(0, 0)

Zad. 1 Podaj przykªad wykresu funk ji dwó h zmienny h,która

a) ma jedno maksimum i»adnego minimum;

b) ma dwa maksima i »adnego minimum;

) ma jeden punkt siodªowy i »adnego ekstremum.

Zad. 2 Zbadaj, zy punkt

(0, 0)

^{jest ekstremum poni»szy h funk ji.}

a)

f (x, y) = x ² y ² + x ² + y ²

^,

b)

f (x, y) = x ³ − 2x + y

2 + 1

^.

Zad. 3 Znajd¹ekstrema funk ji izbadaj, zy s¡ tomaksima zyminima.

a)

f (x, y) = ¹ ₃ x ³ + 2x ² − 3x + y

^,

b)

f (x, y) = ( ¹ 2 y ² + 2x)e ^x

^,

)

f (x, y) = x ³ + y ³ − 3xy

^,

d)

f (x, y) = x ² − xy + 2y

2

− x + 4y − 5

^,

e)

f (x, y) = x ² + y ² + _xy ²

^,

f)

f (x, y) = ² ₃ y ³ + 3x ² y − 5y − 6x

^.

Zad. 4 Znajd¹ekstrema warunkowe funk ji przy zadany h warunka h.

a)

f (x, y) = y ² + x ² + 2y + 1

^,

x = 0

^,

b)

f (x, y) = ¹ ₂ x ² + y ² + ² ₃

^,

y − x − 1 = 0

^,

)

f (x, y) = x + y

^,

x ² + y ² − 1 = 0

^,

d)

f (x, y) = 2x − 3y + 1

^,

3x ² + y ² = 2

^,

e)

f (x, y) = x ³ + y ³

^,

x + y − 2 = 0

^,

x > 0

^,

y > 0

^,

f)

f (x, y) = xy

^,

x ² + y ² = 8

^.

Zad. 5 Mamy do dyspozy ji

15

^{m siatki ogrodowej. Mo»emy ni¡ ogrodzi¢ teren w}

ksztaª ie prostok¡ta. Jaki prostok¡t wybra¢, aby ogrodzone pole byªo jak najwiksze?

Innymi sªowy, który z prostok¡tów o obwodzie

15

^{ma najwiksze pole? Rozwi¡» ten}

problemznajduj¡ ekstremawarunkoweodpowiedniejfunk ji.(a o, je±li terenniemusi

by¢ w ksztaª ie prostok¡ta? literatura(1)podaje, jak to zadanie rozwi¡zuje prawdziwy

matematyk)

Zad. 6 Rzeka ma ksztaªt wykresu funk ji

y = _x ¹

^{(rozwa»amy tu tylko}

x > 0

^{). Który}

punkt na rze e jestnajbli»szypunktowi

(0, 0)

^ukªadu wspóªrzdny h? Rozwi¡» ten pro- blem znajduj¡ minimum warunkowe funk ji

f (x, y) = x ² + y ²

^{(dla zego takiej?) przy}

warunku

xy − 1 = 0

^{(dla zegotakim?).Jak}przeformuªowa¢tozagadnienie,»ebyznale¹¢

punkt rzekinajbli»szypunktowi

(0, 1)

^?

Zad. 7 Raneriamusiprzesªa¢swój produkt doportu. Zraneriidoportu prowadz¡

trzyruro i¡gi.Przesªanie

x

^{baryªekropypierwszym}ruro i¡giemkosztuje

x ²

^,drugim

2x ²

^,

a trze im

3x ²

^{.Jakrozªo»y¢ ªadunek}

100

^{baryªek ropy,aby koszt jego transportu byª jak}

najmniejszy? Uªó» funk j kosztów

f (x, y, z)

^{, gdzie}

x

^{ ilo±¢ ropy przesªana pierwszym}

ruro i¡giem,

y

^drugim,a

z

^{trze im.Znajd¹jejminimumprzy}odpowiednimwarunku.

Zad. 8 Przekrój kanaªu ma ksztaªt prostok¡ta. Dno i boki kanaªu s¡ wykªadane

kostk¡. Jakie powinny by¢ wymiary przekroju kanaªu, aby jego pole wyniosªo

10m ²

^{, a}

budowa kanaªu byªa jak najta«sza? Rozwi¡» tozadanie znajduj¡ ekstrema warunkowe

odpowiedniejfunk ji.A o,je±liprzekrójmiaªbyksztaªttrapezurównoramiennego?Uªó»

odpowiedni¡funk j (dwó h podstaw iwysoko± i) iwarunek.

Literatura dodatkowa:

(1) http://www.math.uni.wro . pl/ rekr uta ja/? menu =8&s ub=8 _1

Pbn

http://www.math.uni.wro .pl/ ~pbo rod/ dyda ktyk a