07b - Całka oznaczona
6 lutego 2017
Podział odcinka
6 lutego 2017 2 / 38
Oznaczenia
6 lutego 2017 3 / 38
Suma całkowa
6 lutego 2017 4 / 38
Całka oznczona Riemanna
6 lutego 2017 5 / 38
Całka oznczona Riemanna
6 lutego 2017 6 / 38
Klasyfikacja funkcji calkowalnych w sensie Riemanna
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną.
1. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to jest całkowalna.
2. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, to jest całkowalna.
3. Jeśli funkcja f jest monotoniczna w przedziale domkniętym [a, b], to jest całkowalna.
6 lutego 2017 7 / 38
6 lutego 2017 8 / 38
Ciekawostka historyczna, całka starożytnych
Eudoksos (408-355 p.n.e.) dostarczył wraz z liczbami rzeczywistymi metody dokonywania pomiarów; wprowadził miarę, która bez zastrzeżeń przetrwała do
XVII wieku, a naprawdę została zastąpiona dopiero dzięki pracom Riemanna.
Całka Eudoksosa:
Z figury, którą chcemy zmierzyć (w sensie Eudoksosa), wyjmujemy jej część, której miarę znamy (najczęściej wielokąt, wielościan), przy czym musi być ona większa od połowy całej figury (czego dowód jest nietrywialny, bo przecież nie
znamy miary całej figury). Miarę tej części oznaczamy S1. Z pozostałą częścią figury robimy to samo otrzymując kolejno S2, S3, itd.
Eudoksos twierdzi, że suma S1+ S2+ S3+ . . . + Sn
tym lepiej przybliża miarę figury im większe jest n. Oraz, że nieskończona suma daje miarę figury.
Dla udowodnienia poprawności tej metody potrzebne jest stwierdzenie 12+ 14+ 18+ . . . + 12n+ . . . = 1, jest to informacja, którą wówczas Grecy już mieli.
6 lutego 2017 9 / 38
Interpretacja geometryczna
6 lutego 2017 10 / 38
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y = f (x ), przy czym funkcja f (x ) ma w przedziale a ≤ x ≤ b pochodną ciągłą, to długość łuku
L = {(x , f (x )) : a ≤ x ≤ b} wyraża się wzorem
|L| =
b
Z
a
q
1 + (f0(x ))2dx .
6 lutego 2017 11 / 38
6 lutego 2017 12 / 38
6 lutego 2017 13 / 38
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y = f (x ), przy czym funkcja f (x ) ma w przedziale a ≤ x ≤ b pochodną ciągłą, to pole powierzchni obrotowej S powstałej przez obrót łuku L = {(x , f (x )) : a ≤ x ≤ b} dokoła osi OX wyraża
się wzorem
|S| = 2π
b
Z
a
f (x ) q
1 + (f0(x ))2dx .
6 lutego 2017 14 / 38
6 lutego 2017 15 / 38
6 lutego 2017 16 / 38
6 lutego 2017 17 / 38
Szkic dowodu
6 lutego 2017 18 / 38
6 lutego 2017 19 / 38
6 lutego 2017 20 / 38
6 lutego 2017 21 / 38
6 lutego 2017 22 / 38
6 lutego 2017 23 / 38
6 lutego 2017 24 / 38
6 lutego 2017 25 / 38
6 lutego 2017 26 / 38
6 lutego 2017 27 / 38
6 lutego 2017 28 / 38
6 lutego 2017 29 / 38
6 lutego 2017 30 / 38
6 lutego 2017 31 / 38
6 lutego 2017 32 / 38
6 lutego 2017 33 / 38
6 lutego 2017 34 / 38
6 lutego 2017 35 / 38
6 lutego 2017 36 / 38
6 lutego 2017 37 / 38
6 lutego 2017 38 / 38
