

2. Irons B.M.: Engineering Application of numerical integration in stiffness method, J.A.I.A.A., 4, 1966.

3« Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady.Warszawa 1972 (tłum. z angielskiego).

HPHMEHEHKE HACTHOW ÎOPMÜ KOHEkHüX 3JIEMEHTOB B 3AflAkAX Î1EXAHHKK FPyHTCB

P e s b m e

B c i a T b e n p e j c T a B J i e H Ł i » B e C o J i e e n p o c t Ł i e $ o p » m a a r B y r a z , B e c T a r p a B s u z a a e u e H T O B , n p a c n o c o C J i e H H jc t s k m c a y v a a u r e o u e T p a u H a r p y w e s B M x r p y s r o B i o c u a c c H B O B , K O T o p u e n j i o x o a n p o K C H M n p y E T c a n a p a j u t e j t e n n n e » H H i O i 3s e » e H T a u « . B e p - TH K O JibH K e n o B e p x H o c m 3 » e M e H T a C 3 3 - 2 n j i o c K a e k B3aH M H o n e p n e H j B B y a a p H n e a o cH O B a H H B C 3 3 - 4 r o p a s o H T a j i L K u e h n f l o C K n e . B C T a T b e » a H o y n p o a e H B a $ o p n y I T p a H C ÿ o p u a U K H » J t a p a c c u a T p H B a e i t H x $ o p n b e p a B H e K m i c jzbóom k m s a r H y r u M 3 * e - u e H T O u , j I o K a 3 a K O , v t o c x e » y » ą n e o T c n » a H C V H C B E T ejib H tie b w o * h 3 H a v B T e .a i.H K .

(12)

36 Maciej Gryczi;.ański

APPLICATION Q? SPECIAL SHAPE OP FINITE ELEMENTS.

IN SOIL MECHANICS PROBLEMS

S u m m a r y

In this paper two simplier shapes of limited by six surfaces, cur

ved elements, are presented. There are adjusted to such cases of geo

metry of subjected to a load, soil system which are aproximated by pa

rallelepipeds inaccurately. Lateral surfaces of the SEZ-2 are perpen

dicular reciprocally, vertical planes and bases of the SEZ-4 are hori

zontal planes. In this paper simplifications of transformation formu- laes for consider shapes in comparison to an arbitrary, curved element are described. It is proved that resulting from here computation ad

vantages are considerable.