• Nie Znaleziono Wyników

¥ + ¥ + b 0 r ¥ + e + d w a 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "¥ + ¥ + b 0 r ¥ + e + d w a 1"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

ROZWIĄZANIE PRANDTLA

dla klina gruntu w granicznym stanie naprężenia

1. Założenia i dane Modelem gruntu jest ośrodek Coulomba:

1) niespoisty (c = 0, ϕ > 0) i nieważki (γ = 0), 2) w płaskim stanie odkształcenia,

3) zalegający w postaci nieskończonego klina opisanego kątami:

ε (do poziomu) β (do pionu),

4) spełniający w każdym punkcie klina równania równowagi statycznej,

5) spełniający w każdym punkcie klina warunek stanu granicznego („uplastycznienie”), czyli w naprężeniach stycznych i normalnych τ = σ·tgϕ,

6) obciążony równomiernie na krawędziach:

q = const pod kątem αo do normalnej, -ϕ < αo < ϕ q1 = const pod kątem δ do normalnej, -ϕ < δ < ϕ, przy czym zakładamy, że q > q1.

Szczegóły przedstawiono na rys.1.

Rys.1. Prezentacja zagadnienia.

Komentarz:

zaskakujące, ale pewne problemy stwarza tutaj … kąt tarcia wewnętrznego ϕ. W tym zagadnieniu jest to kąt tarcia wewnętrznego w założonym płaskim stanie

odkształcenia, a więc dla dosyć specyficznie narzuconej powierzchni ścięcia; ten kąt można (a właściwie wręcz należy) wyznaczyć po prostu w aparacie bezpośredniego ścinania

(aparacie skrzynkowym) z uniemożliwionym przemieszczeniem w jednym kierunku.

Inaczej mówiąc, w zagadnieniu Prandtla ignoruje się naprężenie (główne) σ2 w kierunku prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny, które występuje w warunku stanu granicznego w dowolnym przypadku 3D (punkty reprezentujące naprężenia leżą na nieskończonym ostrosłupie Coulomba-Mohra). Oznacza to, że kąt ϕ wyznaczany w trójosiówce może być inny niż kąt ϕ wyznaczany w aparacie skrzynkowym –

- i rzeczywiście tak jest, ten pierwszy jest zwykle kilka stopni większy.

β

ε

q

q1

+

+∞

+∞

+∞

0 δ

αo

z

x

A

B ρ ω

(2)

2. Ważne uwagi

Jedna z liczb q albo q1 jest znana, natomiast druga jest do wyznaczenia. W modelu sprężystym oba obciążenia mogłyby być dowolne, tutaj są one powiązane warunkiem uplastycznienia, analogicznie jak naprężenie okólne i osiowe w trójosiówce w stanie plastycznego płynięcia próbki.

Wszystkie pozostałe parametry muszą być znane, kąty dodatnie mają zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara, naprężenia ściskające są dodatnie.

Równaniami równowagi statycznej są równania różniczkowe cząstkowe:

0 , ,

0 ,

,

z x x

x z z

= τ + σ

= γ

= τ +

σ (1)

Warunkiem stanu granicznego jest równanie algebraiczne:

(

σ +σ

)

ϕ

= τ

⋅ + σ

σ ) 4 sin

( z x 2 2 z x (2) Poza kilkoma prostymi przypadkami (np. parcia gruntu wg Coulomba), nie udaje się

rozwiązać równań (1),(2) drogą analityczną – tym bardziej dla γ > 0.

Można to jednak zrobić w sposób przybliżony metodami numerycznymi, tzw. metodą charakterystyk. Wynika z tych rozwiązań w szczególności, że zadanie jest sformułowane nieprawidłowo (!). Wolno bowiem przyjąć, że q jest znane i stałe wzdłuż krawędzi 0A, ale wcale nie wiadomo, dlaczego szukane q1 na krawędzi 0B miałoby wyjść również stałe.

Obliczenia numeryczne wykazują, że obciążenie to jest trochę zmienne wzdłuż tej krawędzi klina: ma wartość asymptotyczną q1, ale stopniowo trochę maleje przy zbliżaniu się do naroża „0”.

Poszukiwanie stałej wartości q1 wzdłuż całej krawędzi 0B klina jest więc tylko postępowaniem przybliżonym.

3. Założenie Prandtla

Założenie, że poszukiwane q1 = const na całej krawędzi 0B ma znacznie szerszy kontekst.

Prandtl wprowadził walcowy (biegunowy) układ współrzędnych 2D z odległością ρ od naroża

„0” oraz z kątem ω liczonym do pionu, rys.1.

Nie wchodząc w szczegóły: równania (1) zawierają wówczas przetransformowane składowe naprężenia σρ , σω , τρω zamiast σz , σx , τ ; odpowiednio pochodne cząstkowe w nowych zmiennych ∂/∂ρ oraz ∂/∂ω zamiast ∂/∂z oraz ∂/∂x.

Podstawowym uproszczeniem Prandtla jest założenie, że

wszystkie składowe naprężenia w całym klinie nie zależą od promienia ρ.

Tak jest już z założenia wzdłuż krawędzi 0A, 0B, bo to też są (skrajne) promienie. Jest to do przyjęcia również dla kątów ω pośrednich, zawartych między krawędziami klina.

W takim razie, w klinie pozostaje wyłącznie zależność naprężeń od jednej zmiennej – kąta ω. A zatem układ równań różniczkowych cząstkowych (1),(2) przekształca się w układ równań różniczkowych zwyczajnych, bo znikają wszystkie pochodne ∂/∂ρ a zostają jedynie ∂/∂ω. Jest to zagadnienie znacznie prostsze do rozwiązania ☺ – co wcale nie znaczy jednak, że jest proste .

(3)

4. Rozwiązanie Prandtla

Z podobieństwa (jednokładności) wszystkich kół Mohra, stycznych do obwiedni τ = σ⋅tgϕ, można się spodziewać, że q1 jest proporcjonalne do q i rzeczywiście, rozwiązaniem otrzymanym przez Prandtla jest:

(Pr) aq

1

q K

q = ⋅

(3)

Kaq(Pr) jest współczynnikiem parcia gruntu wg Prandtla.

Definiujemy ważny parametr Θ zwany kątem wachlarza Prandtla:

β

− ε δ + + + ω α +

= ω

Θ

α δ

2 2

o

o (4)

gdzie

ωαo obliczamy z równania: sin(ωαo) = sin(αo)/sin(ϕ) ωδ obliczamy z równania: sin(ωδ) = sin(δ)/sin(ϕ) Jeśli Θ≥ 0 (zazwyczaj tak jest), to:

{ Θ ϕ }

ω ⋅

⋅ ϕ + α

ω

⋅ ϕ

= δ

α

δ

exp 2 tg

cos sin cos

cos sin K cos

o o

(Pr)

aq (5a)

Jeśli Θ≤ 0, to:

) m cos(

sin ) n cos(

) m cos(

sin ) n cos(

cos sin cos

cos sin K cos

o o

(Pr)

aq + ϕ⋅

⋅ ϕ

⋅ − ω

⋅ ϕ + α

ω

⋅ ϕ

= δ

α

δ (5a)

gdzie

kąt n obliczamy z równania: sin(n) = sin(ϕ)⋅sin(m), przy czym m = π/2 + Θ .

5. Interpretacja „kinematyczna”

Stanowi granicznemu towarzyszy płaszczyzna ścięcia (poślizgu) pod kątem π/4 ±ϕ/2 względem naprężeń głównych σi. W klinie te kierunki główne σi są jednak zmienne i lokalne poślizgi w sąsiednich punktach składają się na linie o dosyć złożonym kształcie, rys.2.

B

0 A

Aw

q

q1

(4)

Występują dwie rodziny prostoliniowych równoległych linii poślizgu (ścięcia):

• klin „odporu” A0AW

• klin „parcia” B0BW

• oraz strefa przejściowa Bw0Aw

zwana wachlarzem Prandtla (promienie z naroża 0 oraz spirale logarytmiczne), która w sposób ciągły i gładki (ciągłe styczne) łączy te dwie rodziny z sąsiadujących klinów.

Wartość kąta Bw0Aw wynosi Θ≥ 0, czyli kąt Θ jest rozwartością wachlarza Prandtla.

Dla przypadku Θ≤ 0, wachlarz Prandtla fizycznie nie występuje, linie poślizgu są w całości liniami prostymi, przechodzącymi z klina „odporu” do klina „parcia”. Te kliny, w pewnym sensie, przenikają się.

Ponieważ lokalne ścięcie (uplastycznienie) jest zakładane w każdym punkcie klina, więc narysowane powyżej linie poślizgu de facto występują nieskończenie gęsto.

(5)

6. Przykłady zastosowań

Przykład 1: Zgodność z teorią Coulomba dla parcia czynnego.

W tym przypadku ε = 0, β = 0, αo = 0, δ = 0.

Klin gruntu jest ćwiartką dolną płaszczyzny, tj. x > 0, z > 0.

Zatem również ωαo = 0, ωδ =0 i w końcu we wzorze (4) jest Θ = 0.

Znane jest q, a szukane jest q1, przy czym q1 < q i zachodzi stan graniczny, czyli q1 oznacza dokładnie parcie czynne gruntu ea na gładką, pionową ścianę.

Bezpośrednie podstawienie do (5) potwierdza, że:

ϕ +

ϕ

⋅ −

=

= 1 sin

sin q 1

K q

q

1 (Pr)aq ,

co pokrywa się ze wzorem Coulomba:

ea = Ka⋅(γ⋅z + q) = q⋅Ka .

„Zwykły” klin parcia czynnego wg Coulomba składa się tutaj z klina „parcia” przy ścianie i klina „odporu”

przy powierzchni, ale w sumie dają one jeden trójkąt.

Wachlarz Prandtla nie występuje, redukuje się do jednej linii o zerowej grubości.

π/4+ϕ/2

q

(6)

Przykład 2: W teorii Prandtla odpór bardzo łatwo wynika z parcia

Dotychczas zakładano, że zadane jest q, a szukane jest q1, przy czym q1 < q, oraz że cały klin jest poddawany ścinaniu („uplastyczniony”).

W domyśle:

q jest przyłożonym obciążeniem gruntu, a q1 jest mniejszym od niego parciem gruntu na ścianę, która ma możliwość przemieszczeń ”od gruntu” (parcie gruntu na ścianę zmaleje, bo zaczyna on pracować na ścinanie).

Nic nie stoi na przeszkodzi, aby odwrócić sytuację:

zadane jest q1 , a szukane jest q, przy czym jak poprzednio q1 < q, oraz że cały klin jest poddawany ścinaniu („uplastyczniony”).

W domyśle:

q1 jest przyłożonym obciążeniem gruntu, a q jest większym od niego odporem gruntu na ścianę, która ma możliwość przemieszczeń „do gruntu” (parcie gruntu na ścianę wzrośnie, bo trzeba pokonać opór gruntu na ścinanie).

A zatem od razu z (3) otrzymuje się

(Pr) aq

1

K

q = q (3*)

lub po prostu

q = q

1

⋅ K

(Pr)pq gdzie (Pr)

aq (Pr)

pq

K

K = 1

Zachodzi więc (jak i u Coulomba): Kp ⋅ Ka = 1,

co nie jest prawdziwe u Ponceleta i Mullera-Breslaua (też PN-83/B-03010).

W odróżnieniu od teorii Rankine’a, Coulomba, czy Ponceleta, odpór i parcie są u Prandtla właściwie tym samym przypadkiem, problem tylko jak obrócić klin gruntu (co jest znane, a co szukane).

Dobrze koresponduje to z doświadczeniem, bo ścięcie (poślizg) w próbce jest jednym zjawiskiem fizycznym i jedno jest graniczne koło Mohra. Czy nazwać to stanem czynnym, czy stanem biernym, decyduje dla σ1 > σ3 :

• σz = σ1 oraz σx = σ3 … ten przypadek oznaczaparcie

• σx = σ1 oraz σz = σ3 … ten przypadek oznaczaodpór.

(7)

Przykład 3: Z klinem ważkim są kłopoty (prawie) nie do pokonania…

Ciężar własny γ > 0 wyklucza dopuszczalność założenia Prandtla z pkt.3, bo naprężenia rosłyby z głębokością (kierunek pionowy jest jednym z promieni ρ), więc metoda „sypie się”.

1) Jeśli obciążenia zewnętrzne q lub q1 są „bardzo duże” w stosunku do obciążeń od ciężaru własnego γ > 0 (np. cienka warstwa gruntu lub niska ściana oporowa), to całkowite pominięcie ciężaru własnego mogłoby być czasem dopuszczalne.

2) Zwykle jednak tak nie jest, a wtedy wpływ γ > 0 szacuje się inną metodą (dla q = 0) i dodaje do wpływu q z rozwiązania Prandtla.

Takim szacowaniem może być również całkowanie rozwiązania Prandtla dla q = const, co jest przedstawione poniżej.

Niech będzie ε = 0.

Jeśli za stałe obciążenie (pionowe) przyjąć dq = γ⋅dz i przyłożyć je na pewnej głębokości wewnątrz klina A0B, to poniżej tego poziomu wystąpi w przybliżeniu parcie na ścianę dq1 = dq⋅ Kaq(Pr) wg wzoru (3).

Potem należy wysumować działanie wszystkich takich pasków dq w całym zakresie wysokości.

Można uznać to za przybliżenie bezpieczne, bo w rzeczywistości dq nie są stałe na danym poziomie – trochę maleją przy ścianie (część obciążeń pionowych przeniósł już odcinek ściany leżący powyżej rozpatrywanego paska). A zatem dq1 jest (lekko) zawyżone.

W warunkach Coulomba jest to oczywiście metoda ścisła, bo gładka pionowa ściana nie przenosi żadnych sił pionowych i „schodząc” na niższe poziomy mamy rzeczywiście stałe obciążenia os warstewek dq = γ⋅dz.

Jest więc w przybliżeniu (raczej dla kątów β nachylenia ściany bliskich zeru):

l K

h K

dz K

dq K

q (Pr)aq (Pr)a

h

0 (Pr) aq (Pr)

aq

1

= ⋅γ⋅

= ⋅γ⋅ = γ ⋅γ⋅ (wykres po trójkącie),

gdzie przyjęto zmienną l jako długość odcinka 0B, a także K(Pr)aγ =K(Pr)aq ⋅cosβ. Dygresja:

Takie dodawanie rozwiązań w ramach stanów granicznych, czy ogólniej plastyczności, wymaga ostrożności – w odróżnieniu od np. liniowej sprężystości.

Na ogół bowiem zasada superpozycji tutaj nie zachodzi.

Jeśli klocek o ciężarze N1 leży na poziomej szorstkiej powierzchni o współczynniku tarcia µ, a siła T1 = µ⋅N1 przesuwa go ruchem jednostajnym w prawo, to jest to stan graniczny (poślizg).

Oczywiście, siła T2 = −µ⋅N1 będzie tak samo przesuwała w lewo (poślizg) klocek o ciężarze N1. Jeśli skleić ze sobą takie dwa klocki (ciężar 2N1) i przyłożyć obie siły poziome, to nie spowoduje to stanu granicznego, ponieważ T = T1 + T2 = 0. Suma stanów granicznych nie jest tutaj stanem granicznym. W przypadku, gdy obie siły działają w tę samą stronę,

suma stanów granicznych jest stanem granicznym, bo:

T = µ⋅N , jeśli T = T1 + T2 , N = 2N1 ,

dq dq 0 A

B

dq h

(8)

Przykład 4: Nośność ławy fundamentowej Rk

Nie od razu to widać, ale powszechnie stosowany normowy wzór na nośność ławy Rk [kNm]

np. w Eurokodzie EC-7.1, wynika z rozwiązania Prandtla dla klina w płaskim stanie przemieszczenia. Wyprowadza się go w wersji dla naprężeń, czyli dla qf = Rk /B, tj.:

γ B

q 1 c

f γ B N

2 N 1 q N c

q = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ 1. Zakładamy, że c = 0.

Jeśli tak nie jest, to Nc łatwo otrzymać z tzw. zasady odpowiadających stanów naprężeń (następny wykład), Nc = ctgϕ⋅(ND – 1).

Uwzględnienie c > 0 następuje w sposób ścisły i ten wpływ się sumuje.

2. Zakładamy, że γB = 0.

Przypadek γB > 0 można uwzględnić wyłącznie metodami przybliżonymi, co zasygnalizowano w poprzednim przykładzie. Sumowanie tego wpływu jest tylko

przybliżone (różne źródła mogą zatem przyjmować np. różną postać współczynnika Nγ).

3. Trzeba wykazać, że qf =q1Nq, czyli wyznaczyć Nq .

Obciążenie qf przedłuża się do nieskończoności, bo o nośności ławy decyduje i tak strona przeciwna, gdzie q1 jest mniejsze (minimalna głębokość zagłębienia fundamentu Dmin). W tym przypadku znane są: q1 = γD ⋅ Dmin , ε = 0, β = -π/2, αo = 0, δ = 0.

Zatem również ωαo = 0, ωδ =0 i w końcu we wzorze (4) jest Θ = 0 – (-π/2) = π/2 > 0.

Oczywiście szukamy q = qf > q1 .

Klin Prandtla jest „wyprostowany” i tworzy półpłaszczyznę A0B o poziomej krawędzi.

Na podstawie (3*) z Przykładu 2 otrzymuje się po prostu = = (Pr) =

aq (Pr) pq

q K

K 1 N

{ π ϕ }

ϕ ⋅

− ϕ

= + exp tg sin

1 sin

N

D

1

, na podstawie (5a) dla Θ > 0.

q1

q q

B A

Bw

Aw

0

Cytaty

Powiązane dokumenty

Strony ustalają, że równoznacznym z zachowaniem terminu zakończenia robót jest złożenie przez Wykonawcę w tym samym czasie pisemnego zgłoszenia gotowości do

Strony ustalają, że równoznacznym z zachowaniem terminu zakończenia robót jest złożenie przez Wykonawcę w tym samym czasie pisemnego zgłoszenia gotowości do

To bowiem w praktyce życia codziennego ujawnia się siła działania podmiotów tego życia, których wybory i decyzje determinują sens i funkcjonalne znaczenie

Istnienie prawdy to rzecz jasna sama z siebie; kto bowiem przeczy istnieniu prawdy, tym samym uznaje jej istnienie; bo gdy mówi: nie ma prawdy, tym samym twierdzi: prawdą jest,

Zaprojektowanie i budowa sali gimnastycznej przy Zespole Szkół w Twierdzy Modlin (Gimnazjum) - kwota zmiany.

Tomek i Bartek zbierają znaczki.. Bartek ma 23

Uczyniliśmy, co było w naszej mocy na drodze dyplomatycznej, atoli Zygmunt Luksemburczyk, który winien być bezstronnym rozjemcą, w oczywisty sposób krzyżackim psom sprzyja!. A

- dotacje celowe otrzymane z budżetu państwa na realizację zadań bieżących z zakresu administracji rządowej oraz innych zadań zleconych gminie (związkom gmin) ustawami - -