1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory − działania i własności. Wzory skróconego mnożenia. Procenty. Iloczyn kartezjański zbiorów
Obliczyć:
1. (516 + 214) : (789 − 34045).
2. 4 + 13 −13 ·45.
3. 3257 − 1204 − (814 − 72448).
4. 0,53 + 0,22 − 10, 2 + 213. 5. −2, 4 − 3, 6 · (138 : 3, 3 −59).
6. 3√
27 · 9−1,5· (13)34 · (811)−2. 7. 9−14 + (3√
3)−239−14 − (3√ 3)−23. 8. √3
2 ·√3 4 ·√
2−1. 9. 2·51625−9·57 15. 10. 6942−16−1.
Daną liczbę zapisać jako potęgę liczby 2:
11.
r 2
q 2√
2 . 12. 4
r 163
q 8√
8 .
13. 4−1· q
32√4 2 . 14. 161 ·
√ 32 2
2
·√ 8.
Obliczyć wartość wyrażenia:
15. 1 + 2x2− x3 dla x = 1 −√
2. 16. a3− a + 1 dla a = 2 +√
3.
Rozłożyć wyrażenie na czynniki:
17. a4+ 1. 18. a6− b6. 19. a8− b8.
Usunąć niewymierność z mianownika:
20. √ 3
2+√ 8. 21.
√2+√
√ 3 3−√
2.
22. 2−
√ 2 2+√
2. 23. 5−
√5
√ 5+2.
24. √3a−1
a−1
25. √4 1
2−1.
Uprościć wyrażenie:
26. aa+b2−b2 −aa32+b−b32. 27. x2+yx 2 − y(x−y)x4−y42.
Obliczyć:
28. [a−32b(ab−2)−21(a−1)−23]3 dla a =
√ 2
2 , b = √31
2. 29. (1 −√
a)−2− (1 +√
a)−2−4(a+
√
√ ab) a+√
b , jeżeli a = 214. Zapisać za pomocą przedziału lub sumy przedziałów zbiór:
30. A = {x ∈ R : x < −3 ∨ x > 4}.
31. B = {x ∈ R : x > 0 ∧ x < 2}.
32. C = {x ∈ R : x > 2 ∧ x > −2}.
33. D = R \ [0, 2).
Wypisać wszystkie elementy zbioru:
34. A = {x ∈ N : 1 6 x <√3
125 }. 35. B = {x ∈ Z : |x| < 3}.
Wyznaczyć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A jeżeli:
36. A = {x ∈ N : x < 15}, B = {x ∈ Z : x ∈ C5}.
37. A = {2, 5, 7, 8, 9}, B = {3, 5, 7, 10}.
38. A = N, B = ∅.
Dane są zbiory A = {x ∈ R : |x| > 2}, B = (−2, 0) ∪ [1, 3). Wyznaczyć zbiór:
39. R \ B. 40. A ∪ B. 41. A ∩ B. 42. A \ B. 43. B \ A. 44. A0∩ B.
Dane są zbiory A = {x ∈ R : |x| 6√
3 }, B = (−∞, −1] ∪ [√
2, 2). Wyznaczyć zbiór:
45. A ∪ B. 46. A ∩ B. 47. A \ B. 48. B \ A. 49. A0∪ B. 50. A ∩ B0.
2. Własności funkcji
Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak:
a) dziedzina, zbiór wartości,
b) miejsca zerowe,
c) monotoniczność,
d) parzystość, nieparzystość,
e) różnowartościowość,
f ) okresowość,
g) najmniejsza i największa wartość.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Na podstawie wykresu funkcji f , wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości:
57. ujemne. 58. dodatnie.
Na podstawie wykresu funkcji f znaleźć rozwiązania nierówności:
59. f (x) < 0. 60. f (x) > 0.
61. Narysować schematycznie wykres funkcji:
a) parzystej o zbiorze wartości [−∞, −1].
b) nieparzystej ograniczonej z góry i z dołu.
c) parzystej i jednocześnie nieparzystej.
d) nieparzystej, ale niemonotonicznej.
e) parzystej o dokładnie jednym miejscu zerowym.
f) parzystej o największej wartości 3, a najmniejszej −3.
g) okresowej o zbiorze wartości [0, 2].
h) ściśle rosnącej o zbiorze wartości [0, 2].
Na podstawie definicji ustalić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:
62. f (x) = x3+ x|x|.
63. f (x) = 3 − 2|x| − x2.
64. f (x) = |x|x +|x−2|x−2 +|x+2|x+2 . 65. f (x) = x(1+21−2xx).
Sprawdzić, czy poniższe funkcje są różnowartościowe:
66. f : R → R, f (x) = |x − 1|. 67. f : R → R, f (x) = 2x + 3.
3. Złożenie funkcji. Funkcja odwrotna
68. Naszkicować wykres funkcji, a następnie na ten sam obrazek nanieść przybliżony wykres funkcji do niej odwrotnej. Co to za funkcja?
a) f (x) = 3x + 1.
b) f (x) = −x + 2.
c) f (x) = x2, x ∈ R+∪ {0}.
d) f (x) = x3. e) f (x) = x3/2. f) f (x) =√
x − 2.
g) f (x) = 4.
69. Niech h = g ◦ f , gdzie f (x) = x − 1, g(x) =√
x + 2. Obliczyć h(5).
70. Niech h = g ◦ f , gdzie f (x) = x + 3, g(x) = 1 + 2x. Obliczyć h(13).
71. Niech h = g ◦ f , gdzie f (x) = |x − 2|, g(x) =√
x + 1. Obliczyć h(−6).
72. Niech f, g : [1, +∞) → [1, +∞), f (x) = x2− 2x + 2, g(x) = 1 +√
x − 1 . Dla x ∈ [1, +∞) wyznaczyć g(f (x)), f (g(x)). Czy funkcja f jest funkcją odwrotną do g?
73. Niech f, g : R → R, f (x) = 2x + 6, g(x) = 12x − 3 . Dla x ∈ R wyznaczyć g(f (x)), f (g(x)). Czy funkcja f jest funkcją odwrotną do g?
4. Przekształcenia wykresów funkcji
Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji:
74. g(x) = f (x + 1) + 1.
75. g(x) = f (−x).
76. g(x) = −f (x).
77. g(x) = −f (−x).
78. g(x) = f (|x|).
79. g(x) = |f (x)|.
80. Na jednym obrazku naszkicować wykresy funkcji, rozkładając je na złożenie funkcji elementarnych, według schematu:
f (x) = 2√
x + 1 : x
√
−→ √
x −→ 22× √
x −→ 2+1 √ x + 1 .
a) f (x) = −x2+ 3;
b) f (x) = −(x + 3)2; c) f (x) = (−x + 3)2; d) f (x) = 2x − 1;
e) f (x) = x−12 ; f) f (x) = −2|x| + 3;
g) f (x) = −2|x + 3|;
h) f (x) = | − 2x + 3|;
i) f (x) = 12x3− 1;
j) f (x) = 12(x − 1)3; k) f (x) =12x − 13;
l) f (x) = 1 +√ 2x;
m) f (x) =√ 2x + 1.
5. Funkcja liniowa. Wartość bezwzględna
Narysować wykres funkcji:
81. f (x) = −x2 + 1.
82. f (x) = |x − 1| − 3.
83. f (x) = 2 − |x|.
84. f (x) =√
x2+ 2x + 1 − 2.
85. f (x) = |x| + |x − 1|.
86. f (x) = |x − 2| + |x + 1| − 2.
Rozwiązać równanie:
87. 13x + 0, 2 = 0, 7x − 15. 88. 3 − 2x = 2 − 3x.
89. 0, 95x +34 = 1, 7.
90. |x − 1| = 4.
91. 5|x| + 6 = 0.
92. |2x + 3| − 4 = 0.
93. ||x + 1| − 1| = 1.
94. |x| + 2x = 2 − 3|x|.
95. |x| + |x − 3| = 5.
96. x√
2 + 1 = 3.
Rozwiązać nierówność:
97. 1 − 3x > 2x + 3.
98. 23x + 0, 2 6 34− 0, 25x.
99. |x + 2| > 5.
100. |x − 32| 6 23. 101. |x − 2| > 12. 102. −|x| − 1 6 0.
103. |x| + x 6 4.
104. 2|x − 1| + x > 4.
105. |2x + 4| + |x − 1| 6 6.
Rozwiązać układ równań:
106.
(4x −3y = 1 2x +9y = 4.
107.
( 5x −6y = −1 10x +3y = 3.
108.
(|x| + y = 1 x −3y = 1.
109.
(|x| + |y| = 3 x − y = −1.
110.
(|x| = 2|y|
x + |y| − 1 = 5.
111.
(x − 2y = 2
−2x + 4y = 1.
Rozwiązać algebraicznie i graficznie układ równań:
112.
(3x −2y = 1
−x + y = 1. 113.
( x − y = 3 2x +3y = 1.
6. Funkcja kwadratowa
Narysować wykres funkcji:
114. f (x) = (x + 1)2− 1.
115. f (x) = x2+ 2x − 2.
116. f (x) = |x2− 1|.
117. f (x) = |x2− 4| − 1.
118. f (x) = |(x − 2)2− 1|.
119. f (x) = |x2+ 2x − 1|.
Wykresy funkcji y = x2+ bx przedstawiają pewną rodzinę parabol. Wyznaczyć parametr b tak by:
120. do wykresu należał punkt A(−1, 3).
121. miejscem zerowym była liczba 4.
122. funkcja miała tylko jedno miejsce zerowe.
Jaką figurę tworzą wszystkie wierzchołki tych parabol?
Wykresy funkcji y = x2+ 3x + c przedstawiają pewną rodzinę parabol. Wyznaczyć parametr c tak by:
123. do wykresu należał punkt A(−1, 3).
124. miejscem zerowym była liczba 1.
125. wykres był styczny do osi OX.
Jaką figurę tworzą wszystkie wierzchołki tych parabol?
Jakie należy wykonać przesunięcie wykresu funkcji y = 2x2, aby otrzymać wykres funkcji:
126. y = 2x2− 4. 127. y = 2(x + 3)2− 6. 128. y = 2x2+ 6x − 8.
Zbadać liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m oraz podać graficzną ilustrację roz- wiązania:
129. x2− 4 = m. 130. |6x2− x − 1| = m. 131. |4x2− 4x − 3| = m.
132. Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2+ bx + c, jeśli do jego wykresu należy punkt A(3, 0) i ymax= 12 dla x = 1.
133. Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2+ bx + c, jeśli do jego wykresu należy punkt A(5, 5) i ymin = 1 dla x = 3.
134. Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2+ bx + c, jeśli do jego wykresu należą punkty A(0, 1) i B(2, 9) oraz wiadomo, że funkcja ma jedno miejsce zerowe.
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji dla x ∈ [0, 2]:
135. y = −2x2+ x − 1.
136. y = −x2− 3x + 10.
137. y = 2x2− x + 1.
138. y = x − x2.
139. Daną liczbę rzeczywistą a przedstawić jako sumę dwóch liczb, których suma kwadratów jest naj- mniejsza.
140. Siatką drucianą długości 60 m należy ogrodzić prostokątny plac przylegający jednym bokiem do muru. Jakie wymiary powinien mieć plac, by jego pole było największe?
141. Przekrój osiowy stożka ma odwód 30 cm. Czy można dobrać tak wymiary stożka, aby pole jego powierzchni bocznej było największe?
Rozwiązać równanie wprowadzając pomocniczą niewiadomą:
142. x4− 10x2+ 9 = 0.
143. (x2+ x + 1)(x2+ x + 2) − 12 = 0.
144. (x − 3) − 2√
x − 3 − 3 = 0.
145. x + 7√
x − 6 = 0.
Sporządzić wykresy funkcji y = f (x) i y = g(x) i odczytać z wykresu rozwiązanie nierówności f (x) ¬ g(x).
Następnie rozwiązać nierówność algebraicznie:
146. f (x) = x2+ 2x − 8, g(x) = 3x − 8.
147. f (x) = x − 1, g(x) = |x2− 5x + 4|.
148. f (x) = x2, g(x) = |x|.
Rozwiązać równanie:
149. |x2− 4| = 5. 150. |x2− 9| + |x2− 4| = 9. 151. |x2− 2x − 3| = −4x.
7. Funkcja potęgowa
Narysować wykres funkcji:
152. f (x) = −√ x − 1.
153. f (x) = (x + 1)3− 1.
154. f (x) =√3
x + 2 − 1.
155. f (x) = 2 −√3 x.
Znaleźć pierwiastki równania:
156. √
x − 1 = 1. 157. √
x2+ 1 = x − 1. 158. p(x − 4)(2 − x) = 0.
Rozwiązać nierówność:
159. √
x2− x + 1 6 2. 160. √
x − 4 6 −1. 161. √
x2− 3x − 10 > x − 2.
162∗. Dla jakich wartości parametru m ∈ R równanie
x2−1
√
(x−1)(x+1)= x + m ma rozwiązanie?
163∗. Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f (x) = 1 +12√
4x2− 4x + 1.
164∗. Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f (x) = −x +√
x2+ 4x + 4 +√
x2− 2x + 1.
8. Wielomiany
Wykonać dzielenie wielomianów:
165. (x3+ x2− x + 1) : (x − 1).
166. (x5+ 3x3+ 2x) : (x2+ 1).
167. (2x4− 15x3+ 24x2− 5x − 6) : (2x − 3).
168. (x4− 16) : (x − 2).
169. (2a4− 3a3− a2− 80a − 156) : (a − 3).
170. (t12− t7− t5+ 1) : (t7− 1).
Nie wykonując dzielenia podać resztę z dzielenia wielomianów:
171. (x3− 5x2+ 6x + 1) : (x − 3).
172. (x3− 5x2+ 10x − 2) : (x − 5).
173. (2x3+ x2− x + 1) : (x2− x).
174. (x8− 1) : (x2− 1).
175. (x6− 1) : (x3− 2x2− x + 2).
176. Dla jakich parametrów a, b wielomiany W (x) = ax3+ 2x3+ bx2+ x2− x, Q(x) = 6x3+ 8x2− x są równe?
177. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu 3x3+ mx2− 4x + 2 przez jednomian x − 2 otrzymamy resztę równą 6?
178. Rozłożyć wielomian x3+ 5x2+ 3x − 9 na czynniki.
179. Rozłożyć wielomian x3− 1 na czynniki.
180. Wyznaczyć a, b tak, aby wielomian x4− 3x3+ 6x2+ ax + b był podzielny przez x2− 1.
Rozłożyć na czynniki:
181. a2+ ab + ac + bc.
182. a4+ 2a2b2+ b4.
183. x2− 3xy + 2y2. 184. y2+ 2xy − 3x2. Rozwiązać równanie:
185. x3− x2− x + 1 = 0. 186. x3+ 5x2+ 3x − 9 = 0.
Rozwiązać nierówność:
187. x2(x2− 1) < 0.
188. (2x + 5)(3 − x)3(x − 5)2(5 + 2x)> 0.
189. 4x2− 9 < 0.
190. 2 + 6x + 12x2+ 8x3 0.
191. 125x3− 8 > 0.
192. x5+ 3x4− 4x3− 12x2 ¬ 0.
193. x6− x5− x2+ x > 0.
194. (x2− 3x)2− 9x2 ¬ 0.
195. (x2+ 1)2− 4 0.
196. (x2− 4)(x2− 4x + 4)(x2− 6x + 8)(x2+ 4x + 4) < 0.
197. (x2+ 3x + 2)(x2− 9)(x2− 3x) 0.
198. (x2+ 1)(x − x2− 5)(x2+ 2x + 8) > 0.
199. (x − 1)2(x + 2)3(x2+ 5)(x2+ 2x + 6)2(16 − x2) ¬ 0.
200. (x + 2)5(x − 3)(x + 1)3(x2− 2x + 7) > 0.
9. Funkcja wymierna
Narysować wykres funkcji:
201. f (x) = x+2x−3. 202. f (x) = x+2x+1. 203. f (x) = x−11 + 1.
204. f (x) = x+11 .
205. f (x) = 3x−56x+1. 206. f (x) = 2x−4x+1 . 207. f (x) = 4x−8x−5 .
Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji:
208. f (x) = x21−2x+2x−8. 209. f (x) = xx22−2x−3+4x+6.
210. f (x) = x3−3xx+42+2x. 211. f (x) = (x+2)(xx2−3x+32+2).
212. f (x) = 2x−3x2−4. 213. f (x) = 4x23x−2−8x+3. Rozwiązać równanie:
214. 3x−1x+2 = 2.
215. x2+4x+1
x2−3x+8 = 1.
216. 2x+ x−11 = 2.
217. 1x = 3 − 2x.
218. x2+6x+6x + 1 = 0.
219. xx−32−2 = x.
220. x2+x4−2x3 = 13x2.
221. x2−6x+34 −x2−6x+35 = 2.
Rozwiązać nierówność:
222. x−13 −2x < 2.
223. (x+1)(2−x)x2(x2+1) < 0.
224. (x+1)(2−x)x < 0.
225. 1−xx+5 > 0.
226. 2x > 1.
227. 1 +x−12 6 6x. 228. 1+xx2−43 < x.
229. 2 −x−3x−2 > x−2x−1. 230. x2−5x+614 < 2−x10 − 3.
231. −2 < xx22+2x−3+2x+3 6 0 .
10. Funkcja wykładnicza
Narysować wykres funkcji:
232. f (x) = e−x+ 2.
233. f (x) = |3x− 1| + 1.
234. f (x) = 12x−1− 2.
235. f (x) = 2x− 3.
Rozwiązać równanie:
236. 8x =√ 2.
237. 63x· 6−1 = (√ 6)4x. 238. 3x2+3= 92x. 239. 9x− 8 · 3x = 9.
240. (√
2 )2x+4= 8x2.
241. 2x+ 2x−1+ 3 · 2x−2= 18.
242. 5x−1 = 31−x.
243. 5x+ 51−x= 6.
244. 4
√x−2+ 16 = 10 · 2
√x−2. 245. 4x− 5 · 2x+ 4 = 0.
246. 9x+ 3 · 3x− 4 = 0.
247. 4x+ 2x− 6 = 0.
248∗. (5 − x)x3−4x2+x+6= 1.
249∗. 4x+
√x2−2− 5 · 2x−1+
√x2−2 = 6.
250∗. Przy jakich wartościach m dwa różne pierwiastki równania 2x2−mx+12m−32 = (√
8 )1−m są dodatnie?
Rozwiązać nierówność:
251. 32x−1> 27.
252. 5−3x > 5√ 5.
253. 3x < (13)x. 254. 0, 5x−1x+1 > 321. 255. 2x+1+ 5 · 2x−1 6 9.
256. 41x >√ 2.
257. 4x− 3 · 2x+1+ 86 0.
258. (√
3)x+1 > (√3 3)x. 259. 7x6 7x1.
260. x2· 2x+ x · 2x+1 < 0.
261. 8x− 2 > 18 · 4x−1− 3 · 2x+1. 262. 2x1−1 > 2−21x−1.
11. Funkcja logarytmiczna
Narysować wykres funkcji:
263. f (x) = log1 2
(x − 1) − 1.
264. f (x) = 1 − log3(x − 12).
265. f (x) = ln |x|.
266. f (x) = | log2x|.
Obliczyć:
267. log26 − log23.
268. log 2 + log 50.
269. log35 · log2527.
270. log4
√2 2 . 271. log√3(√3
3)12. 272. ln √31
e2 .
273. log9(√ 3 ).
274. log2
√ 2−2 1−√
2
.
275∗.
√
251−log53. 276∗. 2log35− 5log32. 277∗.
q
102+12log 16. 278∗. Obliczyć log35, jeżeli log62 = a, log65 = b.
279∗. Obliczyć log253 + log9√
5, jeżeli log53 = a.
280∗. Wiadomo, że log9√
x = 14. Obliczyć log3x.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
281. f (x) = ln(x − 2) + ln(4 − x).
282. f (x) = log2(x − x2).
283. f (x) = log(x2+ 3x − 4).
284. f (x) = log1
3(x2− x4).
285. f (x) = ln(2| sin x| −√ 2 ).
286. f (x) = log3 31x − 3x. 287. f (x) =p1 − log3(x2− 2x) . 288. f (x) = log log1
2
(x2− 1).
289. f (x) = logx2−3(x3+ 4x2− x − 4).
Rozwiązać równanie:
290. log1 2
(x2− 1) = 0.
291. log2x + log2(x + 1) = 1.
292. log2(2x − 1) = 3 log82.
293. log(x2− 4) = log(3x).
294. log8x = 12.
295. log(x + 11) − log(x − 5) = 1 − log 2.
296. |3 − log2x| = 1.
297. log3(x − 1) = 2 log3(3 − x).
298. 9log3(x−3) = 4.
299. log x + 4√
log x = 5.
300. ln3x + 3 ln2x − ln x = 3.
301. 9(ln x)2+ 4(ln x) + 3 = 0.
302. log1 2
log8 x2x−3−2x= 0.
303. 4(ln x)2− 4(ln x) + 1 = 0.
304. (log2x)2− 3(log2x) − 4 = 0.
305. 4(ln x)2+ 4(ln x) + 1 = 0.
Rozwiązać nierówność:
306. log1
2(3x + 1)> 0.
307. log6x > log6(2x − 3).
308. log1
2(3 + 2x) > −2.
309. log2(x1 + 4)6 2.
310. log2
3 x 6 log2
3(6 − x).
311. log4 x−14−x > 12. 312. log1
3(x − 2) < 2 log1
3(x − 4).
313. log3(x2− 2x) 6 1.
314. log2(9 − 2x)> 3 − x.
315. log2x+3x2 < 1.
316. log3x(3 − x) < 1.
317. 4log x+ xlog 4 6 32.
318. 1 ¬ (12)log2(x2−1). 319. log9x+12x 12. 320. logx√
x + 12 1.
12. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
Narysować wykres funkcji:
321. f (x) = sin(2x).
322. f (x) = sin |x| + 1.
323. f (x) = | cos x| −12.
324. f (x) = | ctg x|.
325. f (x) = tg |x|.
326. f (x) = 2 sin(2x).
327. f (x) = cosx2.
Podaną miarę kąta w stopniach wyrazić w radianach:
328. 30◦. 329. 60◦.
330. 45◦. 331. 120◦.
332. 20◦. 333. 140◦.
334. 220◦. 335. 315◦. Podaną miarę kąta w radianach wyrazić w stopniach:
336. 16π.
337. 13π.
338. 34π.
339. 29π.
340. 45π.
341. 56π.
342. 95π.
Dla jakich α ∈ (0◦, 360◦) zachodzą nierówności:
343. sin α cos α > 0. 344. sin α > cos α. 345. tg α > ctg α.
Określić znak liczby:
346. sin 1.
347. cos 2.
348. ctg 5.
349. tg(−0, 75).
350. tg 10.
351. sin 11.
352. cos(sin 1).
353. cos(tg3π4 ).
Obliczyć za pomocą wzorów redukcyjnych:
354. sin 390◦. 355. sin 225◦. 356. cos 3600◦.
357. tg(−390◦).
358. sin7π6 . 359. sin34π.
360. cos114π.
361. tg34π.
362. ctg116π.
Obliczyć wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α ∈ [0, 2π] jeśli:
363. sin α = 1517. 364. tg α = 247. 365. cos α = 2
√n n+1. Obliczyć:
366. arc sin 0.
367. arc sin12.
368. arc sin(−√1
2).
369. arc cos 0.
370. arc cos(−12).
371. arc tg(√1
3).
Obliczyć bez użycia tablic:
372∗. sin262◦+ sin228◦. 373∗. tg 44◦tg 45◦tg 46◦.
374∗. (sin 35◦+ cos 35◦)(sin 35◦− cos 35◦) + 2 sin255◦. 375∗. arc tg(tg78π).
376∗. arc sin
1−√
√ 3 6−√
2
. 377∗. cos(2 arc sin45).
378∗. arc cos(sin157π).
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość wyrażeń:
379. 1 − sin x. 380. 2 + cos(2x). 381. p
| sin x|.
Sprawdzić tożsamości:
382. 1 + ctg x = sin x+cos x sin x .
383. cos2x − sin2x = 1 − 2 sin2x.
384. 1+cos xsin x +1+cos xsin x = sin x2 . 385. ctg x+ctg ytg x+tg y = tg x tg y.
386. (tg x + ctg x)2= 1
sin2x cos2x.
387. 1 − 2 sin2x =1−tg1+tg22xx. 388. cos x−cos(3x)
sin(3x)−sin x = tg(2x).
389∗. sin6x + cos6x = 1 −34sin2(2x).
390∗. arc sin x + arc cos x =π2, x ∈ [−1, 1].
391∗. arc tg x + arc ctg x = π2. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
392. f (x) =√
sin x + 1.
393. f (x) = sin x+1x2+1 . 394. f (x) = 1 .
395. f (x) = arc sin(−x + 2).
396. f (x) = log(16−x√ 2)
sin x .
397. f (x) =pln(sin x).
398. f (x) = log2(√
3 − tg x).
399. f (x) = log10−x2tg x.
400. f (x) =parc cos(log(1 − x)).
401. f (x) = arc cos(3x).
402. f (x) = arc sin1−3xx−2 .
403. f (x) =parc tg(x − 1) +√3 1 − x . 404. f (x) = arc cos(5x + 2).
405. f (x) = log(cos x−1
2)(3 + x − 2x2) + arc cos x−12 . Rozwiązać równania:
406. sin x = π2. 407. sin(2x) = 1.
408. sin2x = 1.
409. sin(3x) = −1.
410. sin(4x) = 3.
411. sin(2x) = 12. 412. cos(2x) = 1.
413. tg(2x) = 1.
414. 2 sin x cos x = 12. 415. 1 − 2 cos2x =
√ 2 2 .
416. (cos x + 3)(2 sin x − 2)(sin (2x) − 2) = 0.
417. sin x + cos x = 1.
418. logsin x43 = −2.
419. 2sin2x= 1 + 2cos2x. 420. arc tg 2x = π4. 421. | cos(2x + 4)| = −1.
422. sin(5 arc tg(3x)) = 1.
423. | sin(4x + 1)| = 1.
424. | cos(2x + 4)| = 1.
425∗. 24 cos2x+1+ 16 · 24 sin2x−3= 20.
Rozwiązać nierówności:
426. sin x ¬
√3 2 . 427. | sin x| > 12. 428. sin 4x < 12. 429. ctg x
√ 3 3 . 430. tg2x − 1 > 0.
431. cos x + tg x < 1 + sin x, 0 < x < 2π.
432. tg 2x − ctg 2x > √2
3.
433. 2 sin23x + sin26x < 2.
434. cos2x ¬ 12. 435. | sin x| >
√ 3 2 . 436. sin x cos x.
437. arc sin x > π3. 438. arc tg x ¬ π6. 439. arc sin log x > 0.
13. Geometria analityczna na płaszczyźnie
13.1. Punkt
Obliczyć odległość punktów A i B, jeżeli:
440. A(7, 1), B(1, −7). 441. A(−10, 5), B(2, 0). 442. A(−1, −1), B(−4, −5).
443. Wyznaczyć pole kwadratu ABCD, jeśli A(2, 3) i B(1, 2).
444. Wyznaczyć pole kwadratu ABCD, jeśli A(2, 3) i C(1, 2).
445. Na osi OX znaleźć punkt oddalony od punktu A(1, 3) o 3.
446. Na osi OY znaleźć punkt równo oddalony od początku układu i od punktu A(4, 8).
447. Dla jakich wartości parametru m punkt A(m, 0) jest oddalony od punktu B(−1, −1) o √ 2?
448. Wyznaczyć współrzędne środka odcinka AB, jeśli A(2, 5) i B(−4, 1).
449. Wyznaczyć współrzędne punktu B, jeśli A(2, 6) i środek odcinka AB to punkt S(6, −2).
Dane są punkty A(3, −1) i B(2, 1). Wyznaczyć:
450. punkt symetryczny do A względem punktu B.
451. punkt symetryczny do B względem punktu A.
452. Punkty A(4, 1), B(3, 5), C(−1, 4), D(0, 0) są wierzchołkami kwadratu. Wyznaczyć współrzędne środka symetrii kwadratu oraz obliczyć długość boku kwadratu.
453. Punkty A(0, 0), B(3, 1), C(a, b), D(1, 3) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Wyznaczyć współrzędne wierzchołka C.
13.2. Prosta
454. Które z punktów A(1, 1), B(−1, 2), C(2, 1) leżą na prostej x + 2y − 3 = 0?
455. Wyznaczyć punkty przecięcia prostej x + 2y − 4 = 0 z osiami układu współrzędnych.
456. Dla jakich wartości parametru m prosta mx − y + 1 = 0 jest równoległa do osi OX?
457. Dla jakich wartości parametru m prosta x − my + 1 = 0 jest równoległa do osi OY ?
458. Dla jakich wartości współczynników A i B prosta Ax + By + 1 = 0 tworzy z osią OX kąt 45◦? 459. Przez punkt A(4, 6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach odcinki jednakowej długości.
460. Przez punkt A(3, 2) przeprowadzić prostą tak, by punkt A był środkiem odcinka zawartego między prostymi y = x i y = 2x − 3.
461. Przez punkt A(2, −1) poprowadzić prostą równoległą do prostej 2x + 3y + 2 = 0.
462. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 4) i prostopadłej do prostej 2x + y − 10 = 0.
463. Znaleźć punkt symetryczny do A(−1, −3) względem prostej x + 2y − 2 = 0.
464. Dla jakiej wartości parametru m proste (m − 1)x + my − 5 = 0, mx + (2m − 1)y − 10 = 0 przecinają się w punkcie położonym na osi OX?
465. Wyznaczyć kąt między prostymi: 2x + y = 0, 3x − y − 4 = 0.
466. Wyznaczyć równania prostych przechodzących przez punkt (2, 1) i tworzących kąty 45◦ z prostą 2x − 3y − 6 = 0.
467. Dany jest wierzchołek kwadratu A(1, −3) i jedna z jego przekątnych y = 2x. Wyznaczyć równania boków kwadratu.
468. Wyznaczyć odległość punktu A(1, −2) od prostej 8x − 6y + 15 = 0.
469. Przez początek układu współrzędnych poprowadzić prostą oddaloną od punktu (3, 4) o √ 5.
470. Dla jakiej wartości m odległość punktu (1, 2) od prostej x + y − m = 0 wynosi 2?
13.3. Okrąg
471. Napisać równanie okręgu o środku S(−4, 3) i promieniu 5.
472. Wyznaczyć środek i promień okręgu x2+ y2+ 8x − 6y = 0.
473. Napisać równanie okręgu o środku S(−2, 1) i przechodzącego przez początek układu.
474. Napisać równanie okręgu o środku S(0, 0) i stycznego do prostej 6x − 8y + 10 = 0.
475. Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej x + y − 7 = 0 i przechodzącego przez punkty A(0, 0) i B(1, 7).
476. Przy jakim warunku równanie x2+ y2+ ax + by + c = 0 określa okrąg?
477. Dla jakiej wartości parametru m okrąg x2+ y2− 8y + m = 0 jest styczny do prostej x + y = 0?
478. Dla jakiej wartości parametru m prosta y = x + m jest styczna do okręgu x2+ y2 = 4?
479. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt (1, 0) i stycznego do prostych 2x + y + 2 = 0 oraz 2x + y − 18 = 0.
13.4. Elipsa
480. Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: x252 +y92 = 1.
481. Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: x2+ 9y2 = 1.
482. Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: 4x2+ 9y2= 36.
483. Znaleźć półosie oraz środek symetrii elipsy danej równaniem: (x−1)16 2 + 4(y + 2)2= 1.
2 2
14. Ciągi liczbowe
Napisać 5 pierwszych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym:
485. an= 1 −n12. 486. bn= sin(nπ6 ).
487. cn= log24n− 1.
488. dn= 2n!n.
489. Obliczyć cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym a1 = 2 i r = −3.
490. W ciągu arytmetycznym a2 = −6, a8= 54. Obliczyć a1 i r.
491. Między liczby 1 i 64 wstawiono takie liczby x i y, by ciąg 1, x, y, 64 był arytmetyczny. Jakie to liczby?
492. Znaleźć ciąg arytmetyczny o a1 = 1, jeśli suma czterech pierwszych wyrazów jest 3 razy większa od sumy czterech następnych wyrazów.
493. Znaleźć sumę 20 początkowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3.
494. Dla jakich wartości x liczby log 2, log(2x− 1), log(2x+ 3) tworzą ciąg arytmetyczny?
495. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, którego suma n pierwszych wyrazów wynosi n2 dla wszystkich n ∈ N.
496. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Wyznaczyć ten ciąg, jeśli suma wyrazów skrajnych wynosi 36, zaś suma wyrazów środkowych wynosi 24.
497. Iloraz ciągu geometrycznego wynosi q = 1+
√ 5
2 . Wykazać, że każdy wyraz tego ciągu (poza pierw- szym) jest równy różnicy wyrazów sąsiednich.
498. Dla jakiego a suma 4a + 2a + a + . . . wynosi 12?
499. Wyznaczyć cztery liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, 3 ostatnie ciąg arytme- tyczny oraz suma wyrazów skrajnych wynosi 14, zaś środkowych 12.
500. Podać wzór na ogólny wyraz ciągu 1,14,19,161,. . .
501. Podać przykład ciągu rosnącego, który ma wszystkie wyrazy ujemne.
502. Wykonano 10 m studnię. Za pierwszy metr zapłacono 2 zł, a za każdy następny metr płacono dwukrotnie więcej niż za poprzedni. Ile kosztowała studnia?
Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
503. an= 1 −n12. 504. bn= 3n−1n+1.
505. cn= 1 − log23n. 506. dn= 2n!n.
507. en= n−1n+1.
508. Dla ciągu o wyrazie ogólnym an= n + 21n obliczyć wartość wyrażenia a2− 3a3+ 2a4. 509. Dla ciągu o wyrazie ogólnym an= n2 + n32 obliczyć wartość wyrażenia a1+ 2a2− a3.
510. Dany jest ciąg (an), gdzie an= 2n+1n+5. Wyznaczyć wszystkie wyrazy tego ciągu większe od 1.
511. Wyznaczyć wszystkie wyrazy ciągu an= n2− 5n + 9 mniejsze od 5.
512. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny mając dane a3= 7, a4 = 9.
513. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny mając dane a2= 7, a4 = 15.
514. Dla ciągu arytmetycznego 2, 5, 8, 11, . . . obliczyć sumę pierwszych 20 wyrazów.
515. Obliczyć sumę liczb naturalnych parzystych od 20 do 80.
516. Wyznaczyć x, jeżeli liczby 4, x2+ x, 8 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycz- nego.
517. Wyznaczyć a1 i q w ciągu geometrycznym, w którym a2= 4, a5 = 64√ 2.
518. W ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich dane są a1 = 12 oraz a3 = 2. Obliczyć sumę pierwszych czterech wyrazów tego ciągu.
519. Wyznaczyć piąty wyraz ciągu geometrycznego mając dane a1= 2 oraz q = 3.
520. Dla ciągu geometrycznego 1, 2, 4, 8, . . . obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów.
521. Wyznaczyć x, jeżeli liczby 1, x+1, 9 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Obliczyć granicę ciągu:
