1. Zbadaj różniczkowalność funkcji f : R 2 → R (czyli podaj, gdzie funkcja jest różniczkowalna, a gdzie nie jest):

Seria nr 5. Termin oddania — 30-10-2007.

Zadanie 1 jest do oddania na kartce. Kolejne zadania są dodatkowe (choć bardzo polecam zrobienie ich przed robieniem zadania punktowanego).

1. Zbadaj różniczkowalność funkcji f : R ² → R (czyli podaj, gdzie funkcja jest różniczkowalna, a gdzie nie jest):

f (x, y) =

( √ _sin(xy

)

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0

2. Dla powyższej funkcji oblicz pochodne cząstkowe ^∂f _∂y (1, 0) i ^∂f _∂y (0, 0) oraz pochodne kierunkowe D _h (1, 0) w kierunku wektora h = [2, 1] ^T i D _h (0, 0) w kierunku wektora h = [−1, 1] ^T .

3. Zbadaj różniczkowalność funkcji g : R ² → R:

g(x, y) =

( xy

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0 4. Zbadaj różniczkowalność funkcji h : R ² → R ² danej wzorem:

h(x, y) =  h ₁ (x, y) h ₂ (x, y)

 , gdzie funkcje h 1 oraz h 2 dane są wzorami:

h ₁ (x, y) =

( x

+y

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0

h ₂ (x, y) =

( x

−y

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0

5. W zależności od parametru q ∈ (−∞, +∞) zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji

g(x, y) =

 |x|

|y|

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0 6. Dana jest funkcja f : R ² → R wzorem

f (x, y) =

( x

y

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0

Wyznacz jej pochodną cząstkową ^∂f _∂x (w punkcie (0,0) z definicji). Następnie zbadaj ciągłość

otrzymanej w ten sposób funkcji.