Ile jest liczb 9-cyfrowych zªo»onych z cyfr 1, 2

11.10.2018, kl 1b

Kilka zada« z kombinatoryki.

Zadanie 1. Ile jest wszystkich ci¡gów zªo»onych z (a) m zer i n jedynek,

(b) k zer, l jedynek i m dwójek.

Zadanie 2. Ile jest rozwi¡za« równania x1+ x2+ . . . + xm= d, przy czym ka»da z liczb x1, x₂, . . . , x_mjest równa 1 lub 2, a m, d s¡ danymi liczbami naturalnymi.

Zadanie 3. Ile jest liczb 9-cyfrowych zªo»onych z cyfr 1, 2, . . . , 9 takich, »e (a) ani 1, 2 ani 8, 9 nie wyst¦powaªy obok siebie,

(b) ani 1, 2 ani 2, 3, ani 1, 3 nie wyst¦powaªy obok siebie.

Zadanie 4. Wyka», »e iloczyn dowolnych 13 kolejnych liczb naturalnych dzieli si¦ przez 13!.

Zadanie 5. Oblicz wspóªczynnik przy abcde w (a + 2b + 4c + 8d + 16e)⁵. Zadanie 6. Oblicz wspóªczynnik przy a¹⁰b¹⁵c²⁰ w rozwini¦ciu (a + b + c)⁴⁵. Zadanie 7. Który ze skªadników (√

2)^{i 20}_i

rozwini¦cia (1 +√

2)²⁰ jest najwi¦kszy?

Zadanie 8. Wykaza¢, »e (a) 1 + ⁿ₁
2

+ ⁿ₂
2

+ _n−1ⁿ
2

+ 1 = ²ⁿ_n
, (b) _mⁿ
· ^m_k
= ⁿ_k
· _m−k^n−k

.

Zadanie 9. W których wierszach trójk¡ta Pascala (a) wszystkie wyrazy s¡ nieparzyste?

(b) wszystkie wyrazy oprócz kra«cowych s¡ podzielne przez 3?

(c) wszystkie wyrazy s¡ niepodzielne przez 3?

Zadanie 10. Wykaza¢, »e

n

X

j=0

3n 3j



= 1

3(2³ⁿ+ 2(−1)ⁿ).