Zastosowania geometryczne ca÷ ki oznaczonej
Pole …gury p÷ askiej
Pole jDj obszaru D ograniczonego krzywymi ci ¾ag÷ymi y = f (x) i y = g (x), gdzie g (x) > f (x) dla x 2 [a; b], i prostymi x = a i x = b wyra·za si¾e wzorem
jDj = Zb
a
g (x) f (x) dx .
Przyk÷ady:
1. Pole obszaru zawartego mi ¾edzy krzywymi y = x2 i y = x2 oraz prostymi x = 0 i x = 3 jest równe:
jDj = Z3
0
x2 x2 dx = 2 Z3
0
x2dx = 2 1 3x3
3
0
= 18
2. Pole obszaru p÷askiego D ograniczonego parabol ¾a y2 = 4x i prost ¾a y = 2x 4wynosi
Z1
0
2p
x 2p
x dx + Z4
1
2p
x (2x 4) dx
3. Pole obszaru ograniczonego krzyw ¾a y = x21+2 oraz osi ¾a OX mo·zemy obliczy´c wykorzystuj ¾ac poj ¾ecie ca÷ki niew÷a´sciwej:
jDj = Z1
1
1
x2+ 2dx = 2 Z1
0
1
x2+ 2dx = 2 lim
A!1
ZA
0
1 x2 + 2dx
Pole obszaru wyznaczonego przez krzywe opisane przy pomocy równa´n parametrycznych
Je´sli krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi x = ' (t), y = (t), gdzie funkcje ' (t) i (t) s ¾a ci ¾ag÷e w przedziale 6 t 6 oraz funkcja ' (t) ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a w tym przedziale, to wzór na pole obszaru ogranic- zonego ÷ukiem krzywej K, osi ¾a OX oraz prostymi x = ' ( ) i y = ( ) ma posta´c
jDj = Z
j (t)j j'0(t)j dt .
Przyk÷ad:
4. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego krzyw ¾a dan ¾a równaniami para- metrycznymi : x = 2 cos t, y = 2 sin t , 0 6 t 6 2. Podstawiaj ¾ac odpowiednie funkcje do ostatniego wzoru dostajemy
jDj = Z2
0
2 sin t (2 cos t)0 dt = 4 Z2
0
sin2tdt:
Poniewa·z Z
sin2tdt = 1 2t 1
2sin t cos t + C wi ¾ec
jDj = 2 [t sin t cos t]02 = .
Obszar ograniczony krzyw ¾ a dan ¾ a we wspó÷ rz¾ ednych biegunowych
Ka·zdy punkt p÷aszczyzny (x; y) 2 R R mo·zna jednoznacznie opisa´c po- daj ¾ac odleg÷o´s´c r punktu (x; y) od pocz ¾atku uk÷adu wspó÷rz ¾ednych oraz k ¾at , jaki wektor ÷¾acz ¾acy punkty (0; 0) i (x; y) tworzy z dodatni ¾a pó÷osi ¾a OX.
Takie przedstawienie (analogiczne do trygonometrycznej postaci liczby ze- spolonej) nazywamy wspó÷rz ¾ednymi biegunowymipunktu. ×atwo sprawdzi´c, ze x = r cos· oraz y = r sin .
Pole obszaru p÷askiego ograniczonego ÷ukiem AB o równaniu biegunowym r = f ( ) 0dla a6 6 b oraz b a 6 2 i promieniami wodz ¾acymi OA i OB o d÷ugo´sciach f (a) i f (b) - o ile f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a w przedziale [a; b]
wyra·za si ¾e ca÷k ¾a
jDj = 1 2 Zb
a
(f ( ))2d
Przyk÷ady:
5. Wspólrz ¾edne biegunowe pozwalaj ¾a wygodnie policzy´c pole ko÷a. Okr ¾ag o ´srodku w ´srodku uk÷adu wspó÷rz ¾ednych i promieniu 5 ma we wspó÷rz ¾ednych biegunowych wzór r = 5 dla 2 [0; 2 ]. Wobec tego
jDj = 1 2 Z2
0
52d = 1
2[25 ]20 = 25 .
6. Pole obszaru p÷askiego D ograniczonego "kardioid ¾a" o równaniu r = 1 + cos dla 2 [0; 2 ] jest równe
Z Z
D÷ ugo´s´c ÷ uku krzywej
Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f (x) ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na przedziale [a; b]. D÷ugo´s´c
÷uku krzywej K : y = f (x), x 2 [a; b] jest równa
L = Zb
a
q
1 + (f0(x))2dx .
Przyk÷ady:
7. Przek ¾atna kwadratu o boku jednostkowym, czyli d÷ugo´s´c ÷uku opisanego równaniem y = x dla x 2 [0; 1] wynosi
L = Z1
0
q
1 + (1)2dx =hp 2xi1
0 =p 2 .
8. D÷ugo´s´c ÷uku paraboli y = x2 dla x 2 [0; 1] jest równa
L = Z1
0
q
1 + (2x)2dx = 8<
:
t = 2x dt = 2dx x = 0 x = 1
t = 0 t = 2 9=
;= 1 2 Z2
0
p1 + t2dt .
Poniewa·z
Z p1 + t2dt = 1 2tp
t2+ 1 + 1
2ln t +p
t2+ 1 + C , wi ¾ec
L = 1 4 2p
5 + ln 2 +p
5 .
Obj ¾ eto´s´c i pole powierzchni bry÷ y obrotowej
Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f (x) ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na przedziale [a; b]. Po obrocie krzywej y = f (x), a 6 x 6 b, doko÷a osi OX otrzymamybry÷¾e obrotow ¾a, której obj ¾eto´s´c i pole powierzchni wyra·zaj ¾a si ¾e wzorami
V = Zb
a
(f (x))2dx ,
P = 2 Zb
a
jf (x)j q
1 + (f0(x))2dx .
Przy obrocie krzywej x = g (y), y 2 [c; d], doko÷a osi OY wzory przyjmuj ¾a posta´c:
V = Zd
c
(g (y))2dy oraz
P = 2 Zd
c
jg (y)j q
1 + (g0(y))2dy . Przyk÷ad:
9. Obj ¾eto´s´c bry÷y utworzonej przez obrót doko÷a osi OX krzywej y = cos x dla x 2 0; 2 jest równa
V = Z2
(cos x)2dx = [x + sin x cos x]2 =
2
,
Podstawiaj ¾ac t = sin x dostajemy dt = cos xdx, wi ¾ec
P = 2
sinZ2
sin 0
p1 + t2dt = 2 Z1
0
p1 + t2dt .
Korzystaj ¾ac ze wzoru na ca÷k¾e nieoznaczon ¾a funkcji p
1 + t2 otrzymujemy P = 2 1
2tp
t2+ 1 +1
2ln t +p t2+ 1
1
0
= 2 1 2
p2 + 1
2ln 1 +p
2 1
2ln 1
= p
2 + ln 1 +p
2 .
10. Znajdziemy teraz obj ¾eto´s´c bry÷y powsta÷ej przez obrót wokó÷osi OY zamkni ¾etego konturu utworzonego przez krzywe y = x2oraz x = y2. Szukana liczba jest ró·znic ¾a obj ¾eto´sci bry÷V1 i V2 powsta÷ych przez obró odpowiednio krzywej x = py i x = y2 dla y 2 [0; 1]. Zatem
jV j = Z1
0
(py)2dy Z1
0
y2 2dy = 3 10 .