Poj ecia podstawowe

Poj ecia podstawowe

Zbi´or liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y ∈ R} mo˙zna uto˙zsamia´c z p laszczyzna dwuwy-_, miarowa, kt´_, ora b_, edziemy oznacza´_, c symbolem C i nazywa´c p laszczyzna zespolon_, a otwart_, a._, Konstrukcja rzutu stereograficznego

W przestrzeni R³definiujemy sfere x_, ²+y²+ z −¹₂
2

= ¹₄ styczna do p laszczyzny uk ladu OXY_, w poczatku uk ladu wsp´_, o lrzednych. Punkt N = (0, 0, 1) ∈ S_, ² nazywa´c bedziemy biegunem_, p´o lnocnym sfery. Ka˙zdemu punktowi z = x + iy ∈ C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) ∈_, S²\ {N } bed_, acy punktem przeci_, ecia odcinka l_, acz_, acego punkt z ∈ C z punktem N ._,

Definicja 1. Odwzorowanie P : C z =⇒ Z ∈ S²\ {N }, z = x + iy =⇒ Z = (ξ, η, ζ), gdzie ξ = _1+|z^x2|, η = _1+|z^y 2|, ζ = _1+|z^|z|22|, nazywamy rzutem stereograficznym.

Uwaga 1. Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne P⁻¹ : S² \ {N } =⇒

C, Z = (ξ, η, ζ) =⇒ z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = _1−ζ^ξ , y = _1−ζ^η . Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja mi_, edzy p laszczyzn_, a otwart_, a C i sfer_, a bez bieguna p´_, o lnocnego, kt´oremu nie odpowiada ˙zaden punkt na p laszczy´znie. Um´owimy sie, ˙ze punktowi N odpo-_, wiada punkt w niesko´nczono´sci (ozn. ∞).

Definicja 2. P laszczyzna domnki_, et_, a, kt´_, ora oznaczamy symbolem ¯C nazywamy sume C∪{∞}_, i uto˙zsamiamy ja z dwywymiarow_, a sfer_, a zwan_, a sfer_, a Riemanna._,

W p laszczy´znie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesow_, a d(z_{, 1}, z₂) := |z₁ − z₂|. W p laszczy´znie domknietej ¯_, C wprowadzamy metryke sferyczn, a, w kt´_, orej odleg lo´s´c miedzy punk-_, tami z₁, z₂ definiujemy jako odleg lo´s´c euklidesowa mi_, edzy ich obrazami przy rzucie stereogra-_, ficznym na sferze tzn.

ρ(z₁, z₂) := |z₁− z₂|

p1 + |z1|²p1 + |z2|² z₁ 6= z₂ ∈ C, ρ(z, ∞) := 1

p1 + |z|², z 6= ∞.

Definicja 3. Obszar D ⊂ C (odpow. D ⊂ ¯C) nazywamy jednosp´ojnym, je´sli jego brzeg jest zbiorem sp´ojnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielosp´ojnym.

Definicja 4. Niech D ⊂ C. Odwzorowanie f : D → ¯C, z → w = f (z) nazywamy funkcja,

zespolona zmiennej zespolonej._,

1

Argument z funkcji f i jej warto´s´c w = f (z) rozk ladamy na cze´s´_, c rzeczywista i urojon_, a tzn._, z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten spos´ob rozk lad funkcji

w = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

na cze´s´_, c rzeczywista Ref (z) := u(x, y) i cz_, e´s´_, c urojona Imf (z) := v(x, y). Cz_, e´s´_, c rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywist_, a dw´_, och zmiennych x, y.

Granica i ciag lo´_, s´c funkcji

Definicja 5. Niech D ⊂ C, f : D → C, z0 ∈ D.

z→zlim0

f (z) = g ⇔ ∀ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ D 0 < d(z, z0) < δ ⇒ d(f (z), g) < .

Lemat 1. Niech D ⊂ C, f : D → C, z⁰ ∈ D.

z→zlim0

f (z) = g ⇔ lim

(x,y)→(x0,y0)u(x, y) = Reg i lim

(x,y)→(x0,y0)v(x, y) = Img.

Definicja 6. Niech D ⊂ C, f : D → C, z0 = x₀+ iy₀ ∈ D. Funkcja f jest ciag la w z_{, 0} je´sli lim_z→z0f (z) = f (z₀).

Lemat 2. Niech D ⊂ C, f : D → C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x₀ + iy₀ ∈ D. Funkcja f (z) jest ciag la w z_{, 0} wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje u(x, y) i v(x, y) sa ciag le w (x_{, 0}, y₀).

Definicja 7. Powiemy, ˙ze funkcja f (z) jest ciag la w ∞, je´_, sli funkcja f (¹_z) jest ciag la w zerze._, Pochodna funkcji

Definicja 8. Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, z0 ∈ D. Granice w la´_, sciwa ilorazu_, r´o˙znicowego lim_∆z→0^{f (z0+∆z)−f (z}_∆z ⁰⁾ nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy_, f⁰(z₀). Inne zapisy:

f⁰(z₀) := lim

∆z→0

f (z₀+ ∆z) − f (z₀)

∆z lub f⁰(z₀) := lim

z→z0

f (z) − f (z₀) z − z₀ . W lasno´sci:

Je˙zeli funkcje f i g maja pochodn_, a w punkcie z to_, 1. (f ± g)⁰(z) = f⁰(z) ± g⁰(z).

2

2. (f g)⁰(z) = f⁰(z)g(z) + f (z)g⁰(z).

3. 

f g

⁰

(z) = ^f0(z)g(z)−f (z)g⁰(z)

[g(z)]² dla z /∈ g⁻¹(0).

4. Je˙zeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodn_, a w punkcie z to_, (f ◦ g)⁰(z) = f⁰(g(z))g⁰(z).

Twierdzenie 1. (warunek konieczny istnienia pochodnej)

Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, f (z) = u(x, y)+iv(x, y), z0 = x₀+iy₀ ∈ D. Je´sli funkcja f

ma w punkcie z₀pochodna f_, ⁰(z₀) to istnieja pochodne cz_, astkowe_, ^∂u_∂x(x₀, y₀),^∂u_∂y(x₀, y₀),^∂v_∂x(x₀, y₀),^∂v_∂y(x₀, y₀) i spe lniaja warunki:_,

∂u

∂x(x0, y0) = ∂v

∂y(x0, y0), ∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0), zwane warunkami Cauchy’ego-Riemanna.

Wniosek 1. Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x₀+ iy₀ ∈ D.

Je˙zeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z₀ to:

f⁰(z₀) = ∂u

∂x(x₀, y₀) + i∂v

∂x(x₀, y₀) = ∂v

∂y(x₀, y₀) − i∂u

∂y(x₀, y₀)

= ∂u

∂x(x₀, y₀) − i∂u

∂y(x₀, y₀) = ∂v

∂y(x₀, y₀) + i∂v

∂x(x₀, y₀).

Definicja 9. Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x₀+ iy₀ ∈ D.

Pochodne czastkowe funkcji f w punkcie z_{, 0} wyra˙zaja si_, e wzorami_,

∂f

∂x(z₀) = ∂u

∂x(x₀, y₀) + i∂v

∂x(x₀, y₀) lub ∂f

∂y(z₀) = ∂u

∂y(x₀, y₀) + i∂v

∂y(x₀, y₀).

Stad i z Wniosku 1 otrzymamy nast_, epuj_, ace wzory na pochodn_, a funkcji f w punkcie z_{, 0}. f⁰(z₀) = ∂f

∂x(x₀, y₀) = −i∂f

∂y(x₀, y₀).

Twierdzenie 2. (warunek dostateczny istnienia pochodnej)

Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x₀ + iy₀ ∈ D. Je˙zeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa r´_, ozniczkowalne w punkcie (x₀, y₀) i spe lniaja w tym punkcie warunki_, Cauchy’ego Riemanna to funkcja f ma pochodna w z_{, 0}.

3

Definicja 10. Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, z⁰ = x0 + iy0 ∈ D. Pochodne formalne funkcji f (z) definiujemy nastepuj_, aco:_,

∂f

∂z(z₀) := 1 2

 ∂f

∂x(z₀) − i∂f

∂y(z₀)



, ∂f

∂ ¯z(z₀) := 1 2

 ∂f

∂x(z₀) + i∂f

∂y(z₀)

 .

Twierdzenie 3. (warunek r´o ˙zniczkowalno´sci funkcji w postaci zespolonej)

Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, f (z) = u(x, y)+iv(x, y), z0 = x₀+ iy₀ ∈ D. Zak ladamy, ˙ze funkcje u(x, y) i v(x, y) sa r´_, o˙zniczkowalne w punkcie z0 = (x0, y0). Funkcja f (z) ma pochodna_, w punkcie z₀ = x₀+ iy₀ wtedy i tylko wtedy, gdy ^∂f_{∂ ¯z}(z₀) = 0.

Uwaga 2. f⁰(z0) = ^∂f_∂z(z0) Definicja 11.

Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z⁰ = x0+ iy0 ∈ D. Funkcje f (z)_, nazywamy holomorficzna (r´_, o˙zniczkowalna w sensie zespolonym) w zbiorze D je´_, sli w ka˙zdym punkcie z ∈ D istnieje pochodna f⁰(z).

Ozn. f ∈ H(D).

Definicja 12. Niech D ⊂ C otwarty, f : D → C, z⁰ ∈ D.

Funkcje f (z) nazywamy holomorficzn_, a (r´_, o˙zniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie z_{, 0} ∈ D je´sli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu U ⊂ D punktu z₀ tzn. dla ka˙zdego z ∈ U istnieje f⁰(z).

W lasno´sci funkcji holomorficznych:

1. Je´sli f, g ∈ H(D) to (f ± g) ∈ H(D) oraz f g ∈ H(D).

2. Je´sli f, g ∈ H(D) to ^f_g ∈ H(D \ (g⁻¹(0)).

3. Je´sli g ∈ H(D), f ∈ H(f (D)) to (f ◦ g) ∈ H(D).

4