LISTA 33 Zadanie 1.
Pole kwadratu 𝐾 jest równe 8. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt 𝐶1. Następnie połączono środki boków czworokąta 𝐶1, tworząc czworokąt 𝐶2. W podobny sposób utworzono czworokąty 𝐶3, 𝐶4, … . Suma pól czworokątów 𝐾 + 𝐶1+ 𝐶2+. . . +𝐶𝑛 jest równa 153
4. Znajdź liczbę 𝑛.
Zadanie 2.
W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o 1333 mniejsze od prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie.
Zadanie 3.
Dany jest okrąg o środku w punkcie (2, 1) i promieniu √17 . Punkty 𝐴, 𝐵 są punktami przecięcia tego okręgu z osią 𝑂𝑥. Punkt 𝐶 leży na prostej 3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0, a pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 24. Oblicz współrzędne punktu 𝐶.
Zadanie 4.
Dla jakiej wartości parametru 𝑘 liczba −2 jest pierwiastkiem wielomianu, który wygląda następująco: 𝑊(𝑥) = 𝑥3+ 3𝑥2+ (𝑘2− 2𝑘)𝑥 + 2 .
Zadanie 5.
Z napełnionego kieliszka w kształcie stożka wylano połowę znajdującego się w nim płynu. Na jaką wysokość sięga pozostała część płynu jeżeli kieliszek ma wysokość 9 𝑐𝑚 i średnicę 16 𝑐𝑚.
Zadanie 6.
Znajdź ujemny pierwiastek równania: ||2𝑥 − 1| − 2| = 4 Zadanie 7.
Prostokąt o bokach długości 𝑎, 𝑏 jest podobny do prostokąta o bokach długości 𝑎 + 5, 𝑏 + 5.
Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.
Zadanie 8.
Dla jakich 𝑥 liczby 1
2𝑡𝑔𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑠𝑖𝑛𝑥 w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?
Zadanie 9.
Wykaż, ze dla dowolnej liczby 𝑎 > 0 zachodzi nierówność:
𝑙𝑜𝑔2(𝜋𝑎) + 𝑙𝑜𝑔2(𝜋 + 𝑎) ≥ 2
𝑙𝑜𝑔𝜋+𝑎10− 𝑙𝑜𝑔𝜋𝜋 Zadanie 10.
W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna 12 spośród przygotowanych 20 piosenek.
Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
