Analiza I, ISIM Lista zada« nr 11
1. Przedstaw nast¦puj¡ce liczby w postaci uªamka zwykªego: a) 0, 222.., b) 0, 1333.., c) 0, 12(345), d) 0,999...
2. Wyka», »e poni»sze rozwini¦cia dziesi¦tne odpowiadaj¡ liczbom niewymiernym:
0, 101001000100001.., 0, 123..8910111213..192021..
3. Poka», »e liczby√ 2 +√
3, log102 s¡ niewymierne.
4. Poka», »e suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczb¡ niewymiern¡. Czy suma liczb niewymiernych musi by¢ niewymierna?
5. Czy liczby√
3− 2√ 2,√
3− 2√ 2−√
2, log√5−2(4√
5 + 9) s¡ wymierne?
6. Poka», »e dla dowolnie du»ej liczby naturalnej n, istniej¡ liczby wymierne x i y takie, »e x <√
2 < y oraz |x − y| < 1/n.
7. Udowodnij, »e je±li n jest liczb¡ naturaln¡, to√
njest liczb¡ naturaln¡ lub niewymiern¡.
8. Poka», »e dla ka»dego n ∈ N liczby√
n(n + 1)i√
n + 1−√
ns¡ niewymierne.
9. Znajd¹ liczb¦ wymiern¡ pomi¦dzy liczbami 1/(2√
3)i 1/√
5 oraz liczb¦ niewymiern¡ pomi¦- dzy 2/√
5i 3/√ 10.
10. Udowodnij, »e pomi¦dzy dwoma liczbami rzeczywistymi znajduje si¦ liczba wymierna oraz liczba niewymierna.
11. Niech a, b ∈ R. Wyka», »e je»eli dla ka»dego ε > 0 zachodzi a ≤ b + ε, to a ≤ b.
12. Niech x ∈ (0, 1) b¦dzie liczb¡ niewymiern¡. Czy liczba √
1− x2 musi by¢ liczb¡ niewy- miern¡?
13. Oblicz
inf {1
n : n∈ N }
, sup {1
n : n∈ N }
, sup
{n− 1
n : n∈ N }
.
14. Wyznacz kres górny i dolny zbioru uªamków dziesi¦tnych postaci 0, 88..8. Czy zbiór ten posiada element najwi¦kszy?
1Listy zada« b¦d¡ skªadaªy si¦ z 3 cz¦±ci:
• cz¦±¢ pierwsza: nale»y j¡ rozwi¡za¢ samodzielnie przed zaj¦ciami; jedynie pojedyncze zadania z tej cz¦±ci b¦d¡ rozwi¡zywane podczas ¢wicze«;
• cz¦±¢ druga: zadania z tej cz¦±ci nale»y przygotowa¢ i b¦d¡ rozwi¡zywane w trakcie zaj¦¢;
• cz¦±¢ trzecia: zadanie wykraczaj¡ce poza program i nieobowi¡zkowe; zach¦cam jednak do zmierzenia si¦
z nimi.
15. Wyznacz kres górny i dolny zbioru liczb postaci (n+m)2nm2,gdzie n i m s¡ liczbami naturalnymi.
Czy zbiór ten posiada element najwi¦kszy?
16. Oblicz
sup
m∈Ninf
n∈N
m
m + n inf
m∈Nsup
n∈N
m m + n
17. Wyka», »e je»eli x ≤ y dla ka»dych x ∈ A, y ∈ B, to sup A ≤ inf B. Czy prawdziwe jest wynikanie odwrotne?
18. Wyka», »e ∅ ̸= A ⊂ B poci¡ga sup A ≤ sup B oraz inf B ≤ inf A.
19. Udowodnij, »e je»eli A i B s¡ zbiorami ograniczonymi, to sup A− inf B = sup(A − B).
20. Poda¢ przykªad niepustego zbioru A speªniaj¡cego podane warunki lub uzasadni¢, »e taki zbiór nie istnieje:
a) inf A = 3, sup A = 5, »aden element zbioru A nie jest liczb¡ wymiern¡.
b) inf A = 0, sup A = 1, A jest zbiorem 3-elementowym.
c) (inf A)2 = 3, (sup A)2 = 2.
d) inf A < 0, wszystkie elementy A s¡ nieujemne.
e) 1 /∈ A, sup A = 1, A jest sko«czony.
f) inf A + sup A =√
2, wszystkie elementy A s¡ wymierne.
21. Wyka», »e zbiór
A = {1
2 + 2
22 +· · · + n
2n; n∈ N }
jest ograniczony.
22. Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb niewymiernych w przedziale (0, 1). Poka», »e A + A = (0, 2), gdzie A + A = {x + y x, y ∈ A}.
23∗. Poka», »e liczba √ 2 +√
3 +√
5 jest niewymierna. Wskazówka: Podnie± dwukrotnie do kwadratu.
24∗.Poka», »e liczba √ 2 +√3
3jest niewymierna.
25∗. Poka», »e dla dowolnej liczby naturalnej n niepodzielnej przez 2 i 5 pewna liczba postaci 99 . . . 9 jest podzielna przez n. Wyznacz t¦ liczb¦ dla n = 7. Wskazówka: Zbadaj reszty z dzielenia przez n liczb postaci 10k.
26∗. Niech xn oznacza pierwsz¡ od lewej cyfr¦ rozwini¦cia dziesi¦tnego liczby 2n. Czy liczba 0, x1x2. . .jest wymierna?
