Przypuśćmy, że zbiór R spełnia aksjomaty liczb rzeczywistych: D1

Przypuśćmy, że zbiór R spełnia aksjomaty liczb rzeczywistych:

D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a, D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c), D3 ∃0∈R∀_a∈Ra + 0 = a, D4 ∀a∈R∃_b∈Ra + b = 0;

M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a, M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), M3 ∃1∈R∀_a∈Ra · 1 = a, M4 ∀06=a∈R∃_b∈Ra · b = 1;

MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c, ZJ 0 6= 1.

N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c, N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c, N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c, N4 ∀a,b∈Rzachodzi dokładnie jedna z możliwości a < b albo a = b albo a > b;

C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R wśród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A istnieje liczba najmniejsza.

Zadanie 1. Wykaż, że jeśli x > 0 to −x < 0.

Zadanie 2. Wykaż, że dla dowolnego a ∈ R zachodzi a · 0 = 0.

Przypuśćmy, że zbiór R spełnia aksjomaty liczb rzeczywistych:

D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a, D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c), D3 ∃0∈R∀_a∈Ra + 0 = a, D4 ∀a∈R∃_b∈Ra + b = 0;

M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a, M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), M3 ∃1∈R∀_a∈Ra · 1 = a, M4 ∀06=a∈R∃_b∈Ra · b = 1;

MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c, ZJ 0 6= 1.

N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c, N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c, N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c, N4 ∀a,b∈Rzachodzi dokładnie jedna z możliwości a < b albo a = b albo a > b;

C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R wśród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A istnieje liczba najmniejsza.

Zadanie 1. Wykaż, że dla dowolnego a ∈ R zachodzi −(−a) = a.

Zadanie 2. Wykaż, że dla dowolnych a, b ∈ R takich, że a < b istnieje c ∈ R takie, że a < c < b.

Wolno skorzystać z faktu, że 1 > 0.

Przypuśćmy, że zbiór R spełnia aksjomaty liczb rzeczywistych:

D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a, D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c), D3 ∃0∈R∀_a∈Ra + 0 = a, D4 ∀a∈R∃_b∈Ra + b = 0;

M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a, M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), M3 ∃1∈R∀_a∈Ra · 1 = a, M4 ∀06=a∈R∃_b∈Ra · b = 1;

MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c, ZJ 0 6= 1.

N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c, N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c, N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c, N4 ∀a,b∈Rzachodzi dokładnie jedna z możliwości a < b albo a = b albo a > b;

C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R wśród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A istnieje liczba najmniejsza.

Zadanie 1. Wykaż, że (x

)

= x.

Zadanie 2. Wykaż, że x

­ 0.

Przypuśćmy, że zbiór R spełnia aksjomaty liczb rzeczywistych:

D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a, D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c), D3 ∃0∈R∀_a∈Ra + 0 = a, D4 ∀a∈R∃_b∈Ra + b = 0;

M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a, M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), M3 ∃1∈R∀_a∈Ra · 1 = a, M4 ∀06=a∈R∃_b∈Ra · b = 1;

MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c, ZJ 0 6= 1.

N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c, N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c, N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c, N4 ∀a,b∈Rzachodzi dokładnie jedna z możliwości a < b albo a = b albo a > b;

C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R wśród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A istnieje liczba najmniejsza.

Zadanie 1. Wykaż, że element 1 jest wyznaczony jednoznacznie.

Zadanie 2. Wykaż, że jeśli a + c < b + c, to a < b.

2