FrantiSek KuIUna
Hradec Kr&love, Czechosłowacja
Dydaktyka matematyki a praktyka nauczania
Mój g ł o s w y w o d z i s i ę z o s o b i s t y c h d o ś w i a d c z e ń d y d a k t y c z n y c h o r a z ze s t u d i o w a n i a l i t e r a t u r y . Nie r e p r e z e n t u j e on s t a n o w i s k a ż a d n e j i n s t y t u c j i . A r t y k u ł s k ł a d a s i ę z t r z e c h c z ę ś c i : w p i e r w s z e j z n i c h z a s t a n a w i a m się, c o w p ł y w a n a n a u c z a n i e m a t e m a t y k i , w d r u g i e j f o r m u ł u j ę p e w n e p r o b l e m y d y d a k t y c z n e , a w t r z e c i e j u s t o s u n k o w u j ę s i ę do d z i e w i ą t e g o p r o b l e m u F r e u d e n t h a l a .
1. Z N A C Z E N I E D Y D A K T Y K I M A T E M A T Y K I D L A P R A K T Y K I
M o ż n a p r z y t o c z y ć p r z y k ł a d y n a to, że n a n a u c z a n i e m a t e m a t y k i w p ł y w a j ą c z ę s t o s u b i e k t y w n e s t a n o w i s k a , że n a w e t p r a k t y c z n e p o t r z e by n i e s ą s t a w i a n e d o s t a t e c z n i e o b i e k t y w n i e ; p r o g r a m y są o k r e ś l a n e z jed n e j s t r o n y t r a d y c j ą , z d r u g i e j z a ś m o dą; p r z e c e n i a s i ę z n a c z e n i e z m i a n w t r e ś c i n a u c z a n i a , a n i e r e s p e k t u j e s i ę w s p o s ó b d o s t a t e c z n y r z e c z y w i s t y c h w a r u n k ó w , w k t ó r y c h r e a l i z u j e s i ę n a u c z a n i e .
D l a c z e g o t a k j e s t ?
J e d n y m z p o w o d ó w j e s t b e z s p r z e c z n i e fakt, ż e d y d a k t y k a m a t e m a t y k i n i e d a j e w y s t a r c z a j ą c o g ł ę b o k i c h i o b i e k t y w n i e s p r a w d z o n y c h r e z u l t a t ó w , k t ó r e b y p r a k t y k a n a u c z a n i a m o g ł a w y k o r z y s t y w a ć . 0 d y d a k t y c e m a t e m a t y k i m ó w i s i ę i p i s z e od w i e l u lat, i s t n i e j e s z e r e g i n s t y t u c j i , k t ó r e s i ą n i ą z a j m u j ą , a ś w i a t o w a t w ó r c z o ś ć w d z i e d z i n i e d y d a k t y k i j e s t Już s t o s u n k o w o b o gata. P o m i m o to j e d n a k p r z y r o z w i ą z y w a n i u t e o r e t y c z n y c h i p r a k t y c z n y c h p r o b l e m ó w z w i ą z a n y c h z n a -
96 F R A N T I S E K K U R I N A
u c z a n i e m m a t e m a t y k i j e s t e ś m y ś w i a d k a m i r a c z e j r o z s t r z y g a n i a o p a r t e g o n a r z e c z y w i s t o ś c i i e m p i r i i n i ż n a teorii. N a d z w y c z a j n y w p ł y w m a j ą w tej s y t u a c j i o s o b o w o ś c i , k t ó r e ł ą c z ą p o d e j ś c i e t e o r e t y c z n e z d o ś w i a d c z e n i a m i ż y c i o w y m i , m a t e m a t y c z n e p u n k t y w i d z e n i a z p o g l ą d a m i n a u c z y c i e l i , t e o r i ę z p r a k t y k ą . T a k ą o s o b o w o ś ć r e p r e z e n t u j e b e z s p r z e c z n i e p a n i p r o f e s o r Z o f i a K r y g o w s k a , k t ó r a p r z y c z y n i ł a s i ę w z n a c z n e j m i e r z e do p r z e k s z t a ł c e n i a d y d a k t y k i m a t e m a t y k i z p o g r a n i c z a n a u k i w s z c z e g ó ł o w ą d y s c y p l i n ę .
W p r a c y K i e r u n k i b a d a ń d y d a k t y k i m a t e m a t y k i pr o f . K r y g o w s k a p o d k r e ś l a , ż e d y d a k t y k a m a t e m a t y k i z a j m u j e s i ę w s z y s t k i m i p r o b l e m a m i z w i ą z a n y m i z u c z e n i e m s i ę i n a u c z a n i e m m a t e m a t y k i , w i ę c - m o i m z d a n i e m - t a k ż e p r o b l e m a m i z w i ą z a n y m i z p r a k t y k ą n a u c z a n i a . W t y m k o n t e k ś c i e c h c i a ł b y m z w r ó c i ć u w a g ę na to, że J.A. Komeński, w D y d a k t y c e a n a l i t y c z n e j w y d a n e j w L e s z n i e w ro k u 1948, c h a r a k t e r y z u j e d y d a k t y k ę j a k o t e o r i ę w ł a ś c i w e g o n a u c z a n i a . T e o r i a n a u c z a n i a p o l e g a , w e d ł u g n i e g o , n a o p a n o w a n i u p e w n y c h m e t o d n a u c z a n i a - u c z e n i a s i ę i, w o p a r c i u o nie, p r o w a d z e n i u u c z n i ó w do p r z y s w o j e n i a w i a d o m o ś c i s z y b ko, z o c h o t ą i s k u t e c z n i e . T e o r i a n a u c z a n i a j e s t t u w i ę c r ó w n i e ż z w i ą z a n a z p r a k t y k ą n a u c z a n i a .
Cho ć n a w i e l e p y t a ń d y d a k t y k a nie d a j e d o t ą d z a d o w a l a j ą c y c h o d p o w i e d z i , p r a k t y k a m u s i n a n i e r e a g o w a ć , są b o w i e m z w i ą z a n e z r o z w o j e m s p o ł e c z e ń s t w a . T a k w i ę c s z k o l n a p r a k t y k a s t a j e się w i e l k i m p o l i g o n e m d o ś w i a d c z a l n y m ; n i e s t e t y , tak w i e l k i m , że n i e n a d ą ż a m y z n a l e ż y t ą o c e n ą e f e k t ó w tej prac y .
Rys. 1. 1 - P r a k t y k a s z k o l n a ; 2 - d y d a k t y k a m a t e m a t y k i
W y d a j e się, że n i e w y k o r z y s t u j e m y e f e k t y w n i e t y c h d o ś w i a d c z e ń , k t ó r e p r z y n i o s ł a w p r z e s z ł o ś c i i p r z y n o s i w s p ó ł c z e ś n i e p r a k t y k a n a u c z a n i a m a t e m a t y k i w e w s z y s t k i c h t y p a c h szkół. D l a t e g o j e s t k o n i e c z n a ś c i s ł a w s p ó ł p r a c a t e o r e t y k ó w z n a u c z y c i e l a m i .
Być może, r z a d k o na ś w i e c i e p o d e j m o w a n o s i ę r o z w i ą z y w a n i a p r o b l e m u n a u c z a n i a m a t e m a t y k i n a z a s a d z i e g ł ę b o k i e j a n a l i z y p r z y c z y n n i e d o s t a t k ó w w i s t n i e j ą c y m n a u c z a n i u . A n a l i z a p r o c e s u n a u c z a n i a z p u n k t u w i d z e n i a j e g o e f e k t y w n o ś c i i z p u n k t u w i d z e n i a o s i ą g a n y c h c e l ó w p o w i n n a b y ć o c z y w i s t ą p o d s t a w ą do p r o w a d z e n i a r e f o r m s z k o l nych. R e f o r m y o p i e r a n e na n a i w n y m założ e n i u , że n o w e b ę d z i e lepsze, o k a z u j ą s i ę n i e s k u t e c z n e .
2. N I E K T Ó R E P R O B L E M S D Y D A K T Y C Z N E
Dla d y d a k t y k i m a t e m a t y k i c h a r a k t e r y s t y c z n e j e s t - jak p o d k r e ś lił n a IV k o n g r e s i e I C M E p rof. H. P r e u d e n t h a l - że d y d a k t y c z n e p r o b l e m y n i e są i z o l o w a n e , a l e n a w z a j e m s i ę łączą: r o z w i ą z a n i e J e d n y c h w a r u n k u j e r o z w i ą z a n i e n a s t ę p n y c h , a w s z y s t k i e s ą związane, b ą d ź to b e z p o ś r e d n i o , b ą d ź też p o ś r e d n i o , z p r a k t y k ą .
P r a k t y k a w y m a g a n i e u s t a n n i e o d p o w i e d z i na p y t a n i a : C z e g o u c z y ć z m a t e m a t y k i w e z k o l e p o d s t a w o w e j ? C z e g o z m a t e m a t y k i u c z y ć w s z k o l e ś r e d n i e j ? C z e g o u c z y ć z m a t e m a t y k i w s z k o l e w y i s z e j? J a k u c z y ć m a t e m a t y k i ?
J a k ą r o l ą w p r o c e s i e p o z n a n i a o d g r y w a d o ś w i a d c z e n i e u c z n i a ^ O d p o w i e d z i n a p y t a n i a , C z e g o u c z y ć i J a k u c z y ć da j ą z a z w y c z a j t r a d y c j e k u l t u r a l n e i p o t r z e b y s p o ł e c z e ń s t w a . J e s t b e z s p o r n e , że t y m s p o s o b e m s ą u s t a n a w i a n e t r e ś c i i m e t o d y r a c z e j na p o d s t a w i e d o ś w i a d c z e n i a z p r z e s z ł o ś c i i, o c z y w i ś c i e , n i e n a j l e p i e j . D y d a k t y ka m a t e m a t y k i b ę d z i e t y l k o w t e d y d y s c y p l i n ą n a u k o w ą , g d y z d o ł a o k r e ś l i ć o d p o w i e d n i e t r e ś c i i m e t o d y z w y p r z e d z e n i e m , p r z e d r o z w o j e m s p o łecznym, i j e ś l i z d o ł a te p o t r z e b y p r z e w i d y w a ć . Dziś n i e m o ż n a j e s z c z e d a ć u g r u n t o w a n y c h o d p o w i e d z i na p o d s t a w o w e p y t a n i a , k t ó r e by u z a s a d n i a ł y w y b ó r tre ś c i n a u c z a n i a i m e t o d p r a c y n a u c z y c i e l a w k l a s i e :
J a k w p ł y w a j ą n a s z k o l n ą m a t e m a t y k ę p r a k t y c z n e p o t r z e b y s p o ł e c z e ń s t w a ?
98 FRANTISEK KURINA
J a k ą r o l ę m a j ą o d g r y w a ć o d k r y c i a m a t e m a t y c z n e, m e t o d y i p o j ę ~ o i a w i n t e l e k t u a l n y m r o z w o j u d z i e c k a ?
Na p r z y k ł a d z p r o b l e m ó w a k t u a l n y c h s z c z e g ó l n e z n a c z e n i e d l a p r a k t y k i ma p y t a n i e :
J a k o r g a n i z o w a ć n a u c z a n i e ?
W z a k r e s p y t a n i a w c h o d z ą p r o b l e m y o r g a n i z a c j i p r a c y g r u p u c z n i o w s k i c h , i c h w i e l k o ś ć , s t r u k t u r a i s t a b i l n o ś ć . P r o b l e m y te s ą b a r d z o s i l n i e p o w i ą z a n e z o r g a n i z a c j ą d z i a ł a l n o ś c i s z k ó ł i p o z o s t a j ą w y r a ź n i e p o d w p ł y w e m c z ę ś c i o w o t r a d y c j i , a c z ę ś c i o w o e k o n o m i c z n y c h m o ż l i w o ś c i s p o ł e c z e ń s t w a . N a l e ż ą t u r ó w n i e ż p r o b l e m y o r g a n i z a c j i k s z t a ł c e n i a , a l b o w z a k r e s i e w i e l u od s i e b i e n i e z a l e ż n y c h p r z e d m i o tów, tak j a k s i ę ta s y t u a c j a r o z w i n ę ł a w w y n i k u t w o r z e n i a p o j e d y n c z y c h d y s c y p l i n n a u k o w y c h , a l b o w z a k r e s i e i n t e g r o w a n y c h p r z e d m i o tów, k t ó r e w o s t a t n i c h c z a s a c h o d p o w i a d a j ą t e n d e n c j o m t w o r z e n i a n o w y c h i n t e r d y s c y p l i n a r n y c h p o d e j ś ć do z a s t o s o w a ń .
Dla k a ż d e j z m o ż l i w y c h k o n c e p c j i m o ż n a p r z y t o c z y ć w i e l e a r g u me n t ó w . W y d a j e się, ż e d z i ś n i e m o ż n a w s p o s ó b p e w n y u d o w o d n i ć , k t ó ra z k o n c e p c j i b ę d z i e e f e k t y w n i e j s z a . T r u d n o ś ć l e ż y p r z e d e w s z y s t k i m w tym, że w i a r y g o d n a o c e n a w n i o s k ó w j e s t d ł u g o t r w a ł a i m u s i b y ć w e r y f i k o w a n a w p r a k t y c e , i to b y n a j m n i e j n i e t y l k o w p r a k t y c e w a r u n k ó w l a b o r a t o r y j n y c h .
Do tej t e m a t y k i n a l e ż y t a k ż e p r o b l e m o r g a n i z a c j i p r a c y u c z n i ó w w p o s z o z e g ó l n y c h g o d z i n a c h l e k c y j n y c h . N a w e t n a j l e p s z a k o n c e p c j a n a u c z a n i a , p r z e m y ś l a n a p o j ę c i o w a k o n s t r u k c j a d y s c y p l i n y , s y s t e m tez, to w s z y s t k o r a z e m j e s t z u p e ł n i e n i e s k u t e c z n e , j e ś l i n a u c z y c i e l nie z d o ł a w c i ą g n ą ć a k t y w n i e do p r a c y w s z y s t k i c h u c z n i ó w . P r a k t y k a s z k o l n a j e s t d e c y d u j ą c y m k r y t e r i u m s k u t e c z n o ś c i o p r a c o w a n i a p e w n e j t e m a t y c z n e j c a ł o ś c i . W e d ł u g n a s z y c h d o ś w i a d c z e ń , n a j w a ż n i e j s z a j e s t d e c y z j a co d o k o l e j n o ś c i p r o b l e m ó w , na k t ó r e b ę d z i e m y w t r a k c i e n a u c z a n i a w r a z z u c z n i a m i p o s z u k i w a ć o d p o w i e d z i . Te p r o b l e m y p o w i n n y b y ć - o ile to m o ż l i w e - a t r a k c y j n e d l a u c z n i ó w . O c z y w i ś c i e , m u s z ą być d l a n i c h z r o z u m i a ł e , p o c i ą g a j ą c e . 0 ile to m o ż l i w e , i n s p i r u j ą c e u c z n i ó w do d a l s z e j p r a c y p o w i n n y b y ć t a k ż e o d p o w i e d z i na p o s t a w i o n e p y tania. P y t a n i a m o g ą b y ć m o t y w o w a n e p r o b l e m e m p o z n a w a n i a z j a w i s k o t a c z a j ą c e g o u c z n i a ś w i a t a - są to w i ę c a n a l o g i e do p r o b l e m ó w f o r m u ł o w a n y c h w n a u c e ; m o g ą to b y ć r ó w n i e ż p y t a n i a z w i ą z a n e w p r o s t z p r o c e s e m u c z e n i a się, a w i ę c z d o c i e k l i w o ś c i ą u c z n i ó w i z i c h c h ę c i ą o s i ą g n i ę c i a w y t y c z o n e g o celu.
N a j c z ę s t s z y t y p p r o b l e m ó w w n a u c z a n i u t a p y t a n i a t y p u J a k ; o d p o w i a d a j ą b o w i e m o n e w n a j b a r d z i e j n a t u r a l n y s p o s ó b p o j ę c i u c z y n n o ś c i o w e g o n a u c z a n i a m a t e m a t y k i . A k t y w n o ś c i u c z n i a są z w i ą z a n e z m e t o dami a l g o r y t m i c z n y m i , k t ó r e z a z w y c z a j o d g r y w a j ą w p o z n a w a n i u p i e r w s z o p l a n o w ą rolę, p o m i m o że z a m k n i ę t a d y s c y p l i n a n a u k o w a s t a w i a n a p i e r w s z y m m i e j s c u p y t a n i a o e g z y s t e n c j ę (typu C z y ) i p y t a n i a u z a s a d n i a j ą c e (typu D l a c z e g o ) .
R y s . 2
J e s t p r a w d o p o d o b n i e k o n s e k w e n c j ą tra d y c j i , że n a j c z ę s t s z y m t y p e m z a d a ń m a t e m a t y k i s z k o l n e j s ą z a d a n i a t y p u K t ó r y . Chodzi w z a s a d z i e o k l a s y c z n e zada n i a , k t ó r e z a z w y c z a j n a z y w a m y z a d a n i a m i w y s z c z e g ó l n i a j ą c y m i . Do n i c h n a l e ż ą na p r z y k ł a d z a d a n i a n a s t ę p u j ą c y c h typów:
a) r o z w i ą z y w a n i e r ó wnań, b) r o z w i ą z y w a n i e n i e r ó w n o ś c i , c) z a d a n i a k o n s t r u k c y j n e .
J e s t o c z y w i s t e , ż e o d p o w i e d ź na p y t a n i a t y p u K t ó r y z a k ł a d a z n a j o m o ś ć a l b o z n a l e z i e n i e o d p o w i e d z i n a J e d n o lub s z e r e g p y t a ń t y p u J a k . P y t a n i a t y p u J a k e k s p o n u j ą c e z a s a d y k o n s t r u k c y j n e b y ł y w p r z e s z ł o ś c i , a l e i s ą w w i ę k s z o ś c i a k t u a l n y c h p o d r ę c z n i k ó w z a n i e d bywane. P r z y t y m p r o b l e m d o t y c z y n a u c z a n i a m a t e m a t y k i na n a j r ó ż n i e j s z y c h p o z i o m a c h . Na p r z y k ł a d w a r t y k u l e [3] a u t o r z y p o d k r e ś l a j ą fakt, że i s t o t a p r o b l e m u i n d u k c j i m a t e m a t y c z n e j leż y w b r a k u u m i e j ę t n o ś c i k o n s t r u o w a n i a n - t e g o (albo o d p o w i e d n i o ( n + 1 ) - e g o ) w y r a z u cią g u , a w i ę c w t y p o w e j n i e m o ż n o ś c i o d p o w i e d z i n a p y t a n i e t y p u J a k (jaki b ę d z i e n a s t ę p n y w y r a z ? ) . Na t y m p r z y k ł a d z i e m o ż e m y s obie u ś w i a d o m i ć , że p y t a n i a t y p u J a k s ą c z a s a m i p o d s t a w ą do s f o r m u ł o w a n i a o d p o w i e d z i
1 0 0 FRANTISEK KURINA
t a k ż e na p y t a n i a t y p u C z y (czy z a c h o d z i d l a w s z y s t k i c h l i c z b n a t u r a l n y c h ? ) , n a p y t a n i a t y p u K t ó r y (dla k t ó r y c h l i c z b z a c h o d z i ? ) i n a p y t a n i a t y p u D l a c z e g o (dowód i n d u k c j ą m a t e m a t y c z n ą ) .
O d p o w i e d n i e z a d a n i a t y p u J a k m o g ą s i ę p r z y c z y n i a ć do r o z w o j u t w ó r c z e g o m y ś l e n i a (jak i n a c z e j to j e s z c z e m o ż n a r o z w i ą z a ć ? c z y z o s t a ł y w y c z e r p a n e w s z y s t k i e p r z y p a d k i ? . . . ) . M o g ą b y ć ró w n i e ż p r o p e d e u t y k ą n i e k t ó r y c h p o j ę ć m a t e m a t y c z n y c h .
Z i l u s t r u j m y o s t a t n i ą m y ś l d w o m a p r z y k ł a d a m i z e k s p e r y m e n t a l n e go n a u c z a n i a g e o m e t r i i o ś m i o i d z i e w i ę c i o l e t n i c h u c z n i ó w . E k s p e r y m e n t o d b y w a ł s i ę w s z k o ł a c h k i e r o w a n y c h p r z e z P r a c o w n i ę D y d a k t y k i M a t e m a t y k i I n s t y t u t u M a t e m a t y c z n e g o C z e c h o s ł o w a c k i e j A k a d e m i i N a u k w Pradze. 0 t y c h b a d a n i a c h w s p o m n i m y j e s z c z e p ó ź n i e j .
P R Z Y K Ł A D 1. D z i e w i ę c i o l e t n i e m u u c z n i o w i M a r k o w i K. p o s t a w i ł e m p y t a n i e : J a k m o ż n a p r z y s z y ć g u z i k z c z t e r e m a d z i u r k a m i ? N a s t ą p i ł a c i e k a w a d y s k u s j a , k t ó r e j w y n i k i e m b y ł y n a t u r a l n e u m o w y : z k a ż d e j d z i u r k i mus i w y c h o d z i ć ścieg; j e s t o b o j ę t n e , j a k s i ę p a t r z y n a p r z y s z y t y guzik. P o t e m M a r e k p o d a w a ł w n i o s k i : j e d n y m ś c i e g i e m n i e m o ż na p r z y s z y ć g u z i k a , d w o m a ś c i e g a m i m o ż n a (zob. r y s . 3). G u z i k m o ż n a p r z y s z y ć t a k ż e 6 ś c i e gami. J a k i n a c z e j m o ż n a p r z y s z y ć g u z i k d w o m a
R y s . 3. J a k p r z y s z y ć g u z i k
ś c i e g a m i ? R e z u l t a t z n ó w z o s t a j e n a r y s o w a n y . K o l e j n e w y n i k i M a r e k r y s o w a ł na p o d s t a w i e s a m o d z i e l n y c h r o z w a ż a ń i s ą o n e p r z e d s t a w i o n e na rysunku. Z a d a n i e z a ł ą c z y l i ś m y j a k o ć w i c z e n i e d o z e s t a w u ć w i c z e ń
d l a d r u g i e g o r o c z n i k a . W y n i k i p o k a z u j ą , że t r u d n o j e s t w p r a c y z l i c z n ą g r u p ą u c z n i ó w w k l a s i e d o p r o w a d z i ć i c h do z r o z u m i e n i a p r o b l e mu, k t ó r e d w a p r z y s z y c i a m o ż n a u w a ż a ć za j e d n a k o w e , i d o p r o w a d z i ć do d y s k u s j i o w s z y s t k i c h m o ż l i w y c h s p o s o b a c h p r z y s z y c i a . P r a k t y k a b ę d z i e p r a w d o p o d o b n i e z a w s z e k o r y g o w a ć , i to c z a s a m i b a r d z o w y r a ź n i e , rezul t a t y , k t ó r e m o ż n a o s i ą g n ą ć s p e k u l a c j ą a l b o i n d y w i d u a l n y m i e k s - p e r y m e n t a m i p e d a g o g i c z n y m i .
P R Z Y K Ł A D 2. Z p o j ę c i e m o d c i n k a z a p o z n a j e m y u c z n i ó w p o p r z e z c i ą g zadań, k t ó r e d o t y c z ą s c h e m a t y z a c j i c z y n n o ś c i u c z n i a (ruch p o n a j k r ó t szej linii, d r o g a p r o m i e n i a ś w i e tlnego, n a c i ą g n i ę t y s z n u r e k . . . ) . Do z a p o z n a n i a z p o j ę c i e m p ó ł p r o s t e j i p r o s t e j o d p o w i e d n i e j e s t p o d e j ś c i e k o n s t r u k c y j n e : n i e w i e m y , co to j e s t p ó ł p r o s t a , a l e m o ż e m y d o b r z e ć w i c z y ć p o w s t a w a n i e p ó ł p r o s t e j p r z e z n i e o g r a n i c z o n e p r z e d ł u ż a n i e odcin k a . Do t e g o c e l u s p o r z ą d z i l i ś m y z e s t a w z a d a ń t y p u „jak r o ś n i e w ą ż " i z n i e g o p r z y t o c z y m y p r z y k ł a d y .
U c z n i o w i e p r a c u j ą na k r a t k o w a n y m p a p i e r z e i r y s u j ą węże, k t ó r e r o s n ą w e d ł u g u z g o d n i o n y c h reg u ł . Na r y s u n k u k p r z e d s t a w i o n e J e s t r o ś n i ę c i e w ę ż y w e d ł u g reguł:
(j A B C B , A B C D , \ jA B D , A B D D B■ w .
Z a d a n i a s ą d l a u c z n i ó w a t r a k c y j n e , a l b o w i e m d o c h o d z ą oni d o i n t e r e s u j ą c y c h w y n i k ó w . Z m a t e m a t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a idzie o p r o p e d e u t y k ę w i e l u p o j ę ć : p ó ł p r o s t a , w e k t o r , w e k t o r p r z e c i w n y , o k r e s o w o ś ć , . . .
J L
B A C O
•— <— *— *— *— >— *— <— <— *— i— i - .t a
Rys. U . J a k r o ś n i e wąż
102 FRANTISEK KURINA
N i e k t ó r z y u c z n i o w i e p o p r z e ć w i c z e n i u z a p i s ó w z a c z y n a j ą p o w o l i t w o r z y ć w s y m b o l i c z n y m j ę z y k u „s ł o w a " o k r e ś l a j ą c e w z r a s t a n i e d a n e g o n a r y s u n k u węża. Na r y s u n k u 5 są p o k a z a n e n i e k t ó r e wyniki. K o m e n t a r z e u c z n i ó w typu: „wąż z a k l ę t y w t r ó j k ą c i e " (B A C C) albo „wąż z w ę z e ł k a m i " (A B C C D D ) u k a z u j ą , ż e u c z n i o w i e p r z e ż y w a j ą z z a i n t e r e s o w a n i e m fakt, że „rozwój s i ę z a t r z y m a ł " a l b o ż e p r z e b i e g a n i e s p o d z i e w a n i e .
. . . ____ i____ t— j — i i 1 - .- 1
s
A B C D
Rys. 5
N a c i s k n a z a d a n i a t y p u J a k o d p o w i a d a , w e d ł u g n a s z y c h d o ś w i a d czeń, p r z e d e w s z y s t k i m u c z n i o m w w i e k u 6 - 1 3 lat, a l b o w i e m w y n i k i t y c h z a d a ń d a j ą s i ę z w y k l e „ zobaczyć", z a d a n i a są b e z p o ś r e d n i o z w i ą z a n e z c z y n n o ś c i a m i u c z n i ó w , p o b u d z a j ą u c z n i ó w do r y w a l i z a c j i i i n s p i r u j ą a k t y w n o ś c i r ó ż n e g o t y p u : o d c z y n n o ś c i m a n u a l n y c h ( k r e ś l e n i e i r y s o w a n i e ) , p r z e z c z y n n o ś c i a l g o r y t m i c z n e o k r e ś l o n e g o t y p u ( r a c h u n e k w e d ł u g r e g u ł p r z y u ż y c i u t e c h n i k r a c h u n k o w y c h ), aż do c z y n n o ś c i m y ś l o w y c h , k t ó r e p r o w a d z ą d o u z a s a d n i a n i a t w i e r d z e ń .
M a t e m a t y k a w t y m u j ę c i u r o z u m i a n a j e s t p r z e d e w s z y s t k i m j a k o
m e t o d a a l b o t e c h n i k a - j a k p o d k r e ś l a j ą np. c z e c h o s ł o w a c k i m a t e m a t y k P. V o p £ n k a a l b o r a d z i e c k i m a t e m a t y k A.D. A l e k s a n d r ó w [4] .
I n t e r e s u j ą c e jest, że r ó w n i e ż J. B r u n e r f o r m u ł u j e w p r a c y [5]
tezę, że w w y c h o w a n i u t r z e b a k ł a ś ć n a j w i ę k s z y n a c i s k na u m i e j ę t n o ś ci, i to u m i e j ę t n o ś c i m a n u a l n e , u m i e j ę t n o ś c i w i z u a l n e i u m i e j ę t n o ś ci p o t r z e b n e w o p e r a c j a c h s y m b o l i c z n y c h .
W e d ł u g m n i e s ą to d z i e d z i n y n a u c z a n i a w p r a k t y c e m o d e r n i z o w a n y c h k u r s ó w m a t e m a t y k i b a r d z o c z ę s t o z a n i e d b y w a n e . Je s t to z r o z u m i a łe, g d y ż r e a k c j ą n a m a t e m a t y k ę u p r a w i a n ą j a k o d r y l b y ł a m a t e m a t y k a , w k t ó r e j p o d k r e ś l a ł o s i ę p r z e d e w s z y s t k i m s t r u k t u r ę p o j ę c i o w ą . K ł a d ło s i ę r a c z e j n a c i s k n a o d p o w i e d z i n a p y t a n i e t y p u C o n i ż n a p y t a n i a t y p u J a k .
P r o b l e m u m i e j ę t n o ś c i p o z o s t a j e , m o i m z d a n i e m , a k t u a l n y m p r o b l e m e m p r a k t y k i n a u c z a n i a n a k a ż d y m p o z i o m i e s z k o l n y m . U m i e j ę t n o ś c i u c z n i ó w z n a j d u j ą z a s t o s o w a n i e p r z y i c h c z y n n o ś c i a c h . W y k o n u j ą c c z y n n o ś c i ( m a nualne c z y m y ś l o w e ) u c z n i o w i e z d o b y w a j ą d o ś w i a d c z e n i e . P r o blem, j a k ą r o l ę m o ż e i p o w i n n o o d g r y w a ć d o ś w i a d c z e n i e u c z n i a w p r o c e s i e n a u c z a n i a i u c z e n i a się, J e s t n i e m a j ą c y m d o tej p o r y o d p o w i e d z i p o d s t a w o w y m p y t a n i e m p r a k t y k i n a u c z a n i a , a więc ta k ż e i d y d a k t y k i m a t e m a t y k i .
3. 0 K I E R U N K A C H U J Ę C I A G E O M E T R I I D L A 8 - 1 0 - L E T N I C H U C Z N I Ó W
Na IV K o n g r e s i e I C M E H. F r e u d e n t h a l p r z e d s t a w i ł zesp ó ł g ł ó w n y c h p r o b l e m ó w n a u c z a n i a m a t e m a t y k i , z k t ó r y c h d z i e w i ą t y d o t y c z y ł n a u c z a n i a g e o m e t r i i :
C z y m o i n a u c z y ć g e o m e t r i i n a p o d e t a n i e r o z w i j a n i a u o z n i o w e k i o h i n t u i o j i p r z e s t r z e n i, k t d r a g o o t a o z a ?
S p r ó b u j ę w r a m a c h m e g o w y s t ą p i e n i a d a ć c z ę ś c i o w ą o d p o w i e d ź na d z i e w i ą t y p r o b l e m F r e u d e n t h a l a .
N i e p e ł n o ś ć m o j e j o d p o w i e d z i d o t y c z y d w u a s p e k t ó w :
1. o g r a n i c z ę s i ę do n a u c z a n i a g e o m e t r i i u c z n i ó w w w i e k u 8 - 1 2 lat,
2. p o z y t y w n ą o d p o w i e d ź n a p r z e d s t a w i o n e p y t a n i e o p i e r a m n a o b s e r w a c j i i o c e n i e d o t ą d n i e u k o ń c z o n y c h e k s p e r y m e n t ó w .
W C z e c h o s ł o w a c j i p r z e p r o w a d z o n o m o d e r n i z a c j ę n a u c z a n i a g e o m e trii s k o n s t r u o w a n e j w r a m a c h a k s j o m a t y c z n e g o s y s t e m u , z p o j ę c i a m i
104 F R A N T I S E K K U R I N A
p i e r w o t n y m i : p u n k t i o d c i n e k . F i g u r y g e o m e t r y c z n e w p r o w a d z o n o n a p o d s t a w i e i c h m n o g o ś c i o w y c h d e f i n i c j i . To p o d e j ś c i e n i e p r o w a d z i ł o w p r a k t y c e do z a d o w a l a j ą c y c h w y n i k ó w , a n a u c z a n i e m i a ł o w y r a ź n i e c h a r a k t e r w e r b a l n y .
S p r ó b o w a l i ś m y w o b e c tego z b u d o w a ć k u r s g e o m e t r i i , k t ó r y o p i e r a s i ę n a b e z p o ś r e d n i c h d o ś w i a d c z e n i a c h g e o m e t r y c z n y c h ucznia, r o z w i j a n y c h d alej p o p r z e z p r a c ę n a j r ó ż n i e j s z e g o typu. W p i e r w s z y m e t a p i e m i a ł y w p ł y w n a t e n e k s p e r y m e n t i d e e g r u p y IOWO.
O
©
©
Prz*strz*ń
0*om*tria
Geometria szkolna
Z a k ł a d a m y , że d l a p r z e s t r z e n i , w k t ó r e j p o w s t a j ą u c z n i o w s k i e d o ś w i a d c z e n i a , c h a r a k t e r y s t y c z n e j e s t jej w y p e ł n i a n i e i jej d z i e l e nie. Z o b y d w i e m a o p e r a c j a m i s t y k a się d z i e c k o p r a k t y c z n i e o d p i e r w s z y c h m i e s i ę c y ż y c i a (tam, g d z i e j e s t ł ó ż e c z k o , n i e m o ż e b y ć k r z e sła, m i e s z k a n i e j e s t p o d z i e l o n e n a p o k o j e , . . . ) . D a l s z y z ł o ż o n y p r o ces, bez k t ó r e g o n i e m o ż n a p o z n a w a ć p r z e s t r z e n i , to ruch. Na p o d s t a w i e k a t e g o r i i p r z e s t r z e n i i r u c h u o k r e ś l i l i ś m y z a k r e s c z y n n o ś c i uc z n i a , na k t ó r y c h o p i e r a s i ę n a s z e u j ę c i e g e o m e t r i i . W s z y s t k i e c z y n n o ś c i , k t ó r e b ę d z i e m y d a l e j p r z y t a c z a ć , s ą ś c i ś l e ze s o b ą p o w i ą z a n e , j e d n a w a r u n k u j e d r u g ą i n i e m o ż n a i c h o d s i e b i e o d d z i e l i ć .
1. W y p e ł n i a n i * p r u e e t r s e n i .
N a j b a r d z i e j u r o z m a i c o n ą d z i e c i ę c ą c z y n n o ś c i ą , k t ó r a p r o w a d z i do w y p e ł n i a n i a p r z e s t r z e n i , j e s t z a b a w a k l o c k a m i . U ż y w a m y s z e ś c i e n n y c h k l o c k ó w i ich p ł a s k i c h o d p o w i e d n i k ó w - m o z a i k i . C z y n n o ś c i w y k o n y w a n e z u ż y c i e m t y c h m a t e r i a ł ó w n i e t y l k o r o z w i j a j ą w y o b r a ź n i ę g e o m e t r y c z n ą , a l e i n s p i r u j ą t a k ż e p r o p e d e u t y k ę w i e l u w a ż n y c h p o j ę ć g e o m e t r y c z n y c h . T a k w i ę c u c z n i o w i e z a p o z n a j ą s i ę np. z c h a r a k t e r y s tyka m i f i g u r g e o m e t r y c z n y c h ( z u ż y c i e s z e ś c i a n ó w na b u d o w ę . . . ) , z
k a r t e z j a ń s k ą s t r u k t u r a l i z a c j ą p r z e s t r z e n i ( o k r e ś l e n i e p o ł o ż e n i a p u n k t u . . . ) i z n i e k t ó r y m i r e l a c j a m i g e o m e t r y c z n y m i .
2 . D z i e l e n i e p r z e s t r z e n i .
Ta c z y n n o ś ć j e s t w p e w n y m s e n s i e o d w r o t n a do w y p e ł n i a n i a p r z e s trzeni. Tak s a m o j a k ś c i a n y p o k o j u d z i e l ą p r z e s t r z e ń , w k t ó r e j ż y jemy, n a c z ęści, d z i e l i p r z e s t r z e ń t a k ż e i p u d e ł k o (wnętrze i z e w nętr z e ) . P ł a s z c z y z n ę d z i e l ą np. d w a okręgi, d w i e p r o s t e , . . . ;
3 . Dy 8 o w an ie i k r e ś l e n i e .
Te c z y n n o ś c i w y r a ż a j ą s i ę p r z e d e w s z y s t k i m w ś l a d a c h r u c h u o ł ó w k a p o p a p i e r z e . R u c h z w i ą z a n y p e w n y m i w a r u n k a m i p r o w a d z i do m o d e l o w a n i a p e w n y c h f i g u r g e o m e t r y c z n y c h , np. o d c i n k a i o k ręgu. R u c h e m w y t w a r z a m y , a l b o l i k w i d u j e m y g r a n i c e p r z y p o d z i a l e p r z e s t r z e n i , i to n i e t y l k o w g e o m e t r y c z n y m se n s i e , a l e i w s e n s i e p r a k t y c z n y m (ry
s o w a n i e p r o s t o k ą t a , o t w i e r a n i e i z a m y k a n i e d r z w i , . . . ) . R y s o w a n i e r o z u m i e m y j a k o m e t o d ę , za p o m o c ą k t ó r e j m o ż e m y z d o b y w a ć n o w e d o ś w i a d c z e n i a d o t y c z ą c e r z e c z y w i s t o ś c i .
ł*. M o d e l o w a n i e .
C n o d z i p r z e d e w s z y s t k i m o m o d e l o w a n i e za p o m o c ą p r z e s t r z e n n e j i p ł a s k i e j s k ł a d a n k i i m o d e l o w a n i e za p o m o c ą sie c i . M o d e l e m figu r y g e o m e t r y c z n e j j e s t jej n a r y s o w a n y o b r a z ; n a s t ę p n i e p r o w a d z i m y u c z n i a t a k ż e k u r e p r e z e n t a c j i p u n k t ó w za p o m o c ą u p o r z ą d k o w a n e j p a r y liczb.
5 . M i e r z e n i e •
T r a d y c y j n y t e m a t g e o m e t r i i s z k o l n e j ł ą c z y m y m a k s y m a l n i e z c z y n n o ś c i a m i u c z n i ó w . W r ó w n y m s t o p n iu j a k o p e r a c j e m i e r z e n i a , r o z w i j a m y także o p e r a c j e t w o r z e n i a skali.
G e o m e t r i a b y ł a w n a s z y m e k s p e r y m e n c i e r o z u m i a n a J a k o m e t o d a u z y s k i w a n i a - za p o m o c ą r y s o w a n i a albo m o d e l o w a n i a - o d p o w i e d z i na p y t a n i a , k t ó r e b y ł y d l a u c z n i ó w i n t e r e s u j ą c e . C z ę ś c i o w o m i a ł a c h a r a k t e r t e c h n i c z n y . N i e k t ó r z y u c z n i o w i e o s i ą g a l i z a s k a k u j ą c o d o b r e w y n i k i w ć w i c z e n i a c h w r y s o w a n i u . Przy r o z w i ą z y w a n i u n i e k t ó r y c h z a d a ń m o ż n a b y ł o u k a z a ć g e o m e t r i ę J a k o n a r z ę d z i e w y g o d n e d o z r o z u m i e n i a ł a t w y c h p r o b l e m ó w t e c h n i c z n y c h . Dzięki s w e j p r z e j r z y s t o ś c i , g e o m e t r i a b y ł a o d p o w i e d n i m p o l e m u c z n i o w s k i c h e k s p e r y m e n t ó w .
106 F R A N T I S E K K U R I N A
Na p o d s t a w i e p o n a d p i ę c i o l e t n i c h d o ś w i a d c z e ń ze w s p o m n i a n y m e k s p e r y m e n t e m j e s t e m p r z e k o n a n y , ż e n a u c z a n i e g e o m e t r i i 6 - 1 0 - l e t - n i c h u c z n i ó w n i e t y l k o możn a , a l e i t r z e b a o p r z e ć n a i c h g e o m e t r y c z n y c h d o ś w i a d c z e n i a c h w p r z e s t r z e n i , w k t ó r e j żyją. Te d o ś w i a d c z e n i a t r z e b a k o n i e c z n i e s y s t e m a t y c z n i e r o z w i j a ć , i to z a r ó w n o w s e n s i e p r a k t y c z n y m , j a k i t e o r e t y c z n y m .
J e d n y m ze s k u t e c z n y c h s p o s o b ó w w p ł y w a n i a d y d a k t y k i m a t e m a t y k i n a p r a k t y k ę n a u c z a n i a j e s t w y c h o w a n i e n o w e j g e n e r a c j i n a u c z y c i e l i m a t e m a t y k i . P r o b l e m y d o b r e g o p r z y g o t o w a n i a n a u c z y c i e l i d l a p r z y s z ł o ści są p r o b l e m a m i d u ż e j w a g i i b a r d z o a k t u a l n y m i .
L I T E R A T U R A
[1] H. F r e u d e n t h a l , M a j o r P r o b l e m s o f M a t h e m a t i c a l E d u c a t i o n * E d u c a t i o n a l S t u d i e s in M a t h e m a t i c s 12 (1961), 2.
[2] J.A. K o m e n s k y , D i d a k t i k a a n a l y t i c k a , P r a h a 1964.
[3] K. B e n e s o v a , E. C a l d a , J. ^ e d i v y , V y s k u m u p r a v v y r a u u u s i t e c n y c h k o s v o j e n i m e t o d y m a t e m a t i c k e i n d u k o e ^M a t e m a - tik a a f y z i k a ve I k o l e 2 (1984).
[4] A.D. A l e x a n d r o v , M a t e m a t i k a a d i a l e k t i k a, i b i d e m 8, 9 (1974).
[5] J.S. B r u n e r , T o w a r d s a T h e o r y o f I n s t r u c t i o n , 1966.
[6] F i v e T e a r s I O W O , D. R e i d e 1, D o r d r e c h t - H o lland, 1976.
(z c z e s k i e g o t ł u m a c z y ł A. P ł o c k i )
D i d a c t i c s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s
S u m m a r y
The a u t h o r c l a i m s t h a t s o - c a l l e d H O W - q u e s t i o n s , e x p o s i n g c o n s t r u c t i o n p r i n c i p l e s , n e g l e c t e d i n the t e a c h i n g p r o c e s s , c o n t r i b u t e in the d e v e l o p m e n t o f s t u d e n t s ' c r e a t i v e t h i n k i n g . One of h i s p r o b lems u s e d as e v i d e n c e is t h e f o l l o w i n g : „How to s e w a b u t t o n o n ? " ; i t s s o l u t i o n by a boy o f n i n e is reported.
