Metoda przewidywań dla równań różniczkowych zwyczajnych
Rozważamy liniowe równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu o stałych współczyn- nikach, tzn. równanie postaci
any(n)+ an−1y(n−1)+ . . . + a1y0+ a0y = f (x), (1)
gdzie an 6= 0. Przypuśćmy, że funkcja f (x) jest postaci
eαxPn11(x) cos βx + Pn22(x) sin βx,
gdzie Pnii(x), i = 1, 2, są wielomianami stopnia ni.
Wówczas istnieje rozwiązanie szczególne równania (1) postaci
ys(x) = xkeαxQ1m(x) cos βx + Q2m(x) sin βx,
gdzie Qim(x), i = 1, 2, są wielomianami stopnia m = max{n1, n2}, a k jest krotnością α + βi jako pierwiastka równania charakterystycznego równania (1). W szczególności, jeśli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to k = 0.
