Podstawowe poj ecia algebraiczne.

Podstawowe poj ecia algebraiczne.

1. Wykazać, że X = Rⁿ- zbiór wszystkich n-wyrazowych ciagów liczb rzeczywistych z działa-
niami:

x + y = (x₁ +y₁, . . . , x_n+y_n), αx = (αx1, . . . , αxn)

dla x = (x₁, . . . , x_n), y = (y₁, . . . , y_n)∈Rⁿ, α ∈Rjest przestrzenia liniow
a.

2. Wykazać, że zbiór wielomianów postaci Wn(t) = antⁿ + an−1tⁿ⁻¹ + . . . + a1t + a0, dla t ∈ R, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R z działaniami określonymi jak dla przestrzeni wszystkich funkcji rzeczywistych określonych naR jest podprzestrzenia liniow
a przestrzeni tych funkcji.

3. Wykazać, że przestrzeń c0-ciągów zbieżnych do zera, jest podprzestrzenia liniow
a przestrzeni
wszystkich ciagów.

4. Pokazać, że zbiór {(0, y) ∈ R² : y ∈ R} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R².

5. Pokazać, że przestrzeń l^p - ciągów sumowalnych z p-tą potęgą (tzn. x = (t_k)^∞_k=1 ∈ l^p, jeśli

_∞

k=1|tk|^p < ∞) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów o wyrazach rzeczy- wistych (lub zespolonych).

6. Pokazać, że przestrzeń C¹([a, b],^R)- funkcji rzeczywsitych klasy C¹ na przedziale [a, b] jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R^[a,b].

7. Dla i ∈ {1, 2, . . . , n} niech ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈^Rn, (1 na i-tym miejscu).

(i) Pokazać, że układ e1, . . . , en jest liniowo niezależny.

(ii) Sprawdzić, że dla każdego x = (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ mamy x = x₁e₁+x₂e₂ +. . . + x_ne_n,

przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. jeśli x = α1e1 +. . . + αnen dla αi ∈ ^R, i ∈ {1, . . . , n}, to αi =xi.

8. Rozważyć przestrzeń R³.

(i) Pokazać , że układ wektorów x1 = (2, 1, −2), x2 = (0, 4, 2), x3 = (0, 0, 4) jest liniowo nieza- leżny.

(ii) Udowodnić, że układ ten tworzy bazę przestrzeni R³.

(iii) Podać współrzędne elementu x ∈ R³ względem tej bazy, jeśli x = (1, −1, 0) w bazie kano- nicznej.

Arkusz 1