0, to ci¸ag rozk lad´ow zmiennych losowych X1

1 STATYSTYKA

dr in˙z Krzysztof Bry´s wyk lad 4

Twierdzenia graniczne

Tw. Poissona: Je˙zeli (X₁, . . . , X_n) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie B(n, p_n) oraz lim_n→+∞n · p_n = λ, λ > 0, to ci¸ag rozk lad´ow zmiennych losowych X₁, . . . X_n jest zbie˙zny do rozk ladu Poissona z parametrem λ.

Wnioski praktyczne z twierdzenia Poissona:

Dla ”du˙zych” n i ”ma lych” p (n ≥ 100 , p ≤ 0.1) zmienna losowa o rozk ladzie B(n, p) ma w przybli˙zeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p,

Tw. Lindberga- Levy’ego: Je˙zeli (X₁, . . . , X_n) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie, warto´sci oczekiwanej m i wariancji σ² > 0, to ci¸ag dystrybuant zmiennych losowych Y_n =

P_n

i=1Xi−n·m σ·√

n jest zbie˙zny do dystrybuanty Φ zmiennej losowej o rozk ladzie N(0, 1).

Wnioski praktyczne z twierdzenia Lindberga Levy’ego:

Je˙zeli X₁, . . . , X_n s¸a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie, warto´sci oczekiwanej m i wariancji σ² > 0, to dla ”du˙zych” n ( n ≥ 100 ):

1) suma tych zmiennych losowych czyli zmienna losowa Y_n = X₁+ . . . + X_n ma w przybli˙zeniu rozk lad N(m · n, σ ·√

n),

2)´srednia arytmetyczna tych zmiennych czyli zmienna losowa Zn = ^Y_nⁿ = ^X1+...+X_n ⁿ ma w przybli˙zeniu rozk lad N(m,^√σ_n),

Tw. Moivre’a-Laplace’a: Je˙zeli (X₁, . . . , X_n) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie B(n,p) to ci¸ag dystrybuant zmiennych losowych Yn = ^X√n_n·p·q^−n·p jest zbie˙zny do dystrybuanty Φ zmiennej losowej o rozk ladzie N(0, 1).

Wnioski praktyczne z twierdzenia Moivre’a-Laplece’a:

Dla ”du˙zych” n (n ≥ 100):

1) liczba sukces´ow w schemacie Bernoulliego czyli zmienna losowa X o rozk ladzie B(n, p) ma w przy- bli˙zeniu rozk lad N(n · p,√

n · p · q),

2) cz¸esto´s˙c wyst¸epowania sukcesu w schemacie Bernoulliego czyli zmienna losowa Y = ^X_n, gdzie X jest zmienn¸a losow¸a o rozk ladzie B(n, p), ma w przybli˙zeniu rozk lad N(p,^qp·q_n).

Dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego. Wsp´o lczynnik korelacji. Prosta regresji.

Niech X, Y b¸ed¸a jednowymiarowymi zmiennymi losowymi. Par¸e (X, Y ) nazywamy dwuwymiarow¸a zmienn¸a losow¸a a X i Y jej wsp´o lrz¸ednymi.

Je˙zeli X i Y s¸a typu skokowego, to (X, Y ) jest dwuwymiarow¸a zmienn¸a losow¸a typu skokowego.

Rozk lad prawdopodobie ˙nstwa dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego:

funkcja P : W_X × W_Y →< 0, 1 > taka, ˙ze :

1) dla ka˙zdego x_i ∈ W_X, y_j ∈ W_Y, P (X = x_i, Y = y_j) = p_ij > 0, 2)^X

i

X

j

p_ij = 1.

Rozk lad brzegowy zmiennej losowej X:

p_i.= P (X = x_i) = ^X

j

p_ij dla ka˙zdego x_i ∈ W_X

2 Rozk lad brzegowy zmiennej losowej Y :

p.j = P (Y = yj) =^X

i

pij dla ka˙zdego yj ∈ WY

Zmienne losowe X i Y s¸a niezale˙zne ⇔ dla ka˙zdego A ⊆ R, B ⊆ R, zdarzenia X ∈ A oraz Y ∈ B s¸a niezale˙zne.

Zmienne losowe X i Y typu skokowego s¸a niezale˙zne ⇔ dla ka˙zdego x_i ∈ W_X, y_j ∈ W_Y, p_ij = p_i.· p_.j Kowariancja zmiennych losowych X i Y typu skokowego:

cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) gdzie

E(X · Y ) =^X

i

X

j

x_i· y_j · p_ij

Kowariancja okre´sla si l¸e i kierunek zale˙zno´sci liniowej (korelacji) mi¸e dzy zmiennymi losowymi X i Y . Wsp´o lczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y :

ρ_{(X,Y )} = cov(X, Y )

D(X) · D(Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) D(X) · D(Y )

Wsp´o lczynnik korelacji okre´sla si l¸e i kierunek zale˙zno´sci liniowej (korelacji) mi¸e dzy zmiennymi losowymi X i Y . Przyjmuje warto´sci z przedzia lu < −1; 1 >.

Zmienne losowe X i Y s¸a nieskorelowane ⇔ ρ_{(X,Y )} = 0.

Prosta regresji drugiego rodzaju zmiennej losowej Y wzgl¸edem zmiennej losowej X: prosta o r´ownaniu y = a · x + b, kt´orej wsp´o lczynniki s¸a tak dobrane, ˙ze ´srednie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od zmiennej aX + b jest minimalne.

Mo˙zna wykaza˙c, ˙ze:

a = cov(X, Y )

D²(X) = ρ_{(X,Y )}· D(Y ) D(X) b = E(Y ) − aE(X)