• Nie Znaleziono Wyników

Pole obszaru wyznaczonego przez krzywe opisane przy pomocy równa´n parametrycznych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pole obszaru wyznaczonego przez krzywe opisane przy pomocy równa´n parametrycznych"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Zastosowania geometryczne ca÷ ki oznaczonej

Pole …gury p÷ askiej

Pole jDj obszaru D ograniczonego krzywymi ci ¾ag÷ymi y = f (x) i y = g (x), gdzie g (x) > f (x) dla x 2 [a; b], i prostymi x = a i x = b wyra·za si¾e wzorem

jDj = Zb

a

g (x) f (x) dx .

Przyk÷ady:

1. Pole obszaru zawartego mi ¾edzy krzywymi y = x2 i y = x2 oraz prostymi x = 0 i x = 3 jest równe:

jDj = Z3

0

x2 x2 dx = 2 Z3

0

x2dx = 2 1 3x3

3

0

= 18

2. Pole obszaru p÷askiego D ograniczonego parabol ¾a y2 = 4x i prost ¾a y = 2x 4wynosi

Z1

0

2p

x 2p

x dx + Z4

1

2p

x (2x 4) dx

3. Pole obszaru ograniczonego krzyw ¾a y = x21+2 oraz osi ¾a OX mo·zemy obliczy´c wykorzystuj ¾ac poj ¾ecie ca÷ki niew÷a´sciwej:

jDj = Z1

1

1

x2+ 2dx = 2 Z1

0

1

x2+ 2dx = 2 lim

A!1

ZA

0

1 x2 + 2dx

(2)

Pole obszaru wyznaczonego przez krzywe opisane przy pomocy równa´n parametrycznych

Je´sli krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi x = ' (t), y = (t), gdzie funkcje ' (t) i (t) s ¾a ci ¾ag÷e w przedziale 6 t 6 oraz funkcja ' (t) ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a w tym przedziale, to wzór na pole obszaru ogranic- zonego ÷ukiem krzywej K, osi ¾a OX oraz prostymi x = ' ( ) i y = ( ) ma posta´c

jDj = Z

j (t)j j'0(t)j dt .

Przyk÷ad:

4. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego krzyw ¾a dan ¾a równaniami para- metrycznymi : x = 2 cos t, y = 2 sin t , 0 6 t 6 2. Podstawiaj ¾ac odpowiednie funkcje do ostatniego wzoru dostajemy

jDj = Z2

0

2 sin t (2 cos t)0 dt = 4 Z2

0

sin2tdt:

Poniewa·z Z

sin2tdt = 1 2t 1

2sin t cos t + C wi ¾ec

jDj = 2 [t sin t cos t]02 = .

(3)

Obszar ograniczony krzyw ¾ a dan ¾ a we wspó÷ rz¾ ednych biegunowych

Ka·zdy punkt p÷aszczyzny (x; y) 2 R R mo·zna jednoznacznie opisa´c po- daj ¾ac odleg÷o´s´c r punktu (x; y) od pocz ¾atku uk÷adu wspó÷rz ¾ednych oraz k ¾at , jaki wektor ÷¾acz ¾acy punkty (0; 0) i (x; y) tworzy z dodatni ¾a pó÷osi ¾a OX.

Takie przedstawienie (analogiczne do trygonometrycznej postaci liczby ze- spolonej) nazywamy wspó÷rz ¾ednymi biegunowymipunktu. ×atwo sprawdzi´c, ze x = r cos· oraz y = r sin .

Pole obszaru p÷askiego ograniczonego ÷ukiem AB o równaniu biegunowym r = f ( ) 0dla a6 6 b oraz b a 6 2 i promieniami wodz ¾acymi OA i OB o d÷ugo´sciach f (a) i f (b) - o ile f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a w przedziale [a; b]

wyra·za si ¾e ca÷k ¾a

jDj = 1 2 Zb

a

(f ( ))2d

Przyk÷ady:

5. Wspólrz ¾edne biegunowe pozwalaj ¾a wygodnie policzy´c pole ko÷a. Okr ¾ag o ´srodku w ´srodku uk÷adu wspó÷rz ¾ednych i promieniu 5 ma we wspó÷rz ¾ednych biegunowych wzór r = 5 dla 2 [0; 2 ]. Wobec tego

jDj = 1 2 Z2

0

52d = 1

2[25 ]20 = 25 .

6. Pole obszaru p÷askiego D ograniczonego "kardioid ¾a" o równaniu r = 1 + cos dla 2 [0; 2 ] jest równe

Z Z

(4)

D÷ ugo´s´c ÷ uku krzywej

Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f (x) ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na przedziale [a; b]. D÷ugo´s´c

÷uku krzywej K : y = f (x), x 2 [a; b] jest równa

L = Zb

a

q

1 + (f0(x))2dx .

Przyk÷ady:

7. Przek ¾atna kwadratu o boku jednostkowym, czyli d÷ugo´s´c ÷uku opisanego równaniem y = x dla x 2 [0; 1] wynosi

L = Z1

0

q

1 + (1)2dx =hp 2xi1

0 =p 2 .

8. D÷ugo´s´c ÷uku paraboli y = x2 dla x 2 [0; 1] jest równa

L = Z1

0

q

1 + (2x)2dx = 8<

:

t = 2x dt = 2dx x = 0 x = 1

t = 0 t = 2 9=

;= 1 2 Z2

0

p1 + t2dt .

Poniewa·z

Z p1 + t2dt = 1 2tp

t2+ 1 + 1

2ln t +p

t2+ 1 + C , wi ¾ec

L = 1 4 2p

5 + ln 2 +p

5 .

(5)

Obj ¾ eto´s´c i pole powierzchni bry÷ y obrotowej

Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f (x) ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na przedziale [a; b]. Po obrocie krzywej y = f (x), a 6 x 6 b, doko÷a osi OX otrzymamybry÷¾e obrotow ¾a, której obj ¾eto´s´c i pole powierzchni wyra·zaj ¾a si ¾e wzorami

V = Zb

a

(f (x))2dx ,

P = 2 Zb

a

jf (x)j q

1 + (f0(x))2dx .

Przy obrocie krzywej x = g (y), y 2 [c; d], doko÷a osi OY wzory przyjmuj ¾a posta´c:

V = Zd

c

(g (y))2dy oraz

P = 2 Zd

c

jg (y)j q

1 + (g0(y))2dy . Przyk÷ad:

9. Obj ¾eto´s´c bry÷y utworzonej przez obrót doko÷a osi OX krzywej y = cos x dla x 2 0; 2 jest równa

V = Z2

(cos x)2dx = [x + sin x cos x]2 =

2

,

(6)

Podstawiaj ¾ac t = sin x dostajemy dt = cos xdx, wi ¾ec

P = 2

sinZ2

sin 0

p1 + t2dt = 2 Z1

0

p1 + t2dt .

Korzystaj ¾ac ze wzoru na ca÷k¾e nieoznaczon ¾a funkcji p

1 + t2 otrzymujemy P = 2 1

2tp

t2+ 1 +1

2ln t +p t2+ 1

1

0

= 2 1 2

p2 + 1

2ln 1 +p

2 1

2ln 1

= p

2 + ln 1 +p

2 .

10. Znajdziemy teraz obj ¾eto´s´c bry÷y powsta÷ej przez obrót wokó÷osi OY zamkni ¾etego konturu utworzonego przez krzywe y = x2oraz x = y2. Szukana liczba jest ró·znic ¾a obj ¾eto´sci bry÷V1 i V2 powsta÷ych przez obró odpowiednio krzywej x = py i x = y2 dla y 2 [0; 1]. Zatem

jV j = Z1

0

(py)2dy Z1

0

y2 2dy = 3 10 .

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej... Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa

Korzystaj ˛ ac z wyznacznika Gramma, podaj wzór na odległo´s´c punktu od podprzestrzeni afinicznej w prze- strzeni euklidesowej.. Ka˙zde zadanie nale˙zy pisa´c na

Jeśli dokonamy całkowania wartości natężenia pola względem drogi wyznaczonej przez krzywą C(S) wyznaczającą powierzchnię S, to związek pomiędzy wartością prądów

[r]

Lista nr 8 IŚ, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17. Całki oznaczone i ich

[r]

Przekroje prostopadłe do ustalonej średnicy podstawy są kwadratami.. (c) Podstawą bryły jest trójkąt równoboczny o

Uwaga: kierunek napięcia wyjściowego u 3 , a tym samym sposób dołączenia kondensatora (+,-) zależy od kierunku włączenia diody prostowniczej.. Uwaga: kierunek napięcia