Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział na którym funkcja f (x) = x 3 + 3x 2 − 24x + 1 jest ściśle rosn¸ aca i wypukła.

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw A Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział na którym funkcja f (x) = x ³ + 3x ² − 24x + 1 jest ściśle rosn¸ aca i wypukła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle rosn¸ aca i wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

 f ⁽¹⁾ (x) > 0 f ⁽²⁾ (x) > 0 St¸ ad

f ⁽¹⁾ (x) > 0 ↔ 3(x ² + 2x − 8) > 0 ↔ 3(x + 4)(x − 2) > 0 ↔ x ∈ (−∞, −4) ∪ (2, ∞) f ⁽²⁾ (x) > 0 ↔ 6(x + 1) > 0 ↔ (x > −1)

Z rozwi¸ azania układu nierówności wynika, że funkcja f (x) jest ściśle rosn¸ aca i wypukła na przedziale (2, ∞).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = −x + 2 i parabol¸ a y = x ² − 2x.

Patrz wykres 1.pdf oddzielny zał¸ acznik . Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

 y = −x + 2 y = x ² − 2x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, 3), (2, 0).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy

pola P ₁ , P ₂ , P ₃ .

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy dodatni¸ a cz¸eści¸ a prostej i dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli. St¸ ad jego wartość

|P ₁ | = Z 0

−1

[(−x+2)−(x ² −2x)]dx = Z 0

−1

(2+x−x ² )dx = −2(−1)−(−1) ² /2+(−1) ³ /3 = 7/6 Pole P ₂ zawarte w zakresie 0 < x < 2 mi¸edzy prost¸ a i osi¸ a OX jest równe

|P 2 | = Z 2

0

[(−x + 2) − 0]dx = −(2) ² /2 + 2 · 2 = 2

Pole P ₃ zawarte w tym samym zakresie argumentu x mi¸edzy osi¸ a OX i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli.

|P ₃ | = Z 2

0

[0 − (x ² − 2x)]dx = Z 2

0

(−x ² + 2x)dx = −2 ³ /3 + 2 · 2 ² /2 = 4/3 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = 7

6 + 2 + 4 3 = 27

6 = 4 3 6 = 4 1

2 .

Uwaga: Pole P można obliczyć za pomoc¸ a jednej całki oznaczonej:

|P | = Z 2

−1

[(−x + 2) − (x ² − 2x)]dx = Z 2

−1

(2 + x − x ² )dx = 4 + 2 + 2 − 1/2 − 8/3 − 1/3 = 4 1 2

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

n→∞ lim

2n ² + n + (−1) ⁿ 3n ² + n sin(n) + 4 . Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a n ≤ b n ≤ c n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a n ), (b n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b _n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n ”

2n ² − n − 1

3n ² + n + 4 ≤ 2n ² + n + (−1) ⁿ

3n ² + n sin(n) + 4 ≤ 2n ² + n + 1 3n ² − n + 4 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = 2 3

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

Z

sin ² x cos ⁵ xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = sin x, dt = cos xdx

Z

sin ² x cos ⁵ xdx = Z

sin ² x cos ⁴ x cos xdx = Z

sin ² x(1 − sin ² x) ² cos xdx =

= Z

t ² (1 − t ² ) ² dt = Z

(t ⁶ − 2t ⁴ + t ² )dt = sin ⁷ x

7 − 2 sin ⁵ x

5 + sin ³ x 3 + C

Zadanie 5 Prosz¸e obliczyć

Z −52

(x + 2)(x ² − 6x + 10) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

1

(x + 2)(x ² − 6x + 10) = A

x + 2 + Bx + C

x ² − 6x + 10 = (A + B)x ² + (−6A + 2B + C)x + (10A + 2C)

(x − 2)(x ² − 6x + 10

St¸ ad







A + B = 0

−6A + 2B + C = 0 10A + 2C = 1 Rozwi¸ azaniem układu jest

A = 1

26 , B = − 1

26 , C = 8 26 . Prosz¸e sprawdzić!

St¸ ad

Z −52

x ² − 6x + 10 dx = −2

Z 1

x − 2 dx +

Z 2x − 16

x ² − 6x + 10 dx = c 1 + c 2

c 1 = −2

Z 1

x − 2 dx = −2ln|x − 2| + E c ₂ =

Z 2x − 16

x ² − 6x + 10 dx =

Z 2x − 6 − 10 x ² − 6x + 10 dx =

Z 2x − 6

x ² − 6x + 10 dx−10

Z dx

(x − 3) ² + 1 =

= ln(x ² − 6x + 10) − 10 arctan(x − 3) + F

Czyli

Z −52

x ² − 6x + 10 dx = −ln(x − 2) ² + ln(x ² − 6x + 10) − 10 arctan(x + 3) + G =

= ln x ² + 6x + 10

(x − 2) ² − 10 arctan(x + 3) + G gdzie G = E + F .

Zadanie 6

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = cos(π · 3 ^x ) w punkcie (−1, f (−1)).

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )

y = f

(x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ )

f

(x) = −π3 ^x ln(3) sin(π3 ^x ), f

(−1) = ^{−π ln(3)}

√ 3

6 , f (−1) = cos(π/3) = ¹ ₂ . St¸ ad równanie stycznej w punkcie (−1, 1/2) ma postać

y = − πln(3) √ 3

6 (x + 1) + 1

2 .