=IJIM=EA ?=“A F@MO?D E FJHO?D M =JA=JO?A

Zastosowanie caªek podwójnych i potrójnych w matematyce

1. Obliczy¢ warto±ci ±rednie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

(i) f(x; y) = x; D =ⁿ(x; y) 2R² : 0 ¬ x ¬ 1; 0 ¬ y ¬p

1 x^2o; (ii) f(x; y) = sin(x + y); D =ⁿ(x; y) 2^R2 : 0 ¬ x; y ¬ ^₂^o;

(iii) f(x; y; z) = xy²z³; U = [0; 1]  [0; 2]  [0; 3];

(iv) f(x; y; z) = x + y + z; U = f(x; y; z) 2R³ : 0 ¬ x ¬ 1; 0 ¬ y ¬ x; 0 ¬ z ¬ x + yg :

2. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

(i) x + y = 3; x = 0; y = 0;

(ii) x = y²; x = 1;

(iii) y = cosx; y = sinx; x = ^₄; x = ^₄; (iv) xy = 1; y = x; y = 2x; (x; y > 0);

(v) y =^qjxj; y = x²; (vi) x² + y² = 2; y = xp

x;

(vii) x²+ (y 2)² = 4; y = x (y ¬ x):

3. Prostopadªo±cian, którego dolna_, podstawa_, jest prostoka_,t D poªo»ony na pªaszczy¹nie Oxy

(i) i ograniczony prostymi x = 1; y = 2; x = 1; y = 2; zostaª ±cie_,ty od góry powierzchnia_, z = 6 x² y²; (ii) i ograniczony prostymi x = c; x = d (c < d); y = e; y = f; (e < f); zostaª ±cie_,ty od góry powierzchnia_, z = ^x_a²2 + ^y_b²2:

Obliczy¢ (za pomoca_, caªki podwójnej) obje_,to±¢ powstaªej bryªy.

4. Obliczy¢ (za pomoca_, caªki podwójnej) obje_,to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami:

(i) z = 1 + x + y; x = 0; y = 0; z = 0; x + y = 1;

(ii) z = 4x²+ 2y²+ 1; x + y 3 = 0 i pªaszczyznami ukªadu wspóªrze_,dnych, (iii) z = a² x²; y = 2x; x + y = a; z = 0; y = 0;

(iv) y = x²; z = x²+ y²; y = 1; z = 0;

(v) z = sin_2x^y ; z = 0; y = x; y = 0; x = ;

(vi) z = cosxcosy; z = 0; jx + yj ¬ ¹₂; jx yj ¬ ¹₂;

(vii) z = sinxy; z = 0; xy = 1; y = x; y = 2x; x > 0;

(viii) z = xy; x + y + z = 1; z = 0:

5. Stosuja_,c zamiane_, zmiennych w caªce podwójnej, obliczy¢ obje_,to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami:

(i) z = 3x; x²+ y² = 4; pªaszczyznami Oxy i Oxz oraz le»a_,cej nad pªaszczyzna_, Oxy;

(ii) x + y + z = 10; x² + y² = 4; x = 0; y = 0; z = 0;

(iii) z = aexp( x² y²); pªaszczyzna_,Oxy i walcem x²+ y² = R²;

(iv) pªaszczyzna_, Oxy, walcem x² + y² ax = 0 i paraboloida_, obrotowa_,x²+ y² cz = 0;

(v) x²+ y² 4z² = 0; x²+ y² 8x = 0 i pªaszczyzna_, Oxy, (vi) paraboloida_, obrotowa_, x²+ y²+ Rz = R²; R > 0; z = 0:

Arkusz 1

6. Obliczy¢ obje_,to±¢ tej cze_,±ci elipsoidy ^x_a²2+^y_b2²+^z_c²2 = 1, która jest ograniczona pªaszczyznami wspóªrze_,dnych i pªaszczyzna_, ^x_a+ ^y_b = 1:

7. Walec o równaniu x²+y² = 2Rx wycina z poªówki sfery o równaniu x²+y²+z² = R²; z > 0 powierzchnie_,

 zwana_,oknem Vivianiego. Obliczy¢ obje_,to±¢ bryªy V zawartej mie_,dzy powierzchnia_, a pªaszczyzna_, z = 0.

8. Obliczy¢ (za pomoca_, caªki potrójnej) obje_,to±¢ zbioru w R³ ograniczonego powierzchniami:

(i) z = x²+ y²; y = x²; y = 1; z = 0;

(ii) z² = xy; x²+ y² = a², gdzie a > 0;

(iii) ^x_a²2 +^y_b2² +^z_c2² = 1; gdzie a; b; c > 0;

(iv) 2z = x²+ y²; z =p

x²+ y²;

(v) 2z = 4 x² y²; z = 2 x y; z = 0; y = 0; x = 0;

(vi) 3x + 6y + 4z = 12; x = 0; y = 0; z = 0;

(vii) y = x²; y + z = 4; x = 0; z = 0;

(viii) x²+ y²+ z² = 9; z =p

x²+ y²;

(ix) x² + y² = 9; x + y = 3; x + y = 3; x y = 3; x y = 3:

9. Prostopadªo±cian, którego podstawa_,na pªaszczy¹nie Oxy jest kwadrat o wierzchoªkach A(1; 0); B(3; 1); C(2; 3);

D(0; 2); rozcie_,to pªaszczyzna_, ¹₈x + ₄¹y +¹₂z = 1: Obliczy¢ obje_,to±¢ dolnej cze_,±ci prostopadªo±cianu.

10. Przyjmuja_,c pªaszczyzne_, Oxy za pªaszczyzne_, równika kuli x² + y²+ z² = R² (R > 0), obliczy¢ obje_,to±¢

warstwy kulistej zawartej mie_,dzy pªaszczyznami dwóch równole»ników o szeroko±ciach geogracznych ₁ i

2; gdzie 0 < 1 < 2 < 90^:

Arkusz 2