1. Wyznaczy´c funkcj˛e tworz ˛ ac ˛ a podanego ci ˛ agu:

1. Wyznaczy´c funkcj˛e tworz ˛ ac ˛ a podanego ci ˛ agu:

(a)

a _n =

( 10n dla n = 0, 1 (−2) ²ⁿ⁻¹ dla n ≥ 2 (b)

a _n =



 

 

10n dla n = 0, 1

(−2) ⁿ dla pozostałych n nieparzystych 0 dla pozostałych n parzystych (c)

a _n =



 

 

−2 dla n = 0

3 dla n = 1

4(−1) ⁿ⁺¹ dla n ≥ 2 (d)

a _n =

( (−5)

dla n parzystych 0 dla pozostałych n (e)

a _n =

( (−5)

dla n ≥ 3, nieparzystych 0 dla pozostałych n (f)

a _n =



 

 

3n dla n = 4

(−5)

dla n 6= 4, parzystych 0 dla pozostałych n . 2. Znale´z´c ci ˛ ag generuj ˛ acy podan ˛ a funkcj˛e tworz ˛ ac ˛ a:

(a) A(z) = 1 + z ² + _1−2z ^z

(b) A(z) = (1 + z) ³ + _1+2z ¹

(c) A(z) = _2+4z ^z − (z ² + 1)(z + 1)(z − 1).

Ad. (1).

a) ^10z−48z _1−4z

, dla z ∈ (− ¹ ₄ , ¹ ₄ ) b) ^10z−48z

1−4z

, dla z ∈ (− ¹ ₂ , ¹ ₂ )

1

c) ^−z

_1+z ^+z−2 , dla z ∈ (−1, 1) d) ¹

1+5z

, dla z ∈ (− ^{√ 1}

5 , ^{√ 1}

5 ) e) ^−5z

1+5z

, dla z ∈ (− ^{√ 1}

5 , ^{√ 1}

5 ) f) ¹

1+5z

− 13z ⁴ , dla z ∈ (− ^{√ 1}

5 , ^{√ 1}

5 ).

Ad. (2).

a)

a _n =



 

 

1 dla n = 0, 2 0 dla n = 1 2 ⁿ⁻³ dla n ≥ 3 b)

a _n =



 

 

 



 

 

 



2 dla n = 0

1 dla n = 1

7 dla n = 2

−7 dla n = 3 (−2) ⁿ dla n ≥ 4 c)

a _n =



 

 

1 dla n = 0

2 ⁿ⁻² (−1) ⁿ⁻¹ dla n ≥ 1, n 6= 4

−5 dla n = 4.

.

2