Operator A jest samosprzężony jeśli A ? = A.

(1)

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 1)

1. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni unitarnej U (zesplolonej przestrzeni wek- torowej, z hermitowskim, dodatnio określonym iloczynem skalarnym), tzn. dla dowolnych wektorów ψ ₁ , ψ ₂ ∈ U oraz dla dowolnych liczb α ₁ , α ₂ ∈ C zachodzi:

A(α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 Aψ 1 + α 2 Aψ 2 . Działanie operatora A ^? sprzężonego do A definiujemy przez:

A ^? ψ = ψ ⁰ : ∀φ ∈ U (ψ, Aφ) = (ψ ⁰ , φ).

Operator A jest samosprzężony jeśli A ^? = A.

Proszę pokazać, że:

(a) opertator sprzężony do operatora liniowego również jest liniowy (b) wartości własne operatora samosprzężonego są rzeczywiste.

(c) wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

2. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni Hilberta H. Dziedziną operatora A nazy- wamy zbiór wektorów D(A) = {ψ ∈ H : Aψ ∈ H}. Operator A jest liniowy, tzn. dla dowolnych wektorów ψ ₁ , ψ ₂ ∈ D(A) oraz dla dowolnych liczb α ₁ , α ₂ ∈ C zachodzi:

A(α ₁ ψ ₁ + α ₂ ψ ₂ ) = α ₁ Aψ ₁ + α ₂ Aψ ₂ . Sprzężenie A ^? operatora A definiujemy następująco:

ψ ∈ D(A ^? ) ⇐⇒ ∃ψ ⁰ ∈ H : ∀φ ∈ D(A) (ψ, Aφ) = (ψ ⁰ , φ) i wtedy A ^? ψ = ψ ⁰ .

Operator A jest symetryczny (hermitowski) ⇐⇒ ∀ψ, φ ∈ D(A) : (ψ, Aφ) = (Aψ, φ).

Operator A jest samosprzężony jeśli jest symetryczny i D(A ^? ) = D(A).

Postulat 1: stany układu kwantowego są reprezentowane przez wektory w przestrzeni Hilberta Postulat 2: obserwable układu kwantowego (wielkości mierzalne) są reprezentowane przez ope- ratory samosprzężone.

W przestrzeni zespolonych funkcji L ² (R, dx) (tzn. takich, że R +∞

−∞ |f (x)| ² dx < ∞) definiujemy naturalny iloczyn skalarny:

(f, g) = Z +∞

−∞

f (x)g(x) dx.

Definiujemy operatory liniowe X i P , które działają w następujący sposób:

Xf (x) = xf (x) i P f (x) = −i~ d dx f (x) (a) Proszę pokazać, że operatory X i P są samosprzężone.

(b) Proszę obliczyć komutator [X, P ]f (x) = XP f (x) − P Xf (x).

Jedna z metod kwantowania polega na na zastąpieniu nawiasu Poissona wielkości klasycznych (patrz mechanika klasyczna) przez 1/(i~) razy komutator operatorów reprezentujących te ob- serwable w przestrzeni Hilberta, np.:

{x, p} = 1 kwantowanie

−→ 1

i~ [X, P ] = 1.

3. Proszę pokazać, że: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B.

(2)

4. Kwantowy oscylator harmoniczny. Hamiltonian kwantowego oscylatora harmonicznego otrzymujemy z wyrażenia klasycznego zastępując wielkości klasyczne przez operatory i narzu- cając reguły komutacji:

H = 1

2m P ² + 1

2 mω ² X ² = ~ω

1 2m~ω P ² + mω 2~ X ²

, gdzie [X, P ] = i~.

(a) Definiujemy operator

ˆ

a = i

√ 2m~ω P + r mω 2~ X.

Proszę znaleźć operator ˆ a ^? . Wskazówka: operatory X i P są samosprzężone.

(b) Proszę wyliczyć ˆ a ^? ˆ a, a następnie wyrazić H przez operatory ˆ a i ˆ a ^? . (c) Proszę wyliczyć komutatory: [ˆ a, ˆ a ^? ] oraz [H, ˆ a] i [H, ˆ a ^? ].

(d) Oznaczmy przez ψ _E unormowany stan własny hamiltonianu do wartości własnej E:

Hψ _E = Eψ _E i (ψ _E , ψ _E ) = 1.

Proszę pokazać, że ˆ aψ _E i ˆ a ^? ψ _E są (w ogólności nieunormowanymi) stanami własnymi hamiltonianu do wartości własnych odpowiednio (E − ~ω) i (E + ~ω), tzn.

ˆ

a ^? ψ _E = α(E)ψ _E+~ω i ˆ aψ _E = β(E)ψ _E+~ω

gdzie α(E) i β(E) są stałymi normalizacyjnymi. Wskazówka: Trzeba pokazać, że H ˆ aψ _E = (E − ~ω)ˆaψ E i analogicznie dla ˆ a ^? ψ _E . W tym celu wykorzystać tożsamość H ˆ a = [H, ˆ a] + ˆ aH.

(e) Proszę pokazać, że dla dowolnego stanu ψ

(ψ, Hψ) ≥ 0

i wywnioskować stąd, że istnieje stan podstawowy ψ _E

₀

taki, że ˆ aψ _E

₀

= 0. Zadziałać na stan ψ E

0

hamiltonianem i pokazać, że E 0 = ¹ ₂ ~ω. Jest to energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego (energia drgań zerowych)!

(f) Proszę wykazać, że dopuszczalne wartości energii oscylatora harmonicznego mają postać E = (n + 1

2 )~ω ≡ E n , a odpowiadające im stany własne są zdefiniowane przez

ψ _E

_n

= c _n (ˆ a ^? ) ⁿ ψ _E

₀

, gdzie c _n jest stałą normalizacyjną.

(g) Wprowadzamy skróconą notację: ψ _E

_n

≡ ψ _n . W tej notacji ˆ

a ^? ψ _n = α _n ψ _n+1 i ˆ aψ _n+1 = β _n+1 ψ _n . Proszę pokazać, że można przyjąc α n = √

n + 1 i β _n = √

n oraz, że przy tej konwencji ψ _n = 1

√ n! (ˆ a ^? ) ⁿ ψ ₀ .

Wskazówka: Proszę pokazać, że β _n+1 = α _n oraz |α _n | ² = n + 1.

(3)

(h) Proszę rozwiązać równanie ˆ aψ ₀ = 0 w reprezentacji położeniowej i w ten sposób znaleźć unormowaną funkcję falową stanu podstawowego oscylatora ψ ₀ (x). Działając na ψ ₀ (x) potęgami operatora ˆ a ^? proszę znaleźć unormowane funkcje falowe pozostałych stanów ψ n

Operator A jest samosprzężony jeśli A ? = A.

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 1)

1. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni unitarnej U (zesplolonej przestrzeni wek- torowej, z hermitowskim, dodatnio określonym iloczynem skalarnym), tzn. dla dowolnych wektorów ψ 1 , ψ 2 ∈ U oraz dla dowolnych liczb α 1 , α 2 ∈ C zachodzi:

A(α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 Aψ 1 + α 2 Aψ 2 . Działanie operatora A ? sprzężonego do A definiujemy przez:

A ? ψ = ψ 0 : ∀φ ∈ U (ψ, Aφ) = (ψ 0 , φ).

Operator A jest samosprzężony jeśli A ? = A.

Proszę pokazać, że:

(a) opertator sprzężony do operatora liniowego również jest liniowy (b) wartości własne operatora samosprzężonego są rzeczywiste.

(c) wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

2. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni Hilberta H. Dziedziną operatora A nazy- wamy zbiór wektorów D(A) = {ψ ∈ H : Aψ ∈ H}. Operator A jest liniowy, tzn. dla dowolnych wektorów ψ 1 , ψ 2 ∈ D(A) oraz dla dowolnych liczb α 1 , α 2 ∈ C zachodzi:

A(α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 Aψ 1 + α 2 Aψ 2 . Sprzężenie A ? operatora A definiujemy następująco:

ψ ∈ D(A ? ) ⇐⇒ ∃ψ 0 ∈ H : ∀φ ∈ D(A) (ψ, Aφ) = (ψ 0 , φ) i wtedy A ? ψ = ψ 0 .

Operator A jest symetryczny (hermitowski) ⇐⇒ ∀ψ, φ ∈ D(A) : (ψ, Aφ) = (Aψ, φ).

Operator A jest samosprzężony jeśli jest symetryczny i D(A ? ) = D(A).

Postulat 1: stany układu kwantowego są reprezentowane przez wektory w przestrzeni Hilberta Postulat 2: obserwable układu kwantowego (wielkości mierzalne) są reprezentowane przez ope- ratory samosprzężone.

W przestrzeni zespolonych funkcji L 2 (R, dx) (tzn. takich, że R +∞

−∞ |f (x)| 2 dx < ∞) definiujemy naturalny iloczyn skalarny:

(f, g) = Z +∞

−∞

f (x)g(x) dx.

Definiujemy operatory liniowe X i P , które działają w następujący sposób:

Xf (x) = xf (x) i P f (x) = −i~ d dx f (x) (a) Proszę pokazać, że operatory X i P są samosprzężone.

(b) Proszę obliczyć komutator [X, P ]f (x) = XP f (x) − P Xf (x).

Jedna z metod kwantowania polega na na zastąpieniu nawiasu Poissona wielkości klasycznych (patrz mechanika klasyczna) przez 1/(i~) razy komutator operatorów reprezentujących te ob- serwable w przestrzeni Hilberta, np.:

{x, p} = 1 kwantowanie

−→ 1

i~ [X, P ] = 1.

3. Proszę pokazać, że: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B.

4. Kwantowy oscylator harmoniczny. Hamiltonian kwantowego oscylatora harmonicznego otrzymujemy z wyrażenia klasycznego zastępując wielkości klasyczne przez operatory i narzu- cając reguły komutacji:

H = 1

2m P 2 + 1

2 mω 2 X 2 = ~ω

 1

2m~ω P 2 + mω 2~ X 2



, gdzie [X, P ] = i~.

(a) Definiujemy operator

ˆ

a = i

√ 2m~ω P + r mω 2~ X.

Proszę znaleźć operator ˆ a ? . Wskazówka: operatory X i P są samosprzężone.

(b) Proszę wyliczyć ˆ a ? ˆ a, a następnie wyrazić H przez operatory ˆ a i ˆ a ? . (c) Proszę wyliczyć komutatory: [ˆ a, ˆ a ? ] oraz [H, ˆ a] i [H, ˆ a ? ].

(d) Oznaczmy przez ψ E unormowany stan własny hamiltonianu do wartości własnej E:

Hψ E = Eψ E i (ψ E , ψ E ) = 1.

Proszę pokazać, że ˆ aψ E i ˆ a ? ψ E są (w ogólności nieunormowanymi) stanami własnymi hamiltonianu do wartości własnych odpowiednio (E − ~ω) i (E + ~ω), tzn.

ˆ

a ? ψ E = α(E)ψ E+~ω i ˆ aψ E = β(E)ψ E+~ω

gdzie α(E) i β(E) są stałymi normalizacyjnymi. Wskazówka: Trzeba pokazać, że H ˆ aψ E = (E − ~ω)ˆaψ E i analogicznie dla ˆ a ? ψ E . W tym celu wykorzystać tożsamość H ˆ a = [H, ˆ a] + ˆ aH.

(e) Proszę pokazać, że dla dowolnego stanu ψ

(ψ, Hψ) ≥ 0

i wywnioskować stąd, że istnieje stan podstawowy ψ E

taki, że ˆ aψ E

= 0. Zadziałać na stan ψ E

hamiltonianem i pokazać, że E 0 = 1 2 ~ω. Jest to energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego (energia drgań zerowych)!

(f) Proszę wykazać, że dopuszczalne wartości energii oscylatora harmonicznego mają postać E = (n + 1

2 )~ω ≡ E n , a odpowiadające im stany własne są zdefiniowane przez

ψ E

= c n (ˆ a ? ) n ψ E

, gdzie c n jest stałą normalizacyjną.

(g) Wprowadzamy skróconą notację: ψ E

≡ ψ n . W tej notacji ˆ

a ? ψ n = α n ψ n+1 i ˆ aψ n+1 = β n+1 ψ n . Proszę pokazać, że można przyjąc α n = √

n + 1 i β n = √

n oraz, że przy tej konwencji ψ n = 1

√ n! (ˆ a ? ) n ψ 0 .

Wskazówka: Proszę pokazać, że β n+1 = α n oraz |α n | 2 = n + 1.

(h) Proszę rozwiązać równanie ˆ aψ 0 = 0 w reprezentacji położeniowej i w ten sposób znaleźć unormowaną funkcję falową stanu podstawowego oscylatora ψ 0 (x). Działając na ψ 0 (x) potęgami operatora ˆ a ? proszę znaleźć unormowane funkcje falowe pozostałych stanów ψ n

oscylatora.

Wskazówka: Skorzystać z definicji wielomianów Hermite’a H n (x) = e

 x − d

dx

 n

e −

(1)

oraz z ich warunku normalizacji Z +∞

−∞

e −x

H n 2 (x) dx = √

π2 n n! . (2)

Jak otrzymać funkcje falowe w reprezentacji pędow ˜ ψ n (p)?

1. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni unitarnej U (zesplolonej przestrzeni wek- torowej, z hermitowskim, dodatnio określonym iloczynem skalarnym), tzn. dla dowolnych wektorów ψ ₁ , ψ ₂ ∈ U oraz dla dowolnych liczb α ₁ , α ₂ ∈ C zachodzi:

A(α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 Aψ 1 + α 2 Aψ 2 . Działanie operatora A ^? sprzężonego do A definiujemy przez:

A ^? ψ = ψ ⁰ : ∀φ ∈ U (ψ, Aφ) = (ψ ⁰ , φ).

Operator A jest samosprzężony jeśli A ^? = A.

2. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni Hilberta H. Dziedziną operatora A nazy- wamy zbiór wektorów D(A) = {ψ ∈ H : Aψ ∈ H}. Operator A jest liniowy, tzn. dla dowolnych wektorów ψ ₁ , ψ ₂ ∈ D(A) oraz dla dowolnych liczb α ₁ , α ₂ ∈ C zachodzi:

A(α ₁ ψ ₁ + α ₂ ψ ₂ ) = α ₁ Aψ ₁ + α ₂ Aψ ₂ . Sprzężenie A ^? operatora A definiujemy następująco:

ψ ∈ D(A ^? ) ⇐⇒ ∃ψ ⁰ ∈ H : ∀φ ∈ D(A) (ψ, Aφ) = (ψ ⁰ , φ) i wtedy A ^? ψ = ψ ⁰ .

Operator A jest samosprzężony jeśli jest symetryczny i D(A ^? ) = D(A).

W przestrzeni zespolonych funkcji L ² (R, dx) (tzn. takich, że R +∞

−∞ |f (x)| ² dx < ∞) definiujemy naturalny iloczyn skalarny:

2m P ² + 1

2 mω ² X ² = ~ω

1

2m~ω P ² + mω 2~ X ²

Proszę znaleźć operator ˆ a ^? . Wskazówka: operatory X i P są samosprzężone.

(b) Proszę wyliczyć ˆ a ^? ˆ a, a następnie wyrazić H przez operatory ˆ a i ˆ a ^? . (c) Proszę wyliczyć komutatory: [ˆ a, ˆ a ^? ] oraz [H, ˆ a] i [H, ˆ a ^? ].

(d) Oznaczmy przez ψ _E unormowany stan własny hamiltonianu do wartości własnej E:

Hψ _E = Eψ _E i (ψ _E , ψ _E ) = 1.

Proszę pokazać, że ˆ aψ _E i ˆ a ^? ψ _E są (w ogólności nieunormowanymi) stanami własnymi hamiltonianu do wartości własnych odpowiednio (E − ~ω) i (E + ~ω), tzn.

a ^? ψ _E = α(E)ψ _E+~ω i ˆ aψ _E = β(E)ψ _E+~ω

gdzie α(E) i β(E) są stałymi normalizacyjnymi. Wskazówka: Trzeba pokazać, że H ˆ aψ _E = (E − ~ω)ˆaψ E i analogicznie dla ˆ a ^? ψ _E . W tym celu wykorzystać tożsamość H ˆ a = [H, ˆ a] + ˆ aH.

i wywnioskować stąd, że istnieje stan podstawowy ψ _E

taki, że ˆ aψ _E

hamiltonianem i pokazać, że E 0 = ¹ ₂ ~ω. Jest to energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego (energia drgań zerowych)!

ψ _E

= c _n (ˆ a ^? ) ⁿ ψ _E

, gdzie c _n jest stałą normalizacyjną.

(g) Wprowadzamy skróconą notację: ψ _E

≡ ψ _n . W tej notacji ˆ

a ^? ψ _n = α _n ψ _n+1 i ˆ aψ _n+1 = β _n+1 ψ _n . Proszę pokazać, że można przyjąc α n = √

n + 1 i β _n = √

n oraz, że przy tej konwencji ψ _n = 1

√ n! (ˆ a ^? ) ⁿ ψ ₀ .

Wskazówka: Proszę pokazać, że β _n+1 = α _n oraz |α _n | ² = n + 1.

Wskazówka: Skorzystać z definicji wielomianów Hermite’a H _n (x) = e

x − d

n

e ⁻

e ^−x

H _n ² (x) dx = √

π2 ⁿ n! . (2)

Jak otrzymać funkcje falowe w reprezentacji pędow ˜ ψ _n (p)?